Функциональный анализ в квантовой механике

[Alex-Yu]

Walker_XXI в сообщении #1462096 писал(а):

читают несколько курсов этого самого функционального анализа. И его знание добавляет прозрачности теории.

Так я и говорю, что такое знание полезно. В качестве элемента общей культуры. Но конкретно для квантовой физики практически бесполезно. "Прозрачность теории"? Это нечто плохо определяемое, если не сказать, что не определяемое вообще. Здесь очень широкий простор для ничем не подтверждаемых личных (или групповых) мнений ничуть не обязательных для других. И вообще, в качестве такого личного мнения, прозрачность физической теории определяется ее физическими аспектами и очень слабо зависит от использованного формального аппарата. И уж точно совсем не зависит от его математической строгости. Даже более того, чем строже, тем непрозрачнее.

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1462098 писал(а):

функциональный (Фейнмановский) интеграл к функциональному анализу отношения не имеет

Ну, формально - да. Однако интегрирование пр пространству функций воспринимается гораздо легче, когда за плечами функциональный анализ.

-- 12.05.2020, 17:02 --

Alex-Yu в сообщении #1462100 писал(а):

И уж точно совсем не зависит от его математической строгости. Даже более того, чем строже, тем непрозрачнее.

Это если используется плохо знакомый матаппарат.

[Alex-Yu]

Walker_XXI в сообщении #1462096 писал(а):

Математика - это, типа, точное решение диффура? И всё? А остальное - не математика?

Нет, конечно. Но обычно чистые математики под квантовой физикой подразумевают банальное ДУЧП Шредингера. Которое нормальный физик вообще никогда решать не будет (кроме вводных лекций для "малышей"). Так что я говорил не о математике, а о представлении математиков о квантовой физике. Вот тут обычно ДУЧП. Впрочем, исключения бывают.

[physicsworks]

Walker_XXI в сообщении #1462096 писал(а):

Вся КТ[еория]П - это математика.

кто вам эту чушь в голову вложил?

Ну а вообще тема ни о чем. Выражаясь его же словами, физика прошла мимо ТС. Так бывает. Особенно смешна попытка осудить Дирака (о чем уже сказали выше). Его книга это по сути один из первых в истории (1930-й год первого издания) учебников по квантовой механике от одного из ее создателей, причем переиздававшийся практически без изменений, с дополнениями. Математически строгая, если хотите, квантовая механика была развита фон Нейманом (который был ассистентом Гильберта) в конце 20-х годов. Именно он ввел гильбертово пространство в квантовую механику, а его учебник вышел два года спустя дираковского. Сам фон Нейман считал бра-кет формализм удобным, но все же невзлюбил обобщенные функции (которые считал "фиктивными"). Кстати, несколько позже фон Нейман признался Биркгофу:

Цитата:

I would like to make a confession which may seem immoral: I do not believe absolutely in Hilbert space any more. After all, Hilbert space (as far as quantum mechanical things are concerned) was obtained by generalizing Euclidean space, footing on the principle of ‘conserving the validity of all formal rules’ [...]. Now we begin to believe that it is not the vectors which matter, but the lattice of all linear (closed) subspaces.

Но это не важно. Он заложил математически грамотный фундамент под квантовую теорию, на котором она стоит с тех пор (вопреки убеждениям ТС), и над которым надстроили КТП позже.

Вообще, строгая математическая формализация в физике иногда может нести больше вреда, чем пользы. Например, как говорил 'т Хоофт не помню где, если бы физики всерьез сплотились вокруг аксиоматизации КТП Вайтмана в 50-х, они бы упустили из виду новые идеи Янг-Миллса, да и теорию струн тоже. Так что всему нужно знать меру.

[nnosipov]

amon в сообщении #1462088 писал(а):

Математики термины воруют (видать, новый придумать фантазии не хватает ;) в результате: "Поле это коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей, множество ненулевых элементов к-рого не пусто и образует группу относительно умножения".

Вот вики по этому поводу пишет: In 1871 Richard Dedekind introduced, for a set of real or complex numbers that is closed under the four arithmetic operations, the German word Körper, which means "body" or "corpus" (to suggest an organically closed entity). The English term "field" was introduced by Moore (1893). Что, физики раньше успели застолбить свое "поле"? Просто любопытно.

