Гипотеза Римана

[Exp0]

Сегодня закончим с классификацией нулей Z, а о нулях Z' в след. выходные.
В сообщении #1434573 читаем "появляется аномальный промежуток, равный трем промежуткам Грама второго рода, на котором функция Харди не имеет ни одного нуля". А как назвать промежуток без корней, равный четырем промежуткам Грама второго рода? - поищем такой, на одном из скопившихся сканов, я обнаружил скан функции Харди около точки Грама с номером 9725646131432:
The function Z(t) around its Gram point-index 9725646131432 , где утверждалось, что Z не имеет корней на четырех Грам-интервала (обычных или первого рода) подряд. Из чередования точек Грама первого и второго рода (sin , cos) уже следует, что у cos не меньше 3-х интервалов без нулей.
Оцифруем этот рисунок:

T1cos = Tcos - 2381374874119 -> {0.625977, 0.862793, 1.09961, 1.33643, 1.57324, 1.81006, 2.04736, 2.27539}
T1sin = Tsin - 2381374874119 -> {0.5122602, 0.7479313, 0.9836024, 1.2192735, 1.4549446, 1.6906157, 1.9262868, 2.1619579}
 Zs=N[RiemannSiegelZ[Tsin], 16] -> {-0.226325, 0.744812, 5.48924, 166.399, 368.084, 172.772, 7.67034, 0.405365}  
 Zc=N[RiemannSiegelZ[Tcos], 16] -> {-0.669836, -0.0575727, 50.7895, 302.621, 307.668, 56.933, 0.0513084, 0.0289911} 
RS = {}; k1 = 0; For[ k = k1, k <= 10, k = k + 1; AppendTo[RS, {T1sin[[k]], Zs[[k]]}]; AppendTo[RS, {T1cos[[k]], Zc[[k]]}];]
ListPlot[RS, PlotRange -> {{0.2, 2.8}, {-0.2 , 0.2}}, Joined -> True]

По полученным значениям построим график Z и укрупним его около оси: .
Между соседними нулями 0.940 и 2.236 (помним о начале отсчёта с 2381374874119.000),
есть четыре подряд Грам-точки второго рода без нулей {1.09961, 1.33643, 1.57324, 1.81006, 2.04736} ! - нашли противоположную крайность к рассмотренному выше случаю 3 из 5 нулей внутри промежутка Грама второго рода.

И вообще, хорошо бы увязать разные случаи Грам-интервалов второго рода с обычной классификацией (первого рода) и определить блоки второго рода: Грам-блок длины k, содержащий ровно k корней Z(t), называется регулярным. Первый и последний грам-интервалы регулярного грам-блока должны содержать четное число корней (0 или 2 корня). Все внутренние интервалы грамм должны содержать нечетное число нулей, все они должны содержать один ноль, если интервалы на концах имеют 2 и 0 корней. Если оба крайних интервала не содержат нулей, то один из внутренних интервалов должен содержать 3 нуля и в обозначениях Gourdon'a регулярные Грам-блоки должны иметь структуру одной из следующих трех форм: 21 . . . 10, 01 . . . 12, 01 . . . 131 . . . 10 - названные им регулярными Грам-блоками типа I, II и III соответственно.
Прошло почти 40 лет, как была накоплена различная статистика и исследованы экстремальные случаи у первых 1 500 000 000 001 нулей дзета функции Римана, но похоже такой путь даёт лишь намёки для док-ва ГР.
Другое дело, впечатляет недавний аналитический результат: Дзета-функция принимает сколь угодно большие положительные и отрицательные значения на критической оси! - не следует ли из этого дальнейший рост промежутков Грама (обоих типов) без нулей?

