Гипотеза Римана

[kkapitonets]

Не вдаваясь в длинные описания методов доказательства гипотезы Римана, можно сказать только одно, в настоящее время нет сколько-нибудь ожидаемого результата.

Поэтому возникает вопрос в первую очередь о конструктивной формулировке гипотезы, т.е. формулировки из которой будет следовать способ доказательства.

Сразу замечу, что существует два тома различных альтернативных формулировок, но к сожалению, они имеют скорее академический, чем практический характер.

Broughan, K. 2017, Equivalents of the Riemann hypothesis. Volume 1: Arithmetic equivalents., Cambridge University Press, Cambridge. doi:10.1017/9781108178228

Broughan, K. 2017, Equivalents of the Riemann hypothesis. Volume 2: Analytic equivalents., Cambridge University Press, Cambridge. doi:10.1017/9781108178266

К сожалению, их нет в свободном доступе.

Начнем с тривиального определения.

Если гипотеза Римана верна, то Дзета функцию Римана можно представить бесконечным многочленом
$\zeta(s)=\prod_{k=1}^{\infty}(s^2-s+|\beta_{k}|^2)$

где нули бесконечного многочлена расположены парами на критической прямой
$\beta_k=1/2+i\gamma_k,\bar{\beta}_k=1/2-i\gamma_k$

Соответственно, если гипотеза Римана не верна, то ее также можно представить бесконечным многочленом
$\zeta(s)= \prod_{k=1}^{\infty}(s^2-s+|\beta_{k}|^2)\prod_{l=1}^{\infty}(s^2-2\sigma s+|\beta_{1l}|^2)(s^2-2(1-\sigma)s+|\beta_{2l}|^2)$

где появляются дополнительные нули, которые расположены симметрично относительно критической прямой
$\beta_{1l}=\sigma_l+i\gamma_l,\bar{\beta}_{1l}=\sigma_l-i\gamma_l$
и
$\beta_{2l}=1-\sigma_l+i\gamma_l,\bar{\beta}_{2l}=1-\sigma_l-i\gamma_l$

Очевидно, что мы не можем использовать ряд Дирихле для прямого определения таких полиномов.

Но мы можем попробовать преобразовать расходящийся ряд Дирихле в сходящийся ряд Дирихле.

Т.к. Дзета функция Римана имеет значения в той области, где исходный ряд Дирихле расходится, то мы можем предположить, что существует другой сходящийся ряд Дирихле, который определяет значения Дзета функции Римана и сходится как в области где исходный ряд Дирихле сходится, так и в области, где исходный ряд Дирихле расходится
$\zeta(s)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\delta_{n}(s)n^{-s}$

Но даже такой сходящийся ряд Дирихле нам мало чем поможет.

Теперь вспомним, что исходный ряд Дирихле, который определяет Дзета функцию Римана в области его сходимости, может быть преобразован в произведение Эйлера
$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}=\prod_{p_k\subset\mathbb P}\frac{1}{1-p_k^{-s}}$

Очевидно, что это выражение нам также не поможет получить бесконечный полином.

Но если мы можем предположить, что существует функция, которая преобразует коэффициенты расходящегося ряда Дирихле в левой части этого выражения, то, очевидно, можем предположить, что существует другая функция, которая преобразует расходящееся произведение Эйлера в другое сходящееся произведение Эйлера
$\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n}(s)n^{-s}=\prod_{p_k\subset\mathbb P}\frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}$

А сходящееся в области, где Дзета функция Римана имеет нетривиальные нули, произведение Эйлера это уже подходящий инструмент для анализа бесконечного многочлена.

