Функциональный анализ в квантовой механике

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462363 писал(а):

но вот разумные применения по видимому имеют

Речь не идет о каких-то разумных применениях. Речь идет об операторе импульса. Функанализ может его определить? Видимо, нет. А разумные применения могут быть разные. И разного уровня разумности. Какое мне дело до каких угодно применений? Меня интересуют вполне определенные применения! Но об этом функанализ не говорит ничего. Нет?

-- Чт май 14, 2020 01:04:28 --

amon в сообщении #1462348 писал(а):

На отрезке [0,1] задана волновая функция (с нулевыми гран. условиями).

В конечном итоге я пришел к заключению, что задача изначально физически бессмыслена, в этом все дело. Не бывает бесконечно глубоких ям, бывают только ямы конечной глубины, а тогда эти все проблемы исчезают. Кстати, классическая задача о бесконечно глубокой яме тоже бессмыслена. Попробуйте написать ее лагранжиан... ...и ничего не получится даже с обобщенными функциями. Бывают только ямы конечной глубины.

Так что то, что здесь нам сообщает функанализ, если и представляет физический интерес, то лишь довольно слабый и отрицательного характера (т.е. дополнительное обоснование того, что так не бывает). Сам подход: "а давайте рассмотрим всевозможные расширения оператора и найдем, какие из них самосопряжены" математически интересен, но не представляет физического интереса, во всяком случае в рамках КМ. В КМ на фиг не нужен один самосопряженный оператор, нужна согласованная система самосопряженных операторов, всех физических величин. У них у всех должна быть одна и та же область определения. А иначе это не КМ, а черт знает что, физическая бессмыслица. В принципе можно, правда, исключить из физических величин все, кроме энергии. Ну тогда не надо и задаваться вопросом, чему равен оператор импульса. В любом случае, если возникает математическая патология, то это означает, что задача физически ошибочно поставлена, реально такой физической задачи не бывает.

Задача с конечным интервалом координаты (хоть классическая, хоть квантовая) осмыслена только если это задача на кольце, граничные точки отождествляются. При этом никаких проблем с самого начала не возникает.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1462365 писал(а):

Попробуйте написать ее лагранжиан... ...и ничего не получится даже с обобщенными функциями. Бывают только ямы конечной глубины.

Ну, так уж и не получится. Свободная частица со связью $\theta(x)-\theta(x-1)=1,$ дальше - множитель Лагранжа, и погнали наши городских ;) В чистом виде одномерная яма с бесконечными стенками это действительно глупость, но для квантовой проволоки (по двум направлениям все заквантовано, в третьем свободно), либо для квантовой точки -- вполне приличная модель. При этом проблема с импульсом вдоль заквантованных направлений остается в полный рост. Да и с кольцом тоже не все так просто, не зря же упомянутый Вами Пайерлс об него зубы сломал.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462365 писал(а):

У них у всех должна быть одна и та же область определения.

Такого почти никогда не бывает. У гамильтониана свободной частицы во всём пространстве и у оператора импульса области определения разные (если их рассматривать как настоящие самосопряжённые операторы). А также у операторов импульсов по разным координатам. Что не мешает им коммутировать друг с другом (в том смысле, как это стандартно понимается для неограниченных самосопряжённых операторов).

-- Ср, 13 май 2020 14:14:12 --

В принципе, можно говорить про существенную область, но там есть чисто технические сложности (пример Нельсона), и как раз это скорее математическая патология.

-- Ср, 13 май 2020 14:26:44 --

Alex-Yu в сообщении #1462365 писал(а):

а давайте рассмотрим всевозможные расширения оператора и найдем, какие из них самосопряжены

На мой взгляд, модель Кронига-Пенни (в размерностях 2 и 3) представляет собой содержательный пример. Не уверен, что в размерности 3 ответ так просто угадывается. А также в размерности 4.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462356 писал(а):

Любое состояние должно быть разложимо по собственным функциям любой физической величины. А как разложить по функциям, равным нулю на границе, функцию не равную нулю на этой границе

Вроде нет проблем. Ряд будет сходиться в $L^2$ (в гильбертовом пространстве) в самом обычном смысле. А поточечной сходимости никто не обещал даже для более простых операторов.

