Гипотеза Римана

[Pphantom]

Exp0 в сообщении #1433064 писал(а):

(Админу: работающие Wolfram-команды имеют несовпадения с WiKi и TeХ-форматами, например $Pi = \pi$ ):

Exp0, так и не надо оформлять команды Mathematica как формулы: для этого есть тэги "syntax" и "code", а для коротких однострочных вставок - "tt".

[kkapitonets]

истина рождается в споре

[Namaz]

Коллеги, я по указанному ниже адресу опубликовал книгу, где есть материал о новом философическом подходе к решению задач о гипотезе Римана. Хотелось бы услышать конструктивную критику. Ссылку даю ниже:
[реклама удалена]

[Deggial]

Namaz, Предупреждение за рекламу. Реклама удалена.
Если Вы хотите обсудить Ваши подходы к доказательству каких-то проблем, публикуйте их в Дискуссионных темах в соответствии с правилами форума

[kkapitonets]

Exp0 в сообщении #1433064 писал(а):

Таким образом, первые три нуля ZG5 попадают в полуцелый Грам-интервал (g3680295786519.5 , g3680295786520.5]
и утверждение kkapitonels от 10.10.2019 требует доработки.

Прежде всего, вспомним, что
I) если функция на концах промежутка не меняет знак, то она имеет четное количество нулей на этом промежутке, т.е. ноль, два и т.д.,
и, соответственно,
II) если функция на концах промежутка меняет знак, то она имеет нечетное количество нулей на этом промежутке, т.е. один, три, и т.д.

Типизация точек Грама второго рода определяет смену знака функции Харди на промежутках Грама второго рода, т.е. между нулями функции $\cos\theta(t)$, при этом правила смещения нулей функции Харди определяют все случаи, когда ноль функции Харди остается в промежутке Грама второго рода

Определим типы точек Грама второго рода:
a) $a_1$ первого типа, если $Z(\beta_{2n})\le 0$ и $Z(\beta_{2n+1})\ge 0$;
b) $a_2$ второго типа, если $Z(\beta_{2n})>0$ и $Z(\beta_{2n+1})<0$.

где
$\beta_{2n}$ - четные точки Грама второго рода
$\beta_{2n+1}$ - нечетные точки Грама второго рода

тогда
a) на промежутках $a_1a_1$ и $a_2a_2$ функция Харди имеет нечетное количество нулей, как правило, один ноль;
b) на промежутках $a_1a_2$ и $a_2a_1$ функция Харди имеет четное количество нулей, причем на промежутке $a_1a_2$ , как правило, ни одного нуля, а на промежутке $a_2a_1$, как правило, два нуля.

Будем считать эти случаи нормальными, тогда все остальные случаи будем считать аномальными, т.е., когда ноль функции Харди смещается в соседний промежуток Грама второго рода.

Очевидно, что в соответствии с (I) и (II), аномальное смещение нулей функции Харди может происходить только парами, т.е.:
a) если в нормальном промежутке был один ноль, то в аномальном промежутке будет три нуля;
b) если в нормальном промежутке не было нулей, то в аномальном промежутке будет два нуля;
c) если в нормальном промежутке было два нуля, то в аномальном промежутке не будет ни одного нуля.

Для анализа аномальных смещений нулей нам понадобится первая производная функции Харди.

У Мозера есть лемма http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa40/aa4016.pdf относительно первой производной функции Харди:

$\sum_{T\le\beta_{2n}\le T+H}{Z'(\beta_{2n})}=-\frac{1}{4\pi}H\ln^2{\frac{T}{2\pi}}+O(T^\Delta\ln^2T)$
$\sum_{T\le\beta_{2n+1}\le T+H}{Z'(\beta_{2n+1})}= \frac{1}{4\pi}H\ln^2{\frac{T}{2\pi}}+O(T^\Delta\ln^2T)$