[Exp0]

Сообщаю о результатах и вычислениях нулей производных от функций связанных с ГР.
В 1974 году Левинсон доказал, что более 7/10 нулей производной $Z'$ лежат на критической оси, а из соображений от 21.01 и 01.02 понятно, что все эти нули лежат на оси, ведь даже если ГР не верна и объявятся мнимые пары, это только увеличит количество нулей производной функции Харди с одного до трёх у каждой такой мнимой пары.
Решая уравнение $Z'$(t)=0 находим нули производной функции Харди на интервале $0< t <101$ :
Z1={2.4757, 10.2122, 17.8826, 23.1047, 27.7359, 31.6979, 35.3927, 39.1786, 42.1771, 45.6361, 48.8701, 51.5186, 54.7049, 57.7705, 60.1189, 63.0605, 66.0449, 68.3602, 70.8814, 73.7635, 76.393, 78.3622, 81.1292, 83.7852, 86.0448, 88.1471, 90.7239, 93.4354, 95.2797, 97.5114, 100.051} - 31 ноль перемежается (кроме первого) с известными начальными нулями функций Римана 14.1347, 21.0220, ... 98.8312, 101.318 (иначе была бы ошибка в расчётах :).
Дополнительно видим на скане расчёта, что действительная часть дзета-функции Римана в точках Z1 положительна, а мнимая осциллирует.
На отрицательной оси x регулярно расположены тривиальные нули первой производной дзета-функции Римана:
"For n≥2 there is exactly one zero of ζ′ in the interval(−2n,−2n+ 2) and there are no other zeros of ζ′ with σ≤0 (Levinson and Montgomery 1974)".

Рассматривая нетривиальные нули производной дзета-функции Римана $\zeta'$ находим, что все они комплексные, лежат справа от $\operatorname{Re} s =1/2$ и всё ближе подходят к этой критической оси с ростом ординат, особенно близко подходят около пар Лемера!
В этом главное отличие от классического случая функций Харди и дзеты, имеющие одинаковые нули в критической полосе.
Speiser (1934) показал, что Гипотеза Римана эквивалентна тому факту, что нетривиальные нули производной $\zeta'$ имеют действительную часть $\geqslant 1/2$. Точное равенство = 1/2 в свете недавней инфы об отсутствия кратных нулей можно убрать (иначе будет кратный ноль на $\operatorname{Re} s =1/2$ ).
Вот 7 начальных нулей производной дзета-функции Римана $\zeta'$(s) =0 $\to$ {2.463161870+i 23.298320493 , 1.286496822+i 31.708250083 , 2.307570064+i 38.489983173 , 1.382763606+i 42.290964555 , 0.964685623+i 48.847159905 , 2.101699901+i 52.432161245 , 1.895959762+i 57.134753199} .
Получена точная граница E = 2.8130... до которой могут дойти действительные части этих нулей. Таким образом нетривиальные нули $\zeta'(s)$ обитают в полосе $1< \operatorname{Re} s \leqslant E$ .
Что интересно (Yıldırım C.Y. Zeros of ζ''(s) and ζ'''(s) in σ < 1/2), производные второго и третьего порядка имеют по одной комплексной паре нулей $\zeta''(-0.3551 ± 3.5908 i)=0 , \zeta'''(-2.1101 ± 2.5842 i) =0$ и других таких пар в левой полуплоскости нет!

[Exp0]

Для оживления этой ветки сделаю интригующий анонс.
Используя производную от функции Харди Z' и другие мат. средства системы Wolfram Cloud, сконструировал вчера действительную функцию типа пила с "зубъями впивающимися" во все нетривиальные нули (обозначил её как Zr(t), аргумент t тоже real) :

Она (С $\infty$ марта!) может стать новым подходом к ГР. Если кто видел подобное (здесь типовое продолжение графика Zr(t) для t побольше) или может воспроизвести формулу (всего одна строка, раскрою позже) - жду реакции (можно в личку). Пока тайм-аут, нужно всё обдумать.

