2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 39, 40, 41, 42, 43
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.09.2021, 19:56 


07/05/19
40
Не вдаваясь в длинные описания методов доказательства гипотезы Римана, можно сказать только одно, в настоящее время нет сколько-нибудь ожидаемого результата.

Поэтому возникает вопрос в первую очередь о конструктивной формулировке гипотезы, т.е. формулировки из которой будет следовать способ доказательства.

Сразу замечу, что существует два тома различных альтернативных формулировок, но к сожалению, они имеют скорее академический, чем практический характер.

Broughan, K. 2017, Equivalents of the Riemann hypothesis. Volume 1: Arithmetic equivalents., Cambridge University Press, Cambridge. doi:10.1017/9781108178228

Broughan, K. 2017, Equivalents of the Riemann hypothesis. Volume 2: Analytic equivalents., Cambridge University Press, Cambridge. doi:10.1017/9781108178266

К сожалению, их нет в свободном доступе.

Начнем с тривиального определения.

Если гипотеза Римана верна, то Дзета функцию Римана можно представить бесконечным многочленом
$\zeta(s)=\prod_{k=1}^{\infty}(s^2-s+|\beta_{k}|^2)$

где нули бесконечного многочлена расположены парами на критической прямой
$\beta_k=1/2+i\gamma_k,\bar{\beta}_k=1/2-i\gamma_k$

Соответственно, если гипотеза Римана не верна, то ее также можно представить бесконечным многочленом
$\zeta(s)= \prod_{k=1}^{\infty}(s^2-s+|\beta_{k}|^2)\prod_{l=1}^{\infty}(s^2-2\sigma s+|\beta_{1l}|^2)(s^2-2(1-\sigma)s+|\beta_{2l}|^2)$

где появляются дополнительные нули, которые расположены симметрично относительно критической прямой
$\beta_{1l}=\sigma_l+i\gamma_l,\bar{\beta}_{1l}=\sigma_l-i\gamma_l$
и
$\beta_{2l}=1-\sigma_l+i\gamma_l,\bar{\beta}_{2l}=1-\sigma_l-i\gamma_l$

Очевидно, что мы не можем использовать ряд Дирихле для прямого определения таких полиномов.

Но мы можем попробовать преобразовать расходящийся ряд Дирихле в сходящийся ряд Дирихле.

Т.к. Дзета функция Римана имеет значения в той области, где исходный ряд Дирихле расходится, то мы можем предположить, что существует другой сходящийся ряд Дирихле, который определяет значения Дзета функции Римана и сходится как в области где исходный ряд Дирихле сходится, так и в области, где исходный ряд Дирихле расходится
$\zeta(s)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\delta_{n}(s)n^{-s}$

Но даже такой сходящийся ряд Дирихле нам мало чем поможет.

Теперь вспомним, что исходный ряд Дирихле, который определяет Дзета функцию Римана в области его сходимости, может быть преобразован в произведение Эйлера
$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}=\prod_{p_k\subset\mathbb P}\frac{1}{1-p_k^{-s}}$

Очевидно, что это выражение нам также не поможет получить бесконечный полином.

Но если мы можем предположить, что существует функция, которая преобразует коэффициенты расходящегося ряда Дирихле в левой части этого выражения, то, очевидно, можем предположить, что существует другая функция, которая преобразует расходящееся произведение Эйлера в другое сходящееся произведение Эйлера
$\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n}(s)n^{-s}=\prod_{p_k\subset\mathbb P}\frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}$

А сходящееся в области, где Дзета функция Римана имеет нетривиальные нули, произведение Эйлера это уже подходящий инструмент для анализа бесконечного многочлена.

Тогда мы можем предположить, что если гипотеза Римана верна, то
$\frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}=s^2-s+|\beta_k|^2$

В то время как, если гипотеза Римана не верна, то появляются дополнительные соотношения
$\frac{1}{1-\delta_{1l}(s)p_{1l}^{-s}}=s^2-2\sigma s+|\beta_{1l}|^2$
и
$\frac{1}{1-\delta_{2l}(s)p_{2l}^{-s}}=s^2-2(1-\sigma) s+|\beta_{2l}|^2$

Очевидно, что функции, преобразующие ряд Дирихле в сходящийся ряд Дирихле и произведение Эйлера в сходящееся произведение Эйлера, относятся к некоторому бесконечному счетному классу мультипликативных функций
$\delta_{n}(s),\delta_{k}(s), \delta_{1l}(s),\delta_{2l}(s)\subset\mathbb F_N$

Причем элементы $\delta_{n}(s)$ являются составными, а элементы $\delta_{k}(s), \delta_{1l}(s),\delta_{2l}(s)$ простыми элементами этого класса функций.