где
$\beta_{2n}$ - четные точки Грама второго рода
$\beta_{2n+1}$ - нечетные точки Грама второго рода

$0<H\le \sqrt[4]T; 0<\Delta<\frac{1}{6}$
$Z’(t)=-2\sum_{n=1}^{m}\frac{(\theta’-\log{n})\sin(\theta-t\log{n})}{\sqrt{n}}+O(t^{-1/4}\log{t})$

В соответствии с леммой Мозера первая производная функции Харди, как правило, меняет знак в точках Грама второго рода, что соответствует нормальному смещению нулей функции Харди.
При нормальном смещении (рис. 1) нулей функции Харди в точках Грама второго рода $a_1$ первая производная функции Харди и функция Харди имеют одинаковый знак, а в точках $a_2$ - разные знаки.

Рис. 1

Теперь рассмотрим (рис. 2) простой случай аномального смещения пары нулей функции Харди.

В соответствии с правилами нормального смещения нулей на промежутке $ab$ не должно быть нулей, а на промежутке $bc$ должно быть два нуля функции Харди.

Определим правило аномального смещения пары нулей функции Харди.
Если в точках Грама второго рода первая производная функции Харди имеет аномальное значение, т.е. в точках $a_1$ первая производная функции Харди и функция Харди разные знаки, а в точках $a_2$ - одинаковый знак, то на этих промежутках функция Харди имеет аномальное количество четных и нечетных нулей:
a) если в нормальном промежутке был один ноль, то в аномальном промежутке будет три нуля;
b) если в нормальном промежутке не было нулей, то в аномальном промежутке будет два нуля;
c) если в нормальном промежутке было два нуля, то в аномальном промежутке не будет ни одного нуля.


Рис. 2

Тогда для промежутка $ab$ действует правило (b), а для промежутка $bc$ - правило (c), т.е. пара нулей сместилась аномально из промежутка $bc$ в промежуток $ab$.

При этом появился аномальный промежуток, равный двум промежуткам Грама второго рода, на котором функция Харди не имеет ни одного нуля.

Теперь рассмотрим более сложные случаи, когда две пары нулей функции Харди аномально смещаются в соседних промежутках Грама второго рода (оба случая взяты из работы Гордона).

Пары нулей могут смещаться в разные стороны друг от друга и в разные стороны друг к другу (возможно, существует случай, когда пары нулей смещаются в одну сторону, но это не так интересно).

Рассмотрим сначала случай, когда две пары нулей смещаются аномально друг от друга (случай максимального значения модуля функции Харди).
В этом случае (рис. 3) первая производной функции Харди имеет аномальное значение в шести точках.

Тогда для промежутков $ab$ и $gh$ действует правило (b), а для промежутков $cd$ и $ef$ - правило (c), т.е. в каждом случае смещается три нуля так, что в промежутках $bc$ и $fg$ остается по одному нулю.

При этом появляется аномальный промежуток, равный трем промежуткам Грама второго рода, на котором функция Харди не имеет ни одного нуля.

Рис. 3

И наконец, рассмотрим случай, когда две пары нулей смещаются аномально друг от друга (случай с пятью нулями).

В этом случае (рис. 4) первая производной функции Харди имеет аномальное значение в четырех точках.

Тогда для промежутков $bc$ и $ef$ действует правило (b), для промежутка $de$ - правило (c) и для промежутка $de$ - правило (a).

При этом появляется аномальный промежуток Грама второго рода, на котором функция Харди имеет три нуля.


Рис. 4

Таким образом, количество действительных нулей функции Харди соответствует количеству нулей функции $2\cos\theta(t)$ , т.е. нули функции Харди смещаются относительно нулей функции $2\cos\theta(t)$, которая, если провести аналогию со сложными периодическими колебаниями, является первой «гармоникой» функции Харди.