[Sycamore]

vicvolf в сообщении #1422562 писал(а):

Гипотеза Римана имеет эквивалентную формулировку: $\pi(x)=Li(x)+O(x^{1/2}\log(x))$ (1) для сумматорной арифметической функции количества простых чисел, не превосходящих $x$, или сумматорных функций Чебышева, Мертенса или Лиувилля

будут ли подобные формулировки для альтернативы гипотезе Римана, если и когда нули начнут встревать в сторону от вертикали 1/2? какие формулировки будут лучшей аппроксимацией распределения простых чисел?

[vicvolf]

Sycamore

a1981 в сообщении #1396273 писал(а):

из отсутствия нулей с $\sigma>c$ следует оценка $\pi(x)-Li(x)=O(x^{c+\varepsilon})$ для любого $\varepsilon>0$. При этом из наличия нуля с $\sigma=c$ вытекает, что оценка $\pi(x)-Li(x)=O(x^c)$ неверна.

[Sycamore]

будет ли лучших, чем основанных на ГР, аппроксимаций распределения простых чисел (Дербишир и пр.)?

[vicvolf]

Sycamore в сообщении #1444354 писал(а):

будет ли лучших, чем основанных на ГР, аппроксимаций распределения простых чисел (Дербишир и пр.)?

Рассмотрим другую эквивалентную формулировку ГР через функцию Мертенса: $M(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ для любого $\epsilon > 0$.

В свое время сам Мертенс высказал гипотезу: $|M(n)| < n^{1/2}$.

Гипотеза Мертенса была опровергнута Одлызко: $\limsup_{n \to \infty} (M(n)/n^{1/2}) >1.06$. Это доказанная оценка снизу для функции Мертенса.

Поэтому возможна оценка сверху для этой функции: $M(n)=O(n^{1/2})$. Однако, эта гипотеза, также как и ГР, до сих пор не доказаны.

Я лично сторонник гипотезы, что для функции Мертенса справедлив закон повторного логарифма.

[kotenok gav]

vicvolf в сообщении #1444446 писал(а):

$M(n)=O(n^{1/2})$

Эта гипотеза давно опровергнута.

[vicvolf]

kotenok gav в сообщении #1444453 писал(а):

vicvolf в сообщении #1444446 писал(а):

$M(n)=O(n^{1/2})$

Эта гипотеза давно опровергнута.

Вот здесь говорится, что противоположная гипотеза до сих пор не доказана https://mathworld.wolfram.com/MertensConjecture.html

[Exp0]

Выяснил новые свойства функции-пилы Zr из прошлого моего поста: её верхние зубья доходят до 0.5 и точно указывают своими пиками на все корни производной функции Харди Z' !
В качестве иллюстрации этого, вычислим чему равна Zr на нулях Z' найденных 22.02.2020 (эти нули были получены с 6 значащими цифрами, поэтому последний ноль 100.051 представлен с точностью до тысячных, а у остальных точность не хуже 0.0001):

Что подтверждает свойство верхних точек Zr(zeros Z')=1/2
Таким образом, чередование нулей Z' и Z как пиков двусторонней пилы Zr становится особенно наглядным и даже неизбежным!
А на этот раз, заинтересовал Вас жизнью скрытой функции (перекликаясь с названием известной серии работ Матиясевича :)?

[Exp0]

О первом нуле Zr(t).
Внимательный читатель заметит, что если сверху идут нули производной Z' и их чередуют внизу корни Z (которые начинаются с 14.13...), то что с начальным интервалом [2.4757, 10.2122] нулей Z' ? - Даже в этом интервале есть (первый) ноль функции Zr , вычислим его: возьмем середину этого отрезка ~ 6.3 в качестве первого приближения FindRoot[Zr[t], {t, 6.3}, WorkingPrecision -> 11] получаем {t -> 6.2898359888} - таким образом чередование корней в Zr не нарушено, а точку $t_{0} = 6.2898359888...$ пока назовём несобственным нулём Z.
Поищем это число в Энциклопедии целочисленных(!) последовательностей(OEIS) и выйдем на страницу, где собрана информация о последовательности "6, 2, 8, 9, 8, 3, 5, 9, 8, 8, 8," и есть подсказка t0 = t /. FindRoot[ RiemannSiegelTheta'[t] == 0, {t, 6}, WorkingPrecision -> 11] - выполнив команду -> 6.2898359888 получаем снова наше число, а главное узнаём, что $t_{0}$ представляет корень $\theta$'(t) - отобразим график этой функции:

- начинаем разбираться, производная от Теты симметрична и имеет единственный симметричный ноль: RiemannSiegelTheta'[-t0] = 0. + 0. I
Найдём нижнюю точку (минимум при $t=0$):
N[RiemannSiegelTheta'[0], 11] = -2.6860917096 , замечу что это совпадает с N[-Zeta'[1/2]/Zeta[1/2], 11]=-2.6860917096
Три поста, три функции Z,Z',Theta' собраны в одну формулу Zr - ещё неделю думаем.

[Exp0]

Особенности поведения Zr(t) при |t|<11
Около мнимой оси Zr(t) рисует "ручки" пилы
- найдём их размер: NMinimize[{Zr[t], t > 0, t < 2}, t] -> {0.32974, {t -> 0.779854}}
и (скорее для контроля, посколько имеем симметрию Zr(t)=Zr(-t)), NMinimize[{Zr[t], t < 0, t > -1}, t] -> {0.32974, {t -> -0.779854}}
Производная от симметричной функции антисимметрична: Zr'(t)=-Zr'(-t) , ожидаемо терпит разрывы на "зубъях" и увеличивается при росте t.
Интегралы от Zr близки к величине (длина интервала интегрирования)/4, когда пределы интегрирования совпадают с корнями Z или Z',
чтобы лучше видеть это (т.е. насколько малыми они станут), вычтем под интегралом 1/4 и посчитаем три разных случая, где в качестве пределов интегрирования выберем
1) корни Z, N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {x, 25.01085758, 49.77383248}]] -> 0.004739 , возьмём интервал от 100-го до 111-го нуля Z :
N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {x, N[Im[ZetaZero[100]]], N[Im[ZetaZero[111]]]}]] -> -0.007794 и на порядок больше:
N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {x, N[Im[ZetaZero[1000]]], N[Im[ZetaZero[1111]]]}]] -> 0.008192 ;
2) корни Z', N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {x, 23.10465065, 48.87000415}]] -> 0.02216 , если добавим сюда интеграл по соседнему
интервалу {48.87000415, 51.518587654}, то уйдём в небольшой минус -> -0.04006 ;
3) гибридный интервал из нулей Z' и Z, N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {23.10465065, 49.77383248} -> -0.01785 - тоже около нуля.
И наконец, сообщаю базовую формулу arg(-Z'+iZϑ'), которую остаётся только промасштабировать в полосу 0$\leqslant$ Zr $\leqslant$1/2 и записать на удобном языке (- смотрите в следующем посте).

[kotenok gav]

Exp0 в сообщении #1447801 писал(а):

0$\leqslant$ Zr $\leqslant$1/2

Пишите формулы по человечески, а.

[Exp0]

Решил проверить, как меняются интегралы из прошлого поста для всех зубьев Zr(t) при 10 < t < 100
- с первого запуска заработала прога и выдала осциллирующие в пределах 0.05 значения.

Площадь под кривой не изменится, если переставить составляющие её криволинейные трапеции в порядке убывания:

Предлагаю исследовать сходимость (можно рассмотреть чётные и нечётные частичные суммы и V.P.) этого интеграла на бесконечном интервале (и найти нижний предел интегрирования сводящий интеграл к нулю), - ждём нового Рамануджана!

[Pphantom]

Exp0, предупреждение за систематически неправильное оформление формул.