[physicsworks]

nnosipov в сообщении #1462147 писал(а):

The English term "field" was introduced by Moore (1893). Что, физики раньше успели застолбить свое "поле"?

Michael Faraday, 1849.

[amon]

nnosipov в сообщении #1462147 писал(а):

Что, физики раньше успели застолбить свое "поле"?

Крестьяне наверняка раньше всех успели.

[physicsworks]

amon в сообщении #1462157 писал(а):

Крестьяне наверняка раньше всех успели.

в связи с этим вспоминается анекдот, в физтеховской формулировке звучащий так:

Цитата:

Студент физфака МГУ проходит мимо лежащего на лавочке пьяного физтеха, в руках которого он замечает 2-й том Ландавшица "Теория поля" и говорит: "Ну надо же! Агроном! А напился как физтех!"

[Alex-Yu]

Хочется сделать еще одно замечание. Ни одному не сошедшему с ума физику и в голову не придет, указывать математикам, как тем делать их математику. А вот математики сплошь и рядом пытаются давать указания физикам, как тем делать физику. Единственное объяснение этому удивительному факту, видимо, заключается в том, что физики обычно все же имеют некоторое представление о математике. И прекрасно понимают, что с математической точки зрения их построения не строги, и даже в чем-то абсурдны. Собственно, когда физик говорит и пишет, скажем, интеграл, он ни в коем случае не имеет в виду то, что математики так называют. Хотя бы потому, что физик понимает, что до бесконечности измельчать интервал интегрирования невозможно, на достаточно малом масштабе то, о чем он пишет, станет вообще полной чепухой, достаточно мелкие разбиения смысла не имеют. Ну и т.д., так практически с любым объектом. А математики о физике обычно вообще никакого представления не имеют. И не понимают, что с точки зрения физики их математические требования (в частности то, что называется "строгость") полностью абсурдны. Даже такая, например, простая вещь, как интеграл в строгом математическом смысле... ...да что там интеграл, уже предел (а значит и производная и т.д.) -- физически абсурдная конструкция. Математические объекты "живут" в идеальном платоновском мире (его Платон совсем не просто так от, нечего делать, выдумал). Именно этот идеальный мир изучает математик. А физику до объектов этого идеального мира обычно нет никакого дела, он изучает реальный мир. Эти два мира иногда в некоторых аспектах оказываются слегка похожи (именно так!), но не более того. Распространять требования и построения из одного мира в другой (причем и в ту, и в другую сторону) -- это верх наивности!

[physicsworks]

Alex-Yu, разделяю Вашу точку зрения по этому вопросу. Вспоминается статья В.И. Арнольда "Что такое математика?", в которой он описывает следующую историю:

Цитата:

Когда Я. Б. Зельдович, замечательный физик-теоретик и один из основателей российской ядерной мощи, выпустил в свет свою «Высшую математику для начинающих физиков и техников», она вызвала страшный гнев тогдашнего цензора математической литературы, академика-математика Л. С. Понтрягина.
Он справедливо указал, что Зельдович определял в своей книге производную функции как «величину отношения приращения функции к приращению аргумента, в предположении, что последнее мало».
Математик был возмущен полным исключением здесь понятий теории пределов, а тем самым и значительной части логического обоснования математического анализа, достигшего совершенства лишь к концу девятнадцатого века, с созданием последовательной теории математического континуума действительных чисел.
Зельдович ответил так: интересует нас всегда именно отношение конечных приращений, а вовсе не какой-то абстрактно-математический предел.
Делать приращение аргумента — скажем, координаты точки или момента времени — меньшим, чем, скажем, $10^{-10}$ или $10^{-30}$ (при разумных единицах измерения) , — это «явное превышение точности модели, так как структура физического пространства (или времени) на столь малых интервалах уже вовсе не соответствует математической модели теории вещественных чисел (вследствие квантовых феноменов)».
«Дело,— продолжал Зельдович,— просто в том, что находить интересующие нас отношения конечных приращений трудно, поэтому и придуманы приближенные асимптотические формулы для них. Эти-то приближенные формулы математики и называют своими пределами и математическими производными. В любом реальном применении теории следует учитывать, меньше чего не следует делать приращения, чтобы результаты теории соответствовали эксперименту».
Длительная дискуссия закончилась тем, что Понтрягин написал свой учебник начал анализа. Он указал уже во введении к нему, что некоторые физики считают возможным изучать и применять анализ, не восходя до его полного логического обоснования, и что «автор настоящего учебника... с ними согласен».
Прочитав эти строки, Зельдович сказал мне: «В таких случаях цитируют, c указанием имени, а так это — прямо плагиат!»

