В защиту Литлвуда

[Dan B-Yallay]

Вопрос к Лукомору:

Даны два персонажа: чертик и ангел. У ангела есть в наличии бесконечное множество шаров, а у чертика - бесконечно большая корзина. Ангелу дано задание - до обеда сложить все шары в корзину чертика. У чертика задание - вынуть всё из корзины и тоже до обеда.

Как вы думаете, что такого должен положить в корзину ангел до обеда, чтобы чертик не успел это вынуть?

[Лукомор]

ewert в сообщении #142624 писал(а):

Каждый шар в своё время вкладывается в ящик, а в своё время -- вынимается из оного.

Мое мнение: слово "вынимается" здесь не совсем корректно.
Точнее было бы сказать:"заменяется на десять других шаров".
===Каждый шар в свое время вкладывается в ящик, а в свое время заменяется на 10 других шаров.===
Так:
шар №1 заменяется на шары №11...№20
шар №2 заменяется на шары №21...№30
шар №3 заменяется на шары №31...№40
.....
шар №$N$ заменяется на шары № ${(10\cdot N+1)}\dots№{10\cdot(N+1)}$
.....
Такая трактовка позволяет более точно отразить тот факт, что на каждом шаге количество шаров в ящике увеличивается, и не существует такого шага, начиная с которого, количество шаров в ящике будет уменьшаться.
А ведь, если количество шаров в ящике не уменьшается, то нельзя прийти к пустому множеству шаров в ящике.

[juna]

Лукомор
Их рассуждения продолжаются за пределами данности, которую рассматриваете Вы. Вопрос в том, доберемся ли мы до этих пределов в полдень?

[Лукомор]

Dan B-Yallay в сообщении #142660 писал(а):

Как вы думаете, что такого должен положить в корзину ангел до обеда, чтобы чертик не успел это вынуть?

Дело в том, что чертик, в отличие от ангела, за бесплатно работать не будет.
Пока ангел не даст ему предоплату в количестве 10 шаров, чертик не вынет 1 шар из ящика.
Я думаю, это хороший бизнес...

[Dan B-Yallay]

Лукомор писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #142660 писал(а):

Как вы думаете, что такого должен положить в корзину ангел до обеда, чтобы чертик не успел это вынуть?

Дело в том, что чертик, в отличие от ангела, за бесплатно работать не будет.
Пока ангел не даст ему предоплату в количестве 10 шаров, чертик не вынет 1 шар из ящика.
Я думаю, это хороший бизнес...

Естественно чертик не сможет вынуть того, чего в корзине нет, но то что уже положено - он вынет в любой угодный ему момент до обеда.
А вы согласны с тем, что ангел выдаст чертику (как предоплату или в любом другом качестве) все имеющиеся у него шары до обеда? Согласно задания...

[Лукомор]

juna в сообщении #142666 писал(а):

Лукомор

Их рассуждения продолжаются за пределами данности, которую рассматриваете Вы. Вопрос в том, доберемся ли мы до этих пределов в полдень?

Это второй вопрос...
Я не хотел бы мешать в одну кучу все вопросы, тем самым забалтывая тему.
Хотя мое мнение таково:
Если частота выемки шаров постоянно увеличивается, стремясь к бесконечности, то вынуть бесконечное количество шаров за конечное время можно.
Более того, ангел справится со своей работой раньше, чем чертик, у которого останутся невыгруженные к этому моменту шары. Бесконечно много шаров...

[juna]

Лукомор в сообщении #142669 писал(а):

Если частота выемки шаров постоянно увеличивается, стремясь к бесконечности, то вынуть бесконечное количество шаров за конечное время можно.

Это как, простите?
Что значит бесконечная частота и конечное время?
Это обратные величины.

[Dan B-Yallay]

Лукомор писал(а):

ewert в сообщении #142624 писал(а):

Каждый шар в своё время вкладывается в ящик, а в своё время -- вынимается из оного.