Что касается пар Лемера, то в соответствии с GUE гипотезой их количество уменьшается с уменьшением расстояния между нулями

$E(\delta,N)=N\frac{\pi^2}{9}\delta^3+O(N\delta^5)$

где $\delta$ - расстояние между нулями пары Лемера

Следовательно, даже если предположить, что все пары Лемара при $\delta<0,00001$ являются мнимыми, то все равно можно утверждать, что почти все нули функции Харди действительные.

[Exp0]

Рисунки и предложенные классификации впечатляют, радует чередование нулей Z и Z' (кроме случаев как в начале рис.1, где их трудно различить. Экспериментальная математика наступает!), к сожалению на главном участке G5 (рис.4) график сливается с х-осью.
Используя софт повышенной точности: список бесплатных пакетов, например PARI/GP (рекомендую освоить), который есть для всех операционок (даже для Android: PariDroid в Google Play) и ветка его использования на dxdy.ru,
получаем важное дополнение к предыдущему утверждению:
первые три нуля ZG5 попадают в полуцелый Грам-интервал G4 $\equiv$ [g3680295786519.5 , g3680295786520.5] $\approx$ [Х5+0.712, X5+0.956],
- находим четвёртый ноль Х5+0.831, который лежит вне исследованного Грам-интервала G5 $\approx$ [Х5+0.834, X5+1.078], но попадает в начало интервала G4 !
Таким образом, "случай 3-х нулей" так и не найден, но обнаружен случай 4-х нулей на полуцелом Грам-интервале G4.
PS. "У Мозера есть лемма" в приведённых обозначениях не нашёл, поточнее - на какой странице?

[kkapitonets]

Я предпочёл бы, классический анализ наступает (рисунки это метод визуализации анализа функции).

Все представленные правила (кроме пар Лемера) имеют строгое доказательство, основанное на аналитических свойствах функции Римана, для которой функция Харди является проекцией на подвижную действительную ось.

Exp0 в сообщении #1434928 писал(а):

Таким образом, "случай 3-х нулей" так и не найден, но обнаружен случай 4-х нулей на полуцелом Грам-интервале G4.

Также строго можно показать, что на указанном промежутке, где графики сливаются с осью абсцисс, функция Харди имеет только пять нулей. Для этого достаточно рассмотреть поведение первых двух производных на этом промежутке.


Общий вид


Покрупнее

Обобщённую формулу производных функции Харди можно найти у Карацубы. http://www.mathnet.ru/links/72b7ce00e39 ... rm2762.pdf

Лемма Мозера в данной редакции звучит как следствие 4 из леммы 2 на странице 81.

[kkapitonets]

Exp0 в сообщении #1434928 писал(а):

например PARI/GP (рекомендую освоить),

освоил, считаю пять нулей

[kkapitonets]

Exp0 в сообщении #1434928 писал(а):

находим четвёртый ноль Х5+0.831,

его там нет, нулей только пять



масштабы всех графиков (кроме zeta) изменены

спасибо за ссылку и содержательную беседу

[Exp0]

Очень хорошо, стало видно как считаются ординаты точек на графиках (что за жёлтая "парабола" появилась на последнем рисунке?), ещё бы понять как вертится/меняется остаточный член (разность между частичной суммой и чезаровскими средними) на таком далёком интервале.
Насчёт Х5+0.831 - сдаётся Mathematica подвела с функцией RiemannSiegelZ[с 15-ой значащей цифры аргумента не меняется результат], - собираюсь освоить систему CoCalc, в которой и посчитаю.
"kkapitonets: Также строго можно показать, что на указанном промежутке, где графики сливаются с осью абсцисс, функция Харди имеет только пять нулей. Для этого достаточно рассмотреть поведение первых двух производных на этом промежутке."
- т.е. привлечь свойство чередования их нулей или как?
Если по проверенным первым N нулям и дополнительным соображениям, аналитически найти следующий N+1 ноль (на критической оси),
то ГР можно доказать по индукции!