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462105 писал(а):

Нет, конечно. Но обычно чистые математики под квантовой физикой подразумевают банальное ДУЧП Шредингера. Которое нормальный физик вообще никогда решать не будет (кроме вводных лекций для "малышей"). Так что я говорил не о математике, а о представлении математиков о квантовой физике. Вот тут обычно ДУЧП. Впрочем, исключения бывают.

Очень сложно спорить с подобными утверждениями (особенно когда любой контраргумент можно отнести к "исключения бывают"). В той части матфизики, у которой растут ноги из КМ и спектральной теории, примерно половина народу занимается tight binding, где вообще никаких ДУЧП нет. А одна из самых "горячих" тем -- many-body localization, которая принципиально многочастичная. Другая -- строгое доказательства бозе-конденсации (которая не tight binding, но тоже многочастичная).

В одночастичной теории тоже есть интересные открытые вопросы, но среди тех, которые не являются узко специализированными, я с ходу назову двумерную и трехмерную модели Андерсона (в трёхмерном случае ключевые слова "extended states conjecture" ).

Из классических многочастичных результатов можно вспомнить уравнения Фаддеева для трёхчастичной задачи рассеяния. Но это просто как пример -- спектральная теория там используется достаточно продвинутая.

-- Вт, 12 май 2020 14:51:18 --

physicsworks в сообщении #1462134 писал(а):

Именно он ввел гильбертово пространство в квантовую механику, а его учебник вышел два года спустя дираковского.

Само по себе использование гильбертова пространства в КМ не является чем-то новым для фон Неймана. В конце концов, $\ell^2$ можно определить в несколько строчек, используя только обычный анализ.

Достижение фон Неймана в доказательстве общей спектральной теоремы для самосопряжённых операторов (которую он называет разложением единицы).

Насколько я понимаю, в общем виде эта теорема практически не используется в учебниках КМ, вместо этого рассматриваются явные разложения по собственным функциям с разговорами в стиле "если спектр непрерывный, заменим суммы интегралом". Этот подход работает в случае абсолютно непрерывного спектра, но совершенно не работает в случае сингулярно непрерывного. Последний до 80-х годов считался экзотикой вроде неизмеримых функций, но в 80-е обнаружился в моделях квазикристаллов. Насколько я понимаю, он там по существу, но не знаю, кто готов вести дискуссию об этом на техническом уровне.

[physicsworks]

g______d в сообщении #1462205 писал(а):

Само по себе использование гильбертова пространства в КМ не является чем-то новым для фон Неймана.

является. до него никто этого не сделал. Почитайте его три статьи 1927-го года.

g______d в сообщении #1462205 писал(а):

В конце концов, $\ell^2$ можно определить в несколько строчек, используя только обычный анализ.

дело не в определении гильбертова пространства как такового, а в математической формализации квантовой механики как физической теории.

g______d в сообщении #1462205 писал(а):

Достижение фон Неймана в доказательстве общей спектральной теоремы для самосопряжённых операторов (которую он называет разложением единицы).

Это да, но все же главное его достижение (помимо того, о чем написано выше) --- это матрица плотности.

-- 13.05.2020, 02:09 --

g______d в сообщении #1462205 писал(а):

Насколько я понимаю, в общем виде эта теорема практически не используется в учебниках КМ, вместо этого рассматриваются явные разложения по собственным функциям с разговорами в стиле "если спектр непрерывный, заменим суммы интегралом".

это как раз пример того, как физики не заморачиваются некоторыми трудностями и иногда срезают углы.

-- 13.05.2020, 02:16 --

А вообще да, спектральная теорема оказалась очень важной в той же теории рассеяния (уже нерялитивистской), и сыграла важную роль в дальнейшем продвижении к КТП, впрочем как и гильбертово пространство, введение фон Нейманом.