Мое мнение: слово "вынимается" здесь не совсем корректно.
Точнее было бы сказать:"заменяется на десять других шаров".
===Каждый шар в свое время вкладывается в ящик, а в свое время заменяется на 10 других шаров.===
Так:
шар №1 заменяется на шары №11...№20
шар №2 заменяется на шары №21...№30
шар №3 заменяется на шары №31...№40
.....
шар №$N$ заменяется на шары № ${(10\cdot N+1)}\dots№{10\cdot(N+1)}$
.....
Такая трактовка позволяет более точно отразить тот факт, что на каждом шаге количество шаров в ящике увеличивается, и не существует такого шага, начиная с которого, количество шаров в ящике будет уменьшаться.
А ведь, если количество шаров в ящике не уменьшается, то нельзя прийти к пустому множеству шаров в ящике.

Рассмотрим две ситуации.

1) В корзине уже лежат три шарика: 1,2,3.
шар №1 заменяется на шары №4
шар №2 заменяется на шары №5
шар №3 заменяется на шары №6

Так как число шаров в корзине не уменьшается(и не увеличивается), то по-вашему в обед там должно остаться ровно три шара. Номеров у них, я так понимаю, нет. Но так как изначально все шары предполагаются занумерованными, то получаем "парадокс".

2) Уже несколько раз рассмотренный вариант: все шары уже лежат в корзине. Чертик их вынимает по очереди по одному. Если вы согласны что к обеду будут вынуты все шары, то укажите момент, когда количество шаров в корзине начнет уменьшаться. И в каком смысле понимать это "уменьшение", так как в теоретико-множественном понимании на каждом шаге в корзине всегда остается одно и то же количество шаров: счетно-бесконечное.

Впрочем, все эти варианты, включая мой предыдущий, уже обсуждались выше.

[Someone]

epros в сообщении #142524 писал(а):

А если идеализация доходит до такого, чего в жизни в принципе никогда и близко не бывает, то на фига такая идеализация вообще нужна?

Вы отрицаете полезность математического анализа и основанных на нём областей математики?

Captious в сообщении #142598 писал(а):

Парадокс бесконечности Дж.Литлвуда - это ещё одна наглядная иллюстрация парадокса бесконечных множеств ( «часть равна целому»), который связан с выбором противоречивых критериев «равенства», то бишь, с различием целевых установок.

Врёте. Существует только один критерий равенства множеств: множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, каждый элемент первого множества является элементом второго, а каждый элемент второго - элементом первого. Все другие "критерии" равенства - глупость, что и показывают всякие "парадоксы" и "противоречия", существующие в головах умственных извращенцев.

Captious в сообщении #142598 писал(а):

Множ-во (ящик) с бесконечным числом шаров разбивается на два подмнож-ва: подмнож-во «вкладываемых» шаров и подмно-во «изымаемых».

Чушь. Ничего там не разбивается на "два подмножества".

Captious в сообщении #142598 писал(а):

С точки зрения свойств элементов и процессов образования эти подмнож-ва разные и «не равны»: на каждые 10 вкладываемых в ящик шаров приходится только один изымаемый.

Они совпадают, поскольку удаляются в точности те элементы, которые перед этим вкладываются. Количества же никакой роли не играют. Единственное существенное обстоятельство состоит в том, что каждый добавленный элемент затем был удалён.

Captious в сообщении #142598 писал(а):

С другой стороны, перед каждым изъятием одного k- го шара, в ящик поступает 10k шаров, т.е. кол-во вкладываемых шаров постоянно растет и как бы опережает их убыль.

Вот именно: "как бы".

Captious в сообщении #142598 писал(а):

Истина состоит в том, что ни в бесконечном множ-ве изымаемых, ни в бесконечном множ-ве вкладываемых в ящик шаров принципиально невозможно выбрать некий «последний» шар, равно как нельзя считать бесконечные процессы завершенными.

Господи, ну причём тут "последний шар"? Какие "бесконечные процессы"? Нету в математике бесконечных формул и бесконечных рассуждений. И "процесс" Литлвуда - тоже конечное рассуждение, записываемое формально конечным числом символов. Здесь на самом деле вообще нет никакого "процесса", это обычное индуктивное определение: определяем функцию, которая произвольному множеству натуральных чисел $A$ и натуральному числу $n$ ставит в соответствие множество

$$\Phi(A,n)=(A\cup\{10n-9,10n-8,10n-7,10n-6,10n-5,10n-4,10n-3,10n-2,10n-1,10n\})\setminus\{n\}\text{.}$$

После этого полагаем
1) $A_0=\varnothing$ и
2) $A_n=\Phi(A_{n-1},n)$ при $n\in\mathbb N$.
Существование и единственность $A_n$ доказываются (К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970. Глава III, § 2). И определение, и доказательство содержат конечное число символов, и никаких "бесконечных" процессов при этом не обнаруживается. Итоговое множество

$$A=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_k$$

также определяется конечным числом символов и никаких "бесконечных" процессов не требует.

