2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 37, 38, 39, 40, 41
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение02.01.2020, 13:38 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
19481
Кронштадт
 ! 
Exp0 в сообщении #1433064 писал(а):
(Админу: работающие Wolfram-команды имеют несовпадения с WiKi и TeХ-форматами, например $Pi = \pi$ ):
Exp0, так и не надо оформлять команды Mathematica как формулы: для этого есть тэги "syntax" и "code", а для коротких однострочных вставок - "tt".

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение06.01.2020, 11:19 


07/05/19
33
истина рождается в споре :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение10.01.2020, 08:46 


10/01/20
1
Коллеги, я по указанному ниже адресу опубликовал книгу, где есть материал о новом философическом подходе к решению задач о гипотезе Римана. Хотелось бы услышать конструктивную критику. Ссылку даю ниже:
[реклама удалена]

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение10.01.2020, 09:24 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  Namaz, Предупреждение за рекламу. Реклама удалена.
Если Вы хотите обсудить Ваши подходы к доказательству каких-то проблем, публикуйте их в Дискуссионных темах в соответствии с правилами форума

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение11.01.2020, 16:46 


07/05/19
33
Exp0 в сообщении #1433064 писал(а):
Таким образом, первые три нуля ZG5 попадают в полуцелый Грам-интервал (g3680295786519.5 , g3680295786520.5]
и утверждение kkapitonels от 10.10.2019 требует доработки.

Прежде всего, вспомним, что
I) если функция на концах промежутка не меняет знак, то она имеет четное количество нулей на этом промежутке, т.е. ноль, два и т.д.,
и, соответственно,
II) если функция на концах промежутка меняет знак, то она имеет нечетное количество нулей на этом промежутке, т.е. один, три, и т.д.

Типизация точек Грама второго рода определяет смену знака функции Харди на промежутках Грама второго рода, т.е. между нулями функции $\cos\theta(t)$, при этом правила смещения нулей функции Харди определяют все случаи, когда ноль функции Харди остается в промежутке Грама второго рода

Определим типы точек Грама второго рода:
a) $a_1$ первого типа, если $Z(\beta_{2n})\le 0$ и $Z(\beta_{2n+1})\ge 0$;
b) $a_2$ второго типа, если $Z(\beta_{2n})>0$ и $Z(\beta_{2n+1})<0$.

где
$\beta_{2n}$ - четные точки Грама второго рода
$\beta_{2n+1}$ - нечетные точки Грама второго рода

тогда
a) на промежутках $a_1a_1$ и $a_2a_2$ функция Харди имеет нечетное количество нулей, как правило, один ноль;
b) на промежутках $a_1a_2$ и $a_2a_1$ функция Харди имеет четное количество нулей, причем на промежутке $a_1a_2$ , как правило, ни одного нуля, а на промежутке $a_2a_1$, как правило, два нуля.

Будем считать эти случаи нормальными, тогда все остальные случаи будем считать аномальными, т.е., когда ноль функции Харди смещается в соседний промежуток Грама второго рода.

Очевидно, что в соответствии с (I) и (II), аномальное смещение нулей функции Харди может происходить только парами, т.е.:
a) если в нормальном промежутке был один ноль, то в аномальном промежутке будет три нуля;
b) если в нормальном промежутке не было нулей, то в аномальном промежутке будет два нуля;
c) если в нормальном промежутке было два нуля, то в аномальном промежутке не будет ни одного нуля.

Для анализа аномальных смещений нулей нам понадобится первая производная функции Харди.

У Мозера есть лемма http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa40/aa4016.pdf относительно первой производной функции Харди:

$\sum_{T\le\beta_{2n}\le T+H}{Z'(\beta_{2n})}=-\frac{1}{4\pi}H\ln^2{\frac{T}{2\pi}}+O(T^\Delta\ln^2T)$
$\sum_{T\le\beta_{2n+1}\le T+H}{Z'(\beta_{2n+1})}= \frac{1}{4\pi}H\ln^2{\frac{T}{2\pi}}+O(T^\Delta\ln^2T)$

где
$\beta_{2n}$ - четные точки Грама второго рода
$\beta_{2n+1}$ - нечетные точки Грама второго рода

$0<H\le \sqrt[4]T; 0<\Delta<\frac{1}{6}$
$Z’(t)=-2\sum_{n=1}^{m}\frac{(\theta’-\log{n})\sin(\theta-t\log{n})}{\sqrt{n}}+O(t^{-1/4}\log{t})$

В соответствии с леммой Мозера первая производная функции Харди, как правило, меняет знак в точках Грама второго рода, что соответствует нормальному смещению нулей функции Харди.
При нормальном смещении (рис. 1) нулей функции Харди в точках Грама второго рода $a_1$ первая производная функции Харди и функция Харди имеют одинаковый знак, а в точках $a_2$ - разные знаки.
Изображение
Рис. 1

Теперь рассмотрим (рис. 2) простой случай аномального смещения пары нулей функции Харди.