Тогда мы можем предположить, что если гипотеза Римана верна, то
$\frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}=s^2-s+|\beta_k|^2$

В то время как, если гипотеза Римана не верна, то появляются дополнительные соотношения
$\frac{1}{1-\delta_{1l}(s)p_{1l}^{-s}}=s^2-2\sigma s+|\beta_{1l}|^2$
и
$\frac{1}{1-\delta_{2l}(s)p_{2l}^{-s}}=s^2-2(1-\sigma) s+|\beta_{2l}|^2$

Очевидно, что функции, преобразующие ряд Дирихле в сходящийся ряд Дирихле и произведение Эйлера в сходящееся произведение Эйлера, относятся к некоторому бесконечному счетному классу мультипликативных функций
$\delta_{n}(s),\delta_{k}(s), \delta_{1l}(s),\delta_{2l}(s)\subset\mathbb F_N$

Причем элементы $\delta_{n}(s)$ являются составными, а элементы $\delta_{k}(s), \delta_{1l}(s),\delta_{2l}(s)$ простыми элементами этого класса функций.

Необходимо отметить, что примерный вид функций для ряда Дирихле определяется достаточно легко
$\delta_n(s)=\frac{1}{1+\exp\big(\frac{n-t/\pi}{B(s)}\big)}$

т.к. он следует из свойств коэффициентов конечного ряда Дирихле
$\hat{\zeta}(s_m)=\sum_{n=1}^{N}{{\delta}^*_{n}(N)\hat{n}^{-s_m}}$

Тогда исходя из свойства мультипликативных функций можно построить функции для произведения Эйлера.

Следовательно, для доказательства гипотезы Римана достаточно построить такие функции и показать, что все они приводят к выражению
$\frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}=s^2-s+|\beta_k|^2$

В этом и заключается конструктивное определение гипотезы Римана.

[Aritaborian]

kkapitonets в сообщении #1533227 писал(а):

К сожалению, их нет в свободном доступе.

Оба есть на z-lib.org.

[novichok2018]

и на лыжах тоже есть.

[kkapitonets]

Aritaborian в сообщении #1533230 писал(а):

kkapitonets в сообщении #1533227 писал(а):

К сожалению, их нет в свободном доступе.

Оба есть на z-lib.org.

спасибо

[Евгений Машеров]

И на twirpx тоже есть...

[Padawan]

kkapitonets в сообщении #1533227 писал(а):

мы можем предположить, что существует другой сходящийся ряд Дирихле, который определяет значения Дзета функции Римана и сходится как в области где исходный ряд Дирихле сходится, так и в области, где исходный ряд Дирихле расходится
$\zeta(s)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\delta_{n}(s)n^{-s}$

Нет, такого ряда Дирихле не существует. По сумме ряда Дирихле в любой полуплоскости $\sigma>a$ его коэффициенты определяются однозначно.

[kkapitonets]

Padawan в сообщении #1533262 писал(а):

kkapitonets в сообщении #1533227 писал(а):

мы можем предположить, что существует другой сходящийся ряд Дирихле, который определяет значения Дзета функции Римана и сходится как в области где исходный ряд Дирихле сходится, так и в области, где исходный ряд Дирихле расходится
$\zeta(s)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\delta_{n}(s)n^{-s}$

Нет, такого ряда Дирихле не существует. По сумме ряда Дирихле в любой полуплоскости $\sigma>a$ его коэффициенты определяются однозначно.

Очевидно, достаточно, чтобы равенство
$\sum_{n=1}^{\infty} \delta_{n}(s)n^{-s}=\prod_{p_k\subset\mathbb P}\frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}$

выполнялось при $Re(s)>0$

[kkapitonets]

Путем несложных, но не очевидных, рассуждений можно прийти к следующему заключению исходя из суммы геометрической прогрессии
$1+a+a^2+…+a^m…=\frac{1}{1-a}; a<1$

Тогда при $a=\delta_k(s)p_k^{-s}$

$ \frac{1}{1-\delta_k(s)p_k^{-s}}=1+\delta_k(s)p_k^{-s}+\delta_k(s)^2p_k^{-2s}+…+\delta_k(s)^mp_k^{-ms}…$

Следовательно, можно предположить
$1+\delta_k(s)p_k^{-s}+\delta_k(s)^2p_k^{-2s}+…+\delta_k(s)^mp_k^{-ms}…=\prod_{m=1}^{\infty}(s^2-s+|\beta_{mk}|^2)$

Это выражение очень похоже на тривиальную формулировку,

но здесь уже возникает связь степеней простых чисел и нетривиальных нулей Дзета функции Римана.