В действительности, всякие "бесконечные" процессы, обсуждаемые здесь - не более чем попытка наглядной интерпретации индуктивного определения. К математике это не имеет отношения.

epros в сообщении #142605 писал(а):

Самое смешное, что если извлекать другие шары (не k-тые, а 10k-тые), то можно конкретно указать номера шаров, которые останутся! И это при том, что множество вкладываемых и множество вынимаемых шаров останутся "равными".

Извините, но последнее утверждение есть глупость. Если в "процессе" Литлвуда множества вкладываемых и извлекаемых элементов действительно равные, так как содержат в точности одни и те же элементы, то в Ваше примере эти множества совсем не равные. И именно поэтому остаются неизвлечённые элементы.

epros в сообщении #142605 писал(а):

Вот, золотые слова! И я о том же твержу. Однако у теоретико-множественников есть стандартная отмазка

Отмазка от глупых выдумок не требуется.

juna в сообщении #142658 писал(а):

Вопрос: когда наступит полдень - в данности убогих или в метаданности (в которой вообще нет времени)?
Только ответ нужно не постулировать, как раньше, а доказывать.

Прежде чем доказывать, нужно аккуратно, на достаточно формальном языке, сформулировать определение и утверждение. При этом "время" и "процессы" начисто исчезнут. Останется индуктивное определение множеств $A_n$ и определение множества

$$A=\{x:\exists n_x\in\mathbb N(\text{элемент }x\text{ был добавлен в множество }A_{n_x}\text{ и не был удалён из множества }A_n\text{ ни при каком }n\geqslant n_x)\}\text{.}$$

После чего доказательство пустоты множества $A$ становится тривиальным.

[ewert]

juna в сообщении #142658 писал(а):

Вот Вы говорите время. В теоретико-множественной постановке его нет, от него абстрагируются. Все, что для вас есть - это последовательность кладки, вынимания.

Если б я хотел сказать "время", то так бы и сказал (имею право). Однако же была использована идиома "в своё время". Которая в русском языке непосредственного отношения именно ко времени не имеет.

juna в сообщении #142658 писал(а):

На каждом этапе имеем конечное множество, мощность которого от этапа к этапу возрастает.
Здесь в пределе получается бесконечное множество-немножество,

Это даже забавно -- постоянно возвращаться к одному и тому же. С какой стати Вы полагаете, что предел вообще существует? и уж во всяком случае -- что предел мощности равен мощности предела?

Добавлено спустя 5 минут 57 секунд:

Лукомор в сообщении #142662 писал(а):

Мое мнение: слово "вынимается" здесь не совсем корректно.
Точнее было бы сказать:"заменяется на десять других шаров".
===Каждый шар в свое время вкладывается в ящик, а в свое время заменяется на 10 других шаров.===

Докажите, что операция "заменить" не эквивалентна совокупности операций "вынуть" и "вложить".

[juna]

ewert в сообщении #142691 писал(а):

Это даже забавно -- постоянно возвращаться к одному и тому же.

Забавно настолько, насколько и вы возвращаетесь к одному и тому же.

ewert писал(а):

С какой стати Вы полагаете, что предел вообще существует?

Примерно с той же, с какой существует теоретико-множественный предел.

ewert писал(а):

и уж во всяком случае -- что предел мощности равен мощности предела?

Это как, простите?

Someone писал(а):

Прежде чем доказывать, нужно аккуратно, на достаточно формальном языке, сформулировать определение и утверждение. При этом "время" и "процессы" начисто исчезнут.

То, что в вашей формализации они исчезли, как и предполагал Литлвуд, так это свойство данной конкретной формализации. Однако в условии задачи оно есть. Литлвуд пытался вложить математическую реальность в физическую.
Есть непрерывно меняющаяся величина - время и дискретно меняющаяcя, которая стремиться стать непрерывно меняющейся - мощность формируемого множества. Вот это и требует корректной формализации.