В соответствии с правилами нормального смещения нулей на промежутке $ab$ не должно быть нулей, а на промежутке $bc$ должно быть два нуля функции Харди.

Определим правило аномального смещения пары нулей функции Харди.
Если в точках Грама второго рода первая производная функции Харди имеет аномальное значение, т.е. в точках $a_1$ первая производная функции Харди и функция Харди разные знаки, а в точках $a_2$ - одинаковый знак, то на этих промежутках функция Харди имеет аномальное количество четных и нечетных нулей:
a) если в нормальном промежутке был один ноль, то в аномальном промежутке будет три нуля;
b) если в нормальном промежутке не было нулей, то в аномальном промежутке будет два нуля;
c) если в нормальном промежутке было два нуля, то в аномальном промежутке не будет ни одного нуля.

Изображение
Рис. 2

Тогда для промежутка $ab$ действует правило (b), а для промежутка $bc$ - правило (c), т.е. пара нулей сместилась аномально из промежутка $bc$ в промежуток $ab$.

При этом появился аномальный промежуток, равный двум промежуткам Грама второго рода, на котором функция Харди не имеет ни одного нуля.

Теперь рассмотрим более сложные случаи, когда две пары нулей функции Харди аномально смещаются в соседних промежутках Грама второго рода (оба случая взяты из работы Гордона).

Пары нулей могут смещаться в разные стороны друг от друга и в разные стороны друг к другу (возможно, существует случай, когда пары нулей смещаются в одну сторону, но это не так интересно).

Рассмотрим сначала случай, когда две пары нулей смещаются аномально друг от друга (случай максимального значения модуля функции Харди).
В этом случае (рис. 3) первая производной функции Харди имеет аномальное значение в шести точках.

Тогда для промежутков $ab$ и $gh$ действует правило (b), а для промежутков $cd$ и $ef$ - правило (c), т.е. в каждом случае смещается три нуля так, что в промежутках $bc$ и $fg$ остается по одному нулю.

При этом появляется аномальный промежуток, равный трем промежуткам Грама второго рода, на котором функция Харди не имеет ни одного нуля. :shock:
Изображение
Рис. 3

И наконец, рассмотрим случай, когда две пары нулей смещаются аномально друг от друга (случай с пятью нулями).

В этом случае (рис. 4) первая производной функции Харди имеет аномальное значение в четырех точках.

Тогда для промежутков $bc$ и $ef$ действует правило (b), для промежутка $de$ - правило (c) и для промежутка $de$ - правило (a).

При этом появляется аномальный промежуток Грама второго рода, на котором функция Харди имеет три нуля. :o

Изображение
Рис. 4

Таким образом, количество действительных нулей функции Харди соответствует количеству нулей функции $2\cos\theta(t)$ , т.е. нули функции Харди смещаются относительно нулей функции $2\cos\theta(t)$, которая, если провести аналогию со сложными периодическими колебаниями, является первой «гармоникой» функции Харди.

Что касается пар Лемера, то в соответствии с GUE гипотезой их количество уменьшается с уменьшением расстояния между нулями

$E(\delta,N)=N\frac{\pi^2}{9}\delta^3+O(N\delta^5)$

где $\delta$ - расстояние между нулями пары Лемера

Следовательно, даже если предположить, что все пары Лемара при $\delta<0,00001$ являются мнимыми, то все равно можно утверждать, что почти все нули функции Харди действительные. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение13.01.2020, 16:09 


25/08/19
26
Рисунки и предложенные классификации впечатляют, радует чередование нулей Z и Z' (кроме случаев как в начале рис.1, где их трудно различить. Экспериментальная математика наступает!), к сожалению на главном участке G5 (рис.4) график сливается с х-осью.
Используя софт повышенной точности: список бесплатных пакетов, например PARI/GP (рекомендую освоить), который есть для всех операционок (даже для Android: PariDroid в Google Play) и ветка его использования на dxdy.ru,
получаем важное дополнение к предыдущему утверждению:
первые три нуля ZG5 попадают в полуцелый Грам-интервал G4 $\equiv$ [g3680295786519.5 , g3680295786520.5] $\approx$ [Х5+0.712, X5+0.956],
- находим четвёртый ноль Х5+0.831, который лежит вне исследованного Грам-интервала G5 $\approx$ [Х5+0.834, X5+1.078], но попадает в начало интервала G4 !
Таким образом, "случай 3-х нулей" так и не найден, но обнаружен случай 4-х нулей на полуцелом Грам-интервале G4.
PS. "У Мозера есть лемма" в приведённых обозначениях не нашёл, поточнее - на какой странице?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение14.01.2020, 11:40 


07/05/19
33
Я предпочёл бы, классический анализ наступает (рисунки это метод визуализации анализа функции).