ЗЫ. Потестировал: эта ветка индексируется поисковиками yahoo.com bing.com etools.ch duckduckgo.com swisscows.ch (возможно ещё некоторыми, а Яндекс и Гугл мухлюют!), поэтому посты рассматривайте как мини публикации, не спешите с ответами абы как, покопайте интернет пару дней - инфы связанной с ГР гигабайты!

[kkapitonets]

Жёлтая "парабола" подписана "sin", т.е. $-2\theta'\sin\theta$ - я взял первую "гармонику" производной функции Харди (так логичнее).

Остаточный член, если по чезаровским средним стремиться к нулю, т.к. чезаровские средние являются обобщёнными суммами, а они стремятся к значению функции (по правилам обобщённого суммирования).

Строгое обоснование основано на производных, нули первой производной показывают промежуток, на котором функция меняет знак (если она меняет знак на этом промежутке, т.к. минимум может быть больше нуля, а максимум - меньше нуля, т.е. экстремум есть, а график не пересекает ноль), а нули второй производной показывают промежуток, на котором первая производная меняет знак (с той же оговоркой), но в любом случае на большее количество нулей, чем количество соответствующих промежутков, надеяться нельзя. Таким образом, нулей здесь меньше или равно пяти.

По индукции доказать не получится, т.к. есть оговорка "если меняет знак". Это основная сложность доказательства гипотезы Римана на сегодняшний день, т.к. считается, что пары Лемера могут стать комплексными по оговорке "если меняет знак".
Поэтому я и написал:

kkapitonets в сообщении #1432394 писал(а):

поэтому остается один путь, доказать, что

$2>\abs(2\sum_{n=2}^{m}{\frac{\cos(\theta-t\log{n})}{\sqrt{n}}}+R)$

а это практически не возможно

Но есть GUE гипотеза, в соответствии с которой количество таких пар Лемера, которые могут стать комплексными, стремится к нулю.

[Exp0]

Подтверждаю последний график kkapitonels таблицей значений [Z, cos] на интервале $G4 \cup G5$, которая уничтожает (полезный :) фейк о 4-м нуле в $G4$ и восстанавливает
наш уникальный случай трёх нулей.
Теперь ищем три нуля производной Z' в парах Лемера.
Функция Харди Z на любой известной паре Лемера ведёт себя типовым образом: интервал маленький, на концах нули, внутри "горб или яма", а производная Z' меняет знак проходя там через свой единственный ноль.
Предположим, что существует комплексная пара Лемера $t_{1,2} = t$c $\pm $ i $eps$ и посмотрим как поведёт себя функция Харди на критической оси вблизи этой пары.
Возьмём две пары Лемера (избранные 22.12.2019):
$L_{1} = [111.0295 , 111.8747]$ , $L_{2} = [231.2502 , 231.9872]$ и вблизи их середин
$t$с$ =111.5$ и $t$с$=231.5$
внедрим мнимые пары $ad(t) = (t-t_{1})(t-t_{2})$, приняв $eps = 0.05$.
Построив соответствующие графики

- видим: ось $t$ - горизонтальная линия, изначальная функция Харди Z (красная "парабола") преобразуется в "двойной горб" (зелёная кривая), а производная (Z*ad)' сохраняя красноту Z :), кроме обычного (чередующего) нуля, получает ещё два (масштабы кривых по вертикали выровнены), итого имеем
3 нуля производной между соседними нулями Z на критической оси сигналят о наличии мнимой пары Лемера, а средний ноль подсказывает вещественную часть tс этой пары!