[epros]

Dan B-Yallay писал(а):

Как вы думаете, что такого должен положить в корзину ангел до обеда, чтобы чертик не успел это вынуть?

Dan B-Yallay писал(а):

Естественно чертик не сможет вынуть того, чего в корзине нет, но то что уже положено - он вынет в любой угодный ему момент до обеда.

Что уже положено - вынет, а что будет положено - об этом ещё нужно подумать (после того, как поймём, что это будет положено). Весь вопрос в том, за кого мы будем "быстрее думать" - за ангела или за чёртика. Есть такие номера, которые неизвестно когда будут положены и будут ли вообще. Как конкретно для этих номеров мы можем судить, будут они вынуты или нет? Пример: минимальное нечётное совершенное число.

Вообще-то это рассуждение - за рамками классической логики, и я знаю стандартный ответ на него: что суждение "если положен, то вынут" является общим и не требует проверки для конкретных случаев. Увы, тут мы с классической логикой расходимся: я не считаю, что общее суждение, не допускающее проверки для каждого конкретного случая, имеет право на существование.

Someone писал(а):

Вы отрицаете полезность математического анализа и основанных на нём областей математики?

Не преувеличивайте. В матанализе далеко не всё основано на аксиоме бесконечности. Я посмею утверждать даже большее: То в матанализе, что основано на аксиоме бесконечности, можно спокойно выкинуть без ущерба для приложений - нормальные пользователи этого даже не заметят.

Аксиома бесконечности в своё время была добавлена просто "для красоты", а может быть для того, чтобы не отходить от Канторовской традиции рассуждений о бесконечностях. Есть масса подобных аксиом, которые мы могли бы добавить с тем же успехом и сегодня. Например, если я скажу, что мне не нравится гипотеза континуума и что "между алеф-нуль и континуумом существует несчётное множество кардинальностей", то у нас появится новая аксиома, из которой будет следовать масса бессмысленных вещей. А я буду довольно потирать руки и на любую критику отвечать: "Продемонстрируйте вывод противоречивого утверждения, тогда будет о чём говорить".

Чем ситуация с аксиомой бесконечности принципиально отличается от этого?

Someone писал(а):

Извините, но последнее утверждение есть глупость. Если в "процессе" Литлвуда множества вкладываемых и извлекаемых элементов действительно равные, так как содержат в точности одни и те же элементы, то в Ваше примере эти множества совсем не равные. И именно поэтому остаются неизвлечённые элементы.

Я не случайно заключил слово "равные" в кавычки, ибо очевидно, что в данном случае речь шла не о равенстве, а о равномощности.

Someone писал(а):

Отмазка от глупых выдумок не требуется.

А "глупой выдумкой" Вы считаете соображения о том, что когда бесконечный процесс (сборки индуктивного множества) завершается результатом (предъявлением этого самого множества), то сие есть абсурд?

[Лукомор]

ewert в сообщении #142691 писал(а):

Лукомор в сообщении #142662 писал(а):
Мое мнение: слово "вынимается" здесь не совсем корректно.
Точнее было бы сказать:"заменяется на десять других шаров".
===Каждый шар в свое время вкладывается в ящик, а в свое время заменяется на 10 других шаров.===

Докажите, что операция "заменить" не эквивалентна совокупности операций "вынуть" и "вложить".

Эквивалентна.
Более того, если мы будем только вкладывать шары, и не будем их вынимать, а будем перекладывать шары внутри ящика, то множество шаров в ящике к обеду, при некоторых дополнительных условиях, может стать пустым.

Добавлено спустя 12 минут:

juna в сообщении #142673 писал(а):

Это как, простите?
Что значит бесконечная частота и конечное время?
Это обратные величины.

Обратные величины называются частота и период.
Пример бесконечного процесса, завершающегося за конечное время уже я приводил, в этой теме, если нужно, повторюсь.

Добавлено спустя 14 минут 48 секунд:

Dan B-Yallay в сообщении #142685 писал(а):

Рассмотрим две ситуации.