Необходимо отметить, что примерный вид функций для ряда Дирихле определяется достаточно легко
$\delta_n(s)=\frac{1}{1+\exp\big(\frac{n-t/\pi}{B(s)}\big)}$

т.к. он следует из свойств коэффициентов конечного ряда Дирихле
$\hat{\zeta}(s_m)=\sum_{n=1}^{N}{{\delta}^*_{n}(N)\hat{n}^{-s_m}}$

Тогда исходя из свойства мультипликативных функций можно построить функции для произведения Эйлера.

Следовательно, для доказательства гипотезы Римана достаточно построить такие функции и показать, что все они приводят к выражению
$\frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}=s^2-s+|\beta_k|^2$

В этом и заключается конструктивное определение гипотезы Римана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.09.2021, 20:13 
Аватара пользователя


11/06/12
9911
лучший.магия.интрига
kkapitonets в сообщении #1533227 писал(а):
К сожалению, их нет в свободном доступе.
Оба есть на z-lib.org.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.09.2021, 20:57 


16/04/18
868
и на лыжах тоже есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.09.2021, 21:07 


07/05/19
40
Aritaborian в сообщении #1533230 писал(а):
kkapitonets в сообщении #1533227 писал(а):
К сожалению, их нет в свободном доступе.
Оба есть на z-lib.org.

спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение29.09.2021, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7942
Москва
И на twirpx тоже есть...

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение30.09.2021, 06:52 
Заслуженный участник


13/12/05
4205
kkapitonets в сообщении #1533227 писал(а):
мы можем предположить, что существует другой сходящийся ряд Дирихле, который определяет значения Дзета функции Римана и сходится как в области где исходный ряд Дирихле сходится, так и в области, где исходный ряд Дирихле расходится
$\zeta(s)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\delta_{n}(s)n^{-s}$

Нет, такого ряда Дирихле не существует. По сумме ряда Дирихле в любой полуплоскости $\sigma>a$ его коэффициенты определяются однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение30.09.2021, 11:57 


07/05/19
40
Padawan в сообщении #1533262 писал(а):
kkapitonets в сообщении #1533227 писал(а):
мы можем предположить, что существует другой сходящийся ряд Дирихле, который определяет значения Дзета функции Римана и сходится как в области где исходный ряд Дирихле сходится, так и в области, где исходный ряд Дирихле расходится
$\zeta(s)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\delta_{n}(s)n^{-s}$

Нет, такого ряда Дирихле не существует. По сумме ряда Дирихле в любой полуплоскости $\sigma>a$ его коэффициенты определяются однозначно.


Очевидно, достаточно, чтобы равенство
$\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n}(s)n^{-s}=\prod_{p_k\subset\mathbb P}\frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}$

выполнялось при $Re(s)>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение08.10.2021, 14:59 


07/05/19
40
Путем несложных, но не очевидных, рассуждений можно прийти к следующему заключению исходя из суммы геометрической прогрессии
$1+a+a^2+…+a^m…=\frac{1}{1-a}; a<1$

Тогда при $a=\delta_k(s)p_k^{-s}$

$ \frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}=1+\delta_k(s)p_k^{-s}+\delta_k(s)^2p_k^{-2s}+…+\delta_k(s)^mp_k^{-ms}…$

Следовательно, можно предположить
$1+\delta_k(s)p_k^{-s}+\delta_k(s)^2p_k^{-2s}+…+\delta_k(s)^mp_k^{-ms}…=\prod_{m=1}^{\infty}(s^2-s+|\beta_{mk}|^2)$

Это выражение очень похоже на тривиальную формулировку,

но здесь уже возникает связь степеней простых чисел и нетривиальных нулей Дзета функции Римана.

Кроме того, мы можем исследовать частичные суммы ряда Дирихле особого вида.

Перемножим различные конечные суммы геометрических прогрессий
$(1+\delta_k(s)p_k^{-s}+\delta_k(s)^2p_k^{-2s}+…+\delta_k(s)^mp_k^{-ms})$ такие, что $p_k^{m}<N$

Учитывая мультипликативность функций $\delta_k(s)$ получим
$\sum_{n=1; p_k^{m}<N}n^{-s}\prod_{p_k|n}\delta_{k}(s)^{\nu_k}$ где $\nu_k$ возьмем из $n=\prod_{p_k|n}p_k^{\nu_k}$

Очевидно, что коэффициенты полученной частичной суммы и простой частичной суммы $\sum_{n=1}^{N}\delta_n(s)n^{-s}$ не будут совпадать,
т.к. в частичной сумме, полученной перемножением частичных сумм геометрических прогрессий, появляются дополнительные члены ряда Дирихле,

которые позволяют найти значения $\delta_k(s)$, а тем самым перейти к исследованию самих частичных сумм геометрической прогрессии
$(1+\delta_k(s)p_k^{-s}+\delta_k(s)^2p_k^{-2s}+…+\delta_k(s)^mp_k^{-ms})$

чтобы установить, существует ли связь степеней простых чисел и нетривиальных нулей Дзета функции Римана или не существует

$p_k^m\rightarrow\beta_{mk}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 638 ]  На страницу Пред.  1 ... 39, 40, 41, 42, 43

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group