Все представленные правила (кроме пар Лемера) имеют строгое доказательство, основанное на аналитических свойствах функции Римана, для которой функция Харди является проекцией на подвижную действительную ось.
Exp0 в сообщении #1434928 писал(а):
Таким образом, "случай 3-х нулей" так и не найден, но обнаружен случай 4-х нулей на полуцелом Грам-интервале G4.

Также строго можно показать, что на указанном промежутке, где графики сливаются с осью абсцисс, функция Харди имеет только пять нулей. Для этого достаточно рассмотреть поведение первых двух производных на этом промежутке.

Изображение
Общий вид

Изображение
Покрупнее

Обобщённую формулу производных функции Харди можно найти у Карацубы. http://www.mathnet.ru/links/72b7ce00e39 ... rm2762.pdf

Лемма Мозера в данной редакции звучит как следствие 4 из леммы 2 на странице 81.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение16.01.2020, 18:34 


07/05/19
33
Exp0 в сообщении #1434928 писал(а):
например PARI/GP (рекомендую освоить),

освоил, считаю пять нулей
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение16.01.2020, 22:08 


07/05/19
33
Exp0 в сообщении #1434928 писал(а):
находим четвёртый ноль Х5+0.831,

его там нет, нулей только пять

Изображение

масштабы всех графиков (кроме zeta) изменены

спасибо за ссылку и содержательную беседу

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение17.01.2020, 14:00 


25/08/19
26
Очень хорошо, стало видно как считаются ординаты точек на графиках (что за жёлтая "парабола" появилась на последнем рисунке?), ещё бы понять как вертится/меняется остаточный член (разность между частичной суммой и чезаровскими средними) на таком далёком интервале.
Насчёт Х5+0.831 - сдаётся Mathematica подвела с функцией RiemannSiegelZ[с 15-ой значащей цифры аргумента не меняется результат], - собираюсь освоить систему CoCalc, в которой и посчитаю.
"kkapitonets: Также строго можно показать, что на указанном промежутке, где графики сливаются с осью абсцисс, функция Харди имеет только пять нулей. Для этого достаточно рассмотреть поведение первых двух производных на этом промежутке."
- т.е. привлечь свойство чередования их нулей или как?
Если по проверенным первым N нулям и дополнительным соображениям, аналитически найти следующий N+1 ноль (на критической оси),
то ГР можно доказать по индукции!

ЗЫ. Потестировал: эта ветка индексируется поисковиками yahoo.com bing.com etools.ch duckduckgo.com swisscows.ch (возможно ещё некоторыми, а Яндекс и Гугл мухлюют!), поэтому посты рассматривайте как мини публикации, не спешите с ответами абы как, покопайте интернет пару дней - инфы связанной с ГР гигабайты!

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение17.01.2020, 16:34 


07/05/19
33
Жёлтая "парабола" подписана "sin", т.е. $-2\theta'\sin\theta$ - я взял первую "гармонику" производной функции Харди (так логичнее).

Остаточный член, если по чезаровским средним стремиться к нулю, т.к. чезаровские средние являются обобщёнными суммами, а они стремятся к значению функции (по правилам обобщённого суммирования).

Строгое обоснование основано на производных, нули первой производной показывают промежуток, на котором функция меняет знак (если она меняет знак на этом промежутке, т.к. минимум может быть больше нуля, а максимум - меньше нуля, т.е. экстремум есть, а график не пересекает ноль), а нули второй производной показывают промежуток, на котором первая производная меняет знак (с той же оговоркой), но в любом случае на большее количество нулей, чем количество соответствующих промежутков, надеяться нельзя. Таким образом, нулей здесь меньше или равно пяти.

По индукции доказать не получится, т.к. есть оговорка "если меняет знак". Это основная сложность доказательства гипотезы Римана на сегодняшний день, т.к. считается, что пары Лемера могут стать комплексными по оговорке "если меняет знак".
Поэтому я и написал:
kkapitonets в сообщении #1432394 писал(а):
поэтому остается один путь, доказать, что

$2>\abs(2\sum_{n=2}^{m}{\frac{\cos(\theta-t\log{n})}{\sqrt{n}}}+R)$

а это практически не возможно :shock:

Но есть GUE гипотеза, в соответствии с которой количество таких пар Лемера, которые могут стать комплексными, стремится к нулю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 611 ]  На страницу Пред.  1 ... 37, 38, 39, 40, 41

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group