1) В корзине уже лежат три шарика: 1,2,3.
шар №1 заменяется на шары №4
шар №2 заменяется на шары №5
шар №3 заменяется на шары №6

Так как число шаров в корзине не уменьшается(и не увеличивается), то по-вашему в обед там должно остаться ровно три шара. Номеров у них, я так понимаю, нет. Но так как изначально все шары предполагаются занумерованными, то получаем "парадокс".

2) Уже несколько раз рассмотренный вариант: все шары уже лежат в корзине. Чертик их вынимает по очереди по одному. Если вы согласны что к обеду будут вынуты все шары, то укажите момент, когда количество шаров в корзине начнет уменьшаться. И в каком смысле понимать это "уменьшение", так как в теоретико-множественном понимании на каждом шаге в корзине всегда остается одно и то же количество шаров: счетно-бесконечное.

Впрочем, все эти варианты, включая мой предыдущий, уже обсуждались выше.

1. По первому пункту можно еще более заострить ситуацию
В корзине лежит один шар, с номером 1.
Мы кладем в корзину шар с номером 10 и вынимаем шар №1.
На следующем шаге кладем шар №100 и вынимаем шар №10.
Потом плюем на это дело, и вместо того, чтобы ложить/вынимать шары просто дописываем нули в конце номера:
1, 10, 100, 1000, 10000... и.т.д.
Ясно, что к обеду множество шаров в корзине будет пустым...
2. По второму пункту: Если в корзине всегда счетно-бесконечное количеств шаров, то и пустое множество шаров, оставшееся к обеду тоже содержит счетно-бесконечное количество шаров, вы не находите???
Ведь мы на любом конкретном шаге не переходим от счетно-бесконечного множества к конечному.

[Captious]

epros в сообщении #142605 писал(а):

Captious писал(а):
...нельзя считать бесконечные процессы завершенными.

Вот, золотые слова! И я о том же твержу. Однако у теоретико-множественников есть стандартная отмазка: формально противоречивого утверждения в рамках теории множеств вывести не получается, значит соответствующей аксиоматикой можно пользоваться.

А некоторые из них (особенно те, которые , ничтоже сумняшеся, считают аксиоматику ZFC вершиной математической мысли и универсальным языком матем-ки ) вообще на полном серьёзе отрицают, что постоянно имеют дело с двумя типами бесконечности - потенциальной и актуальной.
Например, в парадоксе Литлвуда вопрос "Сколько чисел останется в ящике в полдень?" по умолчанию предполагает, что все потенциально бесконечные процессы "закладывания и удаления" шаров (чисел) "в полдень" завершены. После этого начинается «подсчёт» «вкладываемых» и «изымаемых» элементов множ-ва и на основании его делается вывод о «равенстве /неравенстве»" подмнож-в.
В случае конечных множеств изъятие или добавление даже одного элемента немедленно отражается на результатах «подсчета», а вот из бесконечных множ-в можно изъять (или добавить в них) счетное множ-во счетных множ-в без нарушения равномощности с исходным множ-вом.

epros в сообщении #142605 писал(а):

Captious писал(а):
Каждому вкладываемому шару с некоторым номером k соответствует изымаемый шар с тем же номером

Самое смешное, что если извлекать другие шары (не k-тые, а 10k-тые), то можно конкретно указать номера шаров, которые останутся! И это при том, что множество вкладываемых и множество вынимаемых шаров останутся "равными".

Вот, вот...
О том и речь - о разных критериях выделения элементов подмножеств.
Если главным для нас является пересчет, связанный с
перебором элементов, то мы отождествляем количество элементов с
количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения
элементов по совпадению или несовпадению их качеств.
Если же мы сделаем значимым для себя разделение «предметов» на
тождественные и нетождественные, то мы приходим к
теоретико-множественным операциям выделения и объединения, когда
присоединение элементов, тождественных уже содержащимся во множестве,
не изменяет этого множества.

[juna]

Лукомор в сообщении #142709 писал(а):

Пример бесконечного процесса, завершающегося за конечное время уже я приводил, в этой теме, если нужно, повторюсь.

Повторяться не нужно, Вы не поняли главного - если в этой задаче у нас есть мгновенные действия, то нет времени. Если нет времени, теоретико-множественные рассуждения корректны.