Забавно, что в детстве у меня вызывало глубочайший интуитивный протест определение этого оператора эволюции через ряд (как обычно принято в физике). Я не понимал в чем дело, но протест был. Определение экспоненты через спектр меня удовлетворило
Ah, I see, you're a man of culture as well.
Может его размерность большая (скажем
), но конечная.
Я не знаю, удовлетворит ли Вас такой ответ, но пространство состояний -- в любом случае математический объект, часть модели, про которую мы надеемся, что она отражает реальность. Бесконечномерные пространства состояний -- удобная аппроксимация конечномерного пространства состояний очень большой размерности, следующий уровень идеализации. Если рассматриваются эффекты, для которых разницы между
и
нет, естественно (по крайней мере, для математиков) устремить размер к бесконечности и изгнать параметр, от которого ничего не должно зависеть. За это приходится платить тем, что оперировать с бесконечностями нужно очень аккуратно и пользоваться спектральной теорией, в которой есть разница между симметричными и самосопряжёнными операторами, а один и тот же оператор на разных областях определения может иметь разный спектр (и быть самосопряжённым на каждой из них)
Я думаю, что у всех этих явлений есть какая-то интерпретация в терминах дискретизированной задачи, но увидеть её на уровне матриц размера
мне представляется безнадёжным. Уже отличить плотный точечный спектр от непрерывного на этом уровне сложно (хотя и можно в некоторых ситуациях), при тот что у этого есть прямая физическая интерпретация (локализация/делокализация, т. е. проводник/изолятор).
Ну и вообще, Вы же сами наверняка часто пишете непрерывные не-дискретизированные гамильтонианы, потому что удобнее...
-- Чт, 14 май 2020 14:08:53 --А если пойдет, то тогда можно вернуться к яме и задать вопрос: совпадает ли замыкание области определения самосопряженного расширения оператора
, обсужденной выше, с замыканием пространства рядов
?
Тоже довольно тонкий момент. Если рассмотреть замыкание области определения по норме
, то у любого осмысленного оператора область определения плотна (по-видимому, Вы это имели в виду, когда говорили про одинаковые области определения) и даёт всё пространство в результате замыкания. Но сам оператор расширить на всё пространство нельзя, вообще говоря.
Можно замыкать, как упоминал
Red_Herring, по норме графика. На всякий случай сначала уточню обозначения. Пусть у нас отрезок
и
-- собственный вектор гамильтониана, то есть
Если мы теперь рассмотрим формальный корень из
, то есть оператор
то его естественной областью определения (полученной в результате замыкания графика) будет пространство Соболева
функций, у которых первая производная суммируема с квадратом и на границе интервала ноль (последнее утверждение не имеет смысла в
но имеет смысл в пространстве Соболева).
Теперь, если мы возьмём одно из самосопряжённых расширений
оператора
, у него естественной областью определения будет тоже пространство Соболева, но с другими краевыми условиями (периодическими или квазипериодическими). Между этими пространствами много общего, и они отличаются на подпространство размерности 1. Но тем не менее они разные.
Ещё важно, что, хотя области определения операторов
и
отличаются мало, сами операторы очень разные, они по-разному действуют на одни и те же синусы.