Кроме того, мы можем исследовать частичные суммы ряда Дирихле особого вида.

Перемножим различные конечные суммы геометрических прогрессий
$(1+\delta_k(s)p_k^{-s}+\delta_k(s)^2p_k^{-2s}+…+\delta_k(s)^mp_k^{-ms})$ такие, что $p_k^{m}<N$

Учитывая мультипликативность функций $\delta_k(s)$ получим
$\sum_{n=1; p_k^{m}<N}n^{-s}\prod_{p_k|n}\delta_{k}(s)^{\nu_k}$ где $\nu_k$ возьмем из $n=\prod_{p_k|n}p_k^{\nu_k}$

Очевидно, что коэффициенты полученной частичной суммы и простой частичной суммы $\sum_{n=1}^{N}\delta_n(s)n^{-s}$ не будут совпадать,
т.к. в частичной сумме, полученной перемножением частичных сумм геометрических прогрессий, появляются дополнительные члены ряда Дирихле,

которые позволяют найти значения $\delta_k(s)$, а тем самым перейти к исследованию самих частичных сумм геометрической прогрессии
$(1+\delta_k(s)p_k^{-s}+\delta_k(s)^2p_k^{-2s}+…+\delta_k(s)^mp_k^{-ms})$

чтобы установить, существует ли связь степеней простых чисел и нетривиальных нулей Дзета функции Римана или не существует

$p_k^m\rightarrow\beta_{mk}$

[KVV]

Позвольте уточнить.
Нетривиальные нули Дзета-функции Римана находятся в полосе $0 \leqslant \operatorname{Re}(s) \leqslant 1$ или $0 < \operatorname{Re}(s) < 1$ ?

[vicvolf]

KVV в сообщении #1542115 писал(а):

Позвольте уточнить.
Нетривиальные нули Дзета-функции Римана находятся в полосе $0 \leqslant \operatorname{Re}(s) \leqslant 1$ или $0 < \operatorname{Re}(s) < 1$ ?

$0 < \operatorname{Re}(s) < 1$ Посмотрите свойства данной функции и все станет понятно https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 0%BD%D0%B0

[KVV]

vicvolf в сообщении #1542185 писал(а):

KVV в сообщении #1542115 писал(а):

Позвольте уточнить.
Нетривиальные нули Дзета-функции Римана находятся в полосе $0 \leqslant \operatorname{Re}(s) \leqslant 1$ или $0 < \operatorname{Re}(s) < 1$ ?

$0 < \operatorname{Re}(s) < 1$ Посмотрите свойства данной функции и все станет понятно https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 0%BD%D0%B0

По вашей ссылке в разделе "Нули дзета-функции" написано, что $0 \leqslant \operatorname{Re}(s) \leqslant 1$. : )
А в MathWorld $0 < \operatorname{Re}(s) < 1$.
В том и дело, что в разных источниках по-разному.
Какой ответ верный?

[kkapitonets]

Первый интервал $0\le\sigma\le 1$ следует из функционального уравнения
$\zeta(s)=\chi(s)\zeta(1-s)$
т.к. Дзета функция Римана не имеет нулей при $\sigma>1$, где ряд Дирихле $\sum n^{-s}$ сходится.

Второй интервал $0<\sigma<1$ следует дополнительно из теоремы о распределении простых чисел,
т.к. она доказывает, что Дзета функция Римана не имеет нулей при $\sigma=1$, где ряд Дирихле расходится.

[KVV]

kkapitonets
Значит, и чисто мнимые нули однозначно исключены?

[kkapitonets]

да, Дзета функция Римана не имеет нулей при $\sigma=0$

[KVV]

Спасибо