[g______d]

physicsworks в сообщении #1462208 писал(а):

это как раз пример того, как физики не заморачиваются некоторыми трудностями и иногда срезают углы.

В принципе, математики точно так же срезают (или срезали). В спектральной теории ODE строятся "ad hoc" разложения по собственным функциям по аналогии с преобразованием Фурье (пример -- преобразование Фурье -- Бесселя). Впрочем, теоремы полноты строго доказываются.

Для каких-то классов уравнений это работает (например, для периодических потенциалов или быстро убывающих). Для почти периодических -- уже не работает. Для случайных потенциалов (модель Андерсона) тоже не работает.

physicsworks в сообщении #1462208 писал(а):

дело не в определении гильбертова пространства как такового, а в математической формализации квантовой механики как физической теории.

Это верно. Но, на мой взгляд, спектральная теорема является важной частью этой формализации -- иначе нельзя говорить, что любое состояние раскладывается по собственным состояниям любой наблюдаемой (или набора коммутирующих наблюдаемых).

Чтобы доказать (или даже сформулировать) спектральную теорему, нужно намного больше анализа, чем чтобы ввести понятие гильбертова пространства и доказать базовые свойства (например, изоморфность всех сепарабельных бесконечномерных ГП). Мой ответ зависит, впрочем, от того, разбирали ли Вы детали доказательства спектральной теоремы.

Если я правильно помню книгу, с математической точки зрения это самый сложный её результат.

[physicsworks]

g______d в сообщении #1462212 писал(а):

Это верно. Но, на мой взгляд, спектральная теорема является важной частью этой формализации -- иначе нельзя говорить, что любое состояние раскладывается по собственным состояниям любой наблюдаемой (или набора коммутирующих наблюдаемых).

ну, конечно, является. Просто отношение к ней физиков и математиков разное. Физики, как обычно, в основном предполагают, что она справедлива and hope for the best пока бумерангом не вернется (если вообще вернется), а математики пытаются это строго доказать. Ну, у каждого свои задачи.

g______d в сообщении #1462212 писал(а):

Чтобы доказать (или даже сформулировать) спектральную теорему, нужно намного больше анализа, чем чтобы ввести понятие гильбертова пространства и доказать базовые свойства (например, изоморфность всех сепарабельных бесконечномерных ГП). Мой ответ зависит, впрочем, от того, разбирали ли Вы детали доказательства спектральной теоремы.

вот поэтому в физических курсах не то что доказательство этой теоремы опускается, а даже сама теорема не упоминается, хотя ее результаты молчаливо используются. Что касается меня, то несколько лет назад мне пришлось с этим доказательством ознакомиться при подготовке лекций для математиков как раз. Я как ленивый но все же ответственный человек заранее это доказательство проштудировал по Риду и Саймону. А так я бы его и не знал.

[Alex-Yu]

physicsworks в сообщении #1462215 писал(а):

g______d в сообщении #1462212

писал(а):
Это верно. Но, на мой взгляд, спектральная теорема является важной частью этой формализации -- иначе нельзя говорить, что любое состояние раскладывается по собственным состояниям любой наблюдаемой (или набора коммутирующих наблюдаемых). ну, конечно, является. Просто отношение к ней физиков и математиков разное. Физики, как обычно, в основном предполагают, что она справедлива and hope for the best пока бумерангом не вернется (если вообще вернется), а математики пытаются это строго доказать. Ну, у каждого свои задачи.

Пожалуй даже несколько иначе. В КМ спектральная теорема верна изначально. Просто потому, что прибор, измеряющий данную физическую величину, хоть что-нибудь да покажет. Чисто физическое требование, математика вообще ни при чем. Если спектральная теорема не выполняется для какого-нибудь оператора физической величины, это значит, что это вообще не оператор физической величины, он неверно построен. Физически первичным является именно спектральное разложение, а не какой-то заданный с потолка оператор. Здесь ситуация обратная обычной в математике: нет нужды доказывать спектральную теорему для какого-то оператора, напротив спектральная теорема верна априори, нужно построить оператор, который ей удовлетворяет. Впрочем, даже не особо и нужно: если есть спектральное разложение, то больше ничего и не надо. Ну можно приговорить слова, что должен быть соответствующий оператор, определяемый этим спектральным разложением.