[Exp0]

Продолжим, как писал Пойа правдоподобные рассуждения. Цитируя коллегу постом выше: "Строгое обоснование основано на производных, нули первой производной показывают промежуток, на котором функция меняет знак ... нули второй производной показывают промежуток, на котором первая производная меняет знак", - привлечём вторую производную Z''.
Из искомых трёх нулей производной Z' на неком промежутке Лемера, у следующей производной от Z' (т.е. Z'') на таком интервале останется только два нуля (по смыслу производных Z' это касательная к кривой Z и скорость изменения угла наклона касательной это Z'', прикинте сами, есть лишь два графических варианта такого поведения аналитических кривых на одном интервале, где на концах они не обнуляются; при их обнулении у исходной Z на таком конце будет кратный ноль, что невозможно - пост об этом запланирован!).
Теперь поищем, есть ли два соседних нуля Z таких, что между ними расположены два нуля второй производной Z''.
Начнём с любимой точки 111 и обнаруживаем (графики без всяких добавок типа ad):
- подозрительное пересечение графиков Z (красная, начинается с нуля около 111) и Z''(кончается в плюсе) на синей оси t (заодно получилась зелёная Z').
Эту точку пересечения x в районе 114 уточним

$x=114.306875$ и выясним их значение в точке пересечения $Z(x) = 0.059...$ и $Z''(x) = 0.059...$
(из-за численного приближения Z'' имеем расхождение в знаках под троеточием) , главное 0.059 больше нуля и глядя на схему их пересечения, понимаем что Z'' пересекла ось t раньше чем Z.
Вот и нашлись у Z два соседних нуля 111.8747 и 114.3202 (знаки уточнил из таблицы корней Z) такие, что между ними расположены ровно два нуля второй производной Z''.
Надеюсь понимаете, чем чревата даже одна мнимая пара Лемера (ГР false), к которой подводят последние сообщения?

[Exp0]

Закрепим итоги последних постов двумя информационными сканами 4-x кривых: у Z и Z*ad нули на концах; 3 нуля у (Z*ad )' и два у (Z*ad)'' внутри тестовых промежутков. Таким образом, присутствие 3-х нулей производной Z' между соседними нулями Z является достаточным условием наличия мнимой пары (но не необходимым условием, - иногда требуется и вторая производная, но об этом в следующий раз). И вообще, как показали вычисления в прошлом сообщении, мнимая пара может появится скорее на большом интервале между обычными корнями, нежели на лемеровски малом.

Теперь вспомним, что не разобраны случаи кратных нулей Z и о высказанной гипотезе об их отсутствии. Помните как Карацуба обычно писал "нечётные нули дзета-функции Римана", тем самым напоминая о их возможной кратности. В 2013 H.M. Bui и D.R. Heath-Brown вывели, что по крайней мере, 19/27 нулей дзета-функции Римана просты, а сравнительно недавно Nelson A. Carella (- интернет сообщает, что у него с 2003 года не менее 96 работ по теории чисел) доказал отсутствие кратных нулей у дзета-функции Римана: "Every zero ρ=σ+it of the zeta function ζ(s) is a simple zero"!
Тем самым, разные варианты расположения кратных нулей отпадают, отпадает и возможность столкновения нулей как главная причина схода нулей с критической оси, а строгое обоснование повсеместной перемежаемости нулей Z и Z' (-между корнями Z присутствует только один ноль Z', вместо искомых 3-х :), которая есть даже в разобранном исключительном случае скопления пяти нулей (см. чертёж "нулей только пять" от 16 января), сделает ГР true.

[kkapitonets]

Exp0 в сообщении #1437782 писал(а):

доказал отсутствие кратных нулей у дзета-функции Римана

боюсь, что кратные и комплексные (по отношению к функции Харди) это не одно и тоже
когда действительные нули сходят (гипотетически) с критической прямой, то появляются комплексные нули, но они тоже простые

kkapitonets в сообщении #1431800 писал(а):

гипотетически путём смещения одной "гармоники" расширенной функции Харди можно "столкнуть" пары Лемера, причём ноль второй проекции дзета-функции удивительным образом будет смещаться в сторону касания графиков первой проекции

всего-то необходимо показать, что все пары Лемера - действительные