-- Ср, 13 май 2020 15:26:34 --

Alex-Yu в сообщении #1462356 писал(а):

Гамильтониан это квадрат импульса с той же самой областью определения?

Тут тонкий момент (видимо, не равен). Но даже в тех ситуациях, когда гамильтониан равен квадрату импульса, их области определения не будут совпадать.

Но я не знаю, есть ли в этом проблема. Даже в случае самого обычного гамильтониана $-\Delta+V$ он никакому квадрату импульса не равен (иногда можно определить формальный корень из оператора, но он будет нелокален и т. д.).

-- Ср, 13 май 2020 15:59:48 --

Про импульс, кстати, интересно, я минут 10 тупил. Очевидно, что мы можем диагонализовать оператор $-\frac{d^2}{dx^2}$ с условиями Дирихле на $[0,1]$. Его собственные функции будет $\sin (\pi n x)$ с собственными значениями $\pi^2 n^2$. Очевидно, что можно ввести формальный корень с теми же собственными функциями и собственными значениями $\pi n$, он будет самосопряжённым оператором (на естественной области определения). Но ясно, что он не будет оператором $i\frac{d}{dx}$ (потому что при дифференцировании синус превратится в косинус). Почему так происходит, и в чём отличие от периодических граничных условий (окружность), на которой импульс будет операторным корнем?

Ответ примерно такой: спектр Лапласа на окружности двукратно вырожден. В каждом собственном подпространстве он действует как $(2\pi n)^2 I$, где $I$ -- единичная матрица $2\times 2$. Если мы ищем корень из Лапласа, коммутирующий с Лапласом, самым простым вариантом был бы $2\pi n I$ или $-2\pi I$, но не далеко не единственным. Например, можно взять $2\pi n\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, или $2\pi n\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, или даже $2\pi n\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}$. Одна из таких матриц будет нужным оператором $i\frac{d}{dx}$.

С другой стороны, спектр Лапласа на отрезке невырожден. Поэтому в каждом подпространстве у нас намного меньше произвола выбрать корень, и его не достаточно, чтобы переставить синус с косинусом.

Чем-то напоминает ситуацию с оператором Дирака. Если мы просто берём корень из Лапласа, он будет нелокальным оператором со всеми сопутствующими проблемами. А если мы вводим спиновую степень свободы, мы получаем несколько копий Лапласа и дополнительное вырождение спектра, которое позволяет взять в качестве оператора Дирака нетривиальный матричный корень, который будет локальным оператором (дифференциальным). Разумеется, я сильно упрощаю ситуацию, но мне кажется, что явление похожее.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462489 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1462365

писал(а):
У них у всех должна быть одна и та же область определения.

Такого почти никогда не бывает.

Тогда квантовой механики почти никогда не бывает.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462596 писал(а):

Тогда квантовой механики почти никогда не бывает.

Не знаю. Если честно, я впервые слышу про "одну и ту же область определения". Я старался формулировать свои утверждения достаточно аккуратно и конкретно. Если Вы не хотите соблюдать ту же степень аккуратности, то, может быть, не стоит вообще продолжать дискуссию.

Область определения самосопряжённого оператора -- вполне конкретная вещь, и утверждение о том, совпадают ли они у двух конкретных самосопряжённых операторов, легко проверяемое.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462501 писал(а):

Ответ примерно такой: спектр Лапласа на окружности двукратно вырожден.

На окружности все понятно и не требует обсуждения. Как с ямой быть???

Единственное (довольно странное), что приходит в голову. Пусть у нас есть гамильтониан как лапласиан с нулевыми гранусловиями на интервале [0,1]. Гамильтониан в любом случае в КМ должен быть, иначе динамики нет, а тогда физически ничего вообще нет. Есть гамильтонанан -- есть у него спектр. Простенький такой, с совершенно простыми СФ $\sin2\pi n x$. Пространство состояний это линейная оболочка этих функций. Для всех операторов. И никак иначе!!! Если иначе, то КМ закрывается, нет ее.

Что забавно, мы вполне можем разложить по этим синусам экспоненту $e^{ikx}=|k\rangle=\sum_n a_n \sin2 \pi n x$. После этого берем по оперделению (ясно, что нужно уточнять, но что-то вроде):

$$ \hat{P} = \int |k\rangle k \langle k | dk $$

Сингулярности тут, правда, будут... В общем если это все и имеет хоть какой-то смысл, то его еще выявлять надо. Но ничего другого просто не приходит в голову. А то, что пишут математики в такой ситуации, очень хорошо само по себе, но к квантовой механике отношения не имеет.

Это и будет оператор импульса. А оператор дифференцирования и его самосопряженные расширения, о чем любят нам рассказывают Рид и Саймон и др., здесь просто ни при чем. Мало ли какие операторы бывают, далеко не все они имеют хоть какое-нибудь отношение к квантовой механике.

-- Чт май 14, 2020 15:05:42 --

g______d в сообщении #1462600 писал(а):

Если честно, я впервые слышу про "одну и ту же область определения".

Это совершенно естественное и очевидное требование квантовой механики. Математически оно, как видим, довольно трудное. И в математических трудах, на сколько знаю, не рассматриваемое.

-- Чт май 14, 2020 15:06:47 --

g______d в сообщении #1462600 писал(а):

Область определения самосопряжённого оператора

Какого оператора? Оператора дифференцирования? А он здесь при чем? Я ничего не имею против того, что тут уже упоминалось и описано у Рида-Саймона про оператор $i\partial_x$. Ни малейших возражений! Но какое этот оператор имеет отношение к квантовой механике на отрезке? Во всяком случае отнюдь не очевидно, что хоть какое-то такое отношение есть вообще.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462605 писал(а):

Математически оно, как видим, довольно трудное.

Оно просто невыполнимое.

Возьмите самый простой пример: гамильтониан свободной частицы на прямой (не на отрезке, а на всей прямой; или, если хотите, в трёхмерном пространстве): $-\frac{d^2}{dx^2}$ и оператор импульса $i\frac{d}{dx}$. Я не думаю, что Вы будете спорить с тем, что у них есть прямой квантовомеханический смысл. Тем не менее, области определения у них разные.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462607 писал(а):

Оно просто невыполнимое.

Тогда вся квантовая механика это просто бред собачий. Мне такой вариант не нравится. Надо как-то что-то изменить в определениях и аксиомах, чтобы было выполнимо.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462605 писал(а):

Гамильтониан в любом случае в КМ должен быть, иначе динамики нет, а тогда физически ничего вообще нет. Есть гамильтонанан -- есть у него спектр. Простенький такой, с совершенно простыми СФ $\sin2\pi n x$. Пространство состояний это линейная оболочка этих функций. Для всех операторов.

Полностью согласен.

Alex-Yu в сообщении #1462605 писал(а):

После этого берем по оперделению (ясно, что нужно уточнять, но что-то вроде):

Ну то есть Вы хотите взять что-то вроде формального корня из гамильтониана. А для этого есть какие-то фундаментальные причины? Добавим к гамильтониану потенциал, получим $\sqrt{-\frac{d^2}{dx^2}+V}$. Никогда не видел, чтобы последнее выражением называли импульсом. Скорее наоборот, это нелокальный оператор и "следовательно" не физичный (но я не профессиональный физик, чтобы это достоверно утверждать).

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462611 писал(а):

Ну то есть Вы хотите взять что-то вроде формального корня из гамильтониана.

Ни в коем случае. Я хочу только одного: чтобы область определения у всех квантомеханических операторов была одна и та же. Мне при этом довольно безразлично, будут ли они самосопряженными (но спектр должен быть действительным). Иначе с квантовой механикой большие проблемы, он превращается в какую-то чепуху. Или, по меньшей мере, требует существенной модификации.


Подозреваю, что тут дело в том, что предельная точка множества может не лежать в этом множестве. Но в каком еще смысле предел... И вообще есть ли тут смысл. В общем тут большая проблема, о которой я раньше не подозревал.

Все это хорошая иллюстрация к принципиальному отличию физики от математики. Математики взяли самосопряженные заданные наперед операторы, построили очень хорошую их теорию и на этом удовлетворились. А какое это все имеет отношение к физике, и вообще имеет ли, им безразлично. Ну, наверное и должно быть безразлично, это же математика, а не физика.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462612 писал(а):

Я хочу только одного: чтобы область определения у всех квантомеханических операторов была одна и та же.

А откуда это вообще взялось? И не путаете ли Вы это, например, с существенной областью (с которой, на мой взгляд, намного больше проблем).

Возможно, у нас просто различия в терминологии. Я попробую объяснить это на примере гамильтониана и импульса на окружности. Сделаем преобразование Фурье и разложим все функции по экспонентам (отождествив пространство с $\ell^2$). В этом представлении гамильтониан равен $\sum |k\rangle k^2\langle k|$, а импульс равен $\sum|k\rangle k\langle k|$. В обоих случаях естественная область определения оператора -- это когда после применения оператора мы не вылезаем из гильбертова пространства. Если $\psi=\sum c_k |k\rangle $, то в первом случае (гамильтониан) это будет $\sum k^2 |c_k|^2<+\infty$, а во втором случае $\sum |k||c_k|^2<+\infty$.

Ясно, что это разные условия.

Это неизбежно, если мы требуем самосопряжённости операторов (и справедливости спектральной теоремы). Кроме того, различие областей определения совершенно ничему не мешает, я серьёзно не очень понимаю, почему Вы на нём так настаиваете, в учебниках я его не видел.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462620 писал(а):

Я попробую объяснить это на примере гамильтониана и импульса на окружности.

На окружности не интересно. Интересны гранусловия нулевые на обоих концах. А на окружности все просто.

-- Чт май 14, 2020 15:36:39 --

g______d в сообщении #1462620 писал(а):

А откуда это вообще взялось?

Из того, что любую физическую величину можно измерить, и измерение хоть какую-нибудь цифирь да даст. Вон у меня амперметр в шкафу. У него нет на шкале отметки "нет такого вектора состояния"

-- Чт май 14, 2020 15:38:05 --

g______d в сообщении #1462620 писал(а):

$\psi=\sum c_k |k\rangle $, то в первом случае (гамильтониан) это будет $\sum k^2 |c_k|^2<+\infty$, а во втором случае $\sum |k||c_k|^2<+\infty$.

Это хорошее замечание. Подумаю.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462622 писал(а):

Интересны гранусловия нулевые на обоих концах.

Это другой вопрос, я сейчас не очень в состоянии на него ответить (по чисто физиологическим причинам).

Я вернулся к окружности, чтобы привести пример ситуации, в которой физичность операторов не вызывает сомнения, а области определения разные.

-- Чт, 14 май 2020 01:39:11 --

Alex-Yu в сообщении #1462622 писал(а):

Вон у меня амперметр в шкафу. У него нет на шкале отметки "нет такого вектора состояния"

Так состояние коллапсирует в собственное состояние, которое принадлежит области определения по определению...

Кроме того, обычно (хотя и не всегда) "не принадлежит области определения" просто означает, что какой-то интеграл расходится. Если Вы вычисляете мат. ожидание, то оно будет бесконечным. Не сложно придумать состояние, $\psi=\sum c_k |k\rangle$, у которого $\sum|c_k|<+\infty$, а $\sum k|c_k|^2=+\infty$. Значит, что среднее значение импульса оказалось бесконечным. При каждом конкретном измерении будет выдаваться конечный импульс, но статистически бесконечный.

Мне нужно идти спать, заранее извиняюсь за дальнейшие задержки с ответами.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462623 писал(а):

Так состояние коллапсирует в собственное состояние, которое принадлежит области определения по определению...

Естественно. Но это означает, что такое состояние в пространстве состояний есть. И все квантомеханические операторы в т.ч. на нем должны быть определены.

Пространство состояний (а почему $L^2$ собственно? Не обязательно!) это штука более первичная, чем операторы. Если с самосопряженными возникают проблемы, то, быть может, нужно как-то ослабить условие самосопряженности. Как вариант. Но разные области определения "не лезут ни в какие ворота". Или незамкнутось пространства состояний тут как-то работает... Не знаю. Знаю только одно: здесь дела неудовлетворительны.