В защиту Литлвуда

[PAV]

А тут ответа и нет, похоже. Ситуация аналогична пределу последовательности $x_n=(-1)^n$

[juna]

Не хочется опять вступать в бесконечный спор.
Но все же.

AD писал(а):

Тем не менее, от нас вы просили, чтобы метрика еще и удовлетворяла

Ее ввели для формализации понятия "близко к пусто"
Однако потом согласились, что нет смысла отличать шарики друг от друга, т.е. наш ответ не зависит от того, как они упорядочены, т.е. вытягивать их можно в произвольном порядке.
Итак, допустим у нас два множества абсолютно одинаковых шариков. Как их отличать друг от друга - естественно по количеству элементов. Введем определение - множество, в котором нет элементов - пусто . Тогда близкое к пусто можно формализовать так - множество из одного шарика ближе к пусто, чем множество из двух шариков и т.д. Введем расстояние между множествами, как я указывал, и посмотрим, будем ли мы стремиться к пусто удовлетворяя условиям задачи. Конечно, нет. Это все равно, что 10-1+10-1+10-1+...=0

[PAV]

Единственная очевидная "парадоксальность" ситуации состоит в том, что на каждом шаге количество шаров в урне увеличивается (оставаясь конечным), а в конце урна вдруг оказывается пустой. Но это совершенно нормальная ситуация, как я уже отмечал, показывающая в частности разницу между оперированием с конечными и бесконечными множествами. Вот похожая аналогия: для заданного $n$ рассмотрим два множества - множество всех натуральных чисел от 1 до $n$ и множество всех четных чисел. С ростом $n$ объемы этих множеств различаются все сильнее и сильнее. Однако "для бесконечного $n$" (т.е. для всех натуральных чисел) множества "вдруг" оказываются равномощными. Это нормально.

[juna]

Они оказываются равномощными, потому что между ними можно установить биекцию. А как установить биекцию между пусто и тем, что может стать таковым (а может и не стать) в потенции.

[shwedka]

PAV писал(а):

А тут ответа и нет, похоже. Ситуация аналогична пределу последовательности $x_n=(-1)^n$

Я бы так сказать не рискнула. Для последовательностей мы сначала вводим понятие предела, а потом проверяем условия этого определения для $x_n=(-1)^n$. С шариками у нас нет никакого определения. Фактически, в исходном примере мы произвольным образом, молчаливо, приняли за ответ $\lim \inf$, не сказав громко, что мы так будем поступать всегда. У нас нет общего определения, которое мы для каждой новой модели игры могли бы проверять. Оставляется место для интуиции, а это очень плохо.

[Someone]

PAV писал(а):

Вот похожая аналогия: для заданного рассмотрим два множества - множество всех натуральных чисел от $1$ до $n$ и множество всех четных чисел (от $1$ до $n$ - Someone). С ростом объемы этих множеств различаются все сильнее и сильнее. Однако "для бесконечного " (т.е. для всех натуральных чисел) множества "вдруг" оказываются равномощными. Это нормально.

juna писал(а):

Они оказываются равномощными, потому что между ними можно установить биекцию. А как установить биекцию между пусто и тем, что может стать таковым (а может и не стать) в потенции.

juna, Вы не замечаете в своих словах двойного подхода?

В случае с равномощностью множества натуральных чисел и множества чётных натуральных чисел Вы сравниваете только "предельные" множества, но не сравниваете "допредельные", а "допредельные" множества не равномощны ни друг другу, ни "предельным" множествам.

В случае же задачи Литлвуда Вы почему-то хотите, чтобы "допредельное" множество было равномощно "предельному".

shwedka писал(а):

PAV писал(а):

А тут ответа и нет, похоже. Ситуация аналогична пределу последовательности $x_n=(-1)^n$

Я бы так сказать не рискнула. Для последовательностей мы сначала вводим понятие предела, а потом проверяем условия этого определения для $x_n=(-1)^n$. С шариками у нас нет никакого определения. Фактически, в исходном примере мы произвольным образом, молчаливо, приняли за ответ $\lim \inf$, не сказав громко, что мы так будем поступать всегда. У нас нет общего определения, которое мы для каждой новой модели игры могли бы проверять. Оставляется место для интуиции, а это очень плохо.

Рассмотрим общий процесс такого рода, в котором имеется множество шагов, занумерованных натуральными числами. Этот процесс мы рассматриваем как процесс построения некоторого множества путём пошагового добавления и удаления элементов.

Чтобы выяснить, что за множество получится в результате такого построения, нужно проследить судьбу каждого конкретного элемента, участвующего в построении, с учётом того, что один и тот же элемент может неоднократно добавляться и удаляться.
Начинаем с пустого множества.
Естественно считать, что если некоторый элемент был добавлен на каком-то шаге, а на последующих шагах не удалялся, то он принадлежит построенному множеству.
Также естественно считать, что если некоторый элемент был удалён на некотором шаге, а на последующих шагах не добавлялся, то он не принадлежит построенному множеству.

Если же некоторый элемент добавлялся и удалялся для бесконечной последовательности шагов, то его судьба является неопределённой, и мы не имеем "интуитивно ясных" оснований, чтобы определить, принадлежит он построенному множеству или не принадлежит. В этом случае естественно считать, что наш процесс никакого множества не строит. Либо принять для данного случая какое-то специальное определение, которое не будет выглядеть "интуитивно ясным".

Подытоживая, можно сказать, что, если каждый элемент, участвующий в процессе, добавляется и удаляется только конечное число раз, то результатом процесса является множество
$A=\{x:\exists n\in\mathbb N(\text{элемент }x\text{ был добавлен на шаге }n\text{ и не был удалён ни на каком из последующих шагов})\}\text{.}$
Никакого предельного перехода здесь, как легко видеть, не наблюдается.

Применяя эти рассуждения к задаче Литлвуда, легко увидеть, что множество $A$ не будет содержать ни одного элемента, то есть, будет пустым.

Если обозначить $A_n$ множество, построенное в рассматриваемом процессе на $n$-ном шаге, то, при соблюдении указанного выше условия, будут выполняться равенства

$$A=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_k\text{,}$$

то есть,

$$A=\varlimsup_{n\to\infty}A_n=\varliminf_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to\infty}A_n\text{.}$$

Несмотря на употребление обозначения и термина "предел", я не склонен усматривать здесь какой-либо предельный переход, поскольку все эти "пределы" являются просто комбинациями операций объединения и пересечения, которые никаких предельных переходов ни в каких случаях не предполагают.

Для того, чтобы говорить о предельном переходе, мы должны определить топологию (или хотя бы множество сходящихся последовательностей) на множестве подмножеств множества элементов, (потенциально) участвующих в процессе. Нужно хорошо понимать, что топологий можно определить очень много, и что предел последовательности $\{A_n:n\in\mathbb N\}$ будет существенно зависеть от выбранной топологии. Более того, этот предел, вообще говоря, не имеет отношения к "судьбе" конкретных элементов в процессе построения множеств $A_n$, $n\in\mathbb N$.

[juna]

Someone писал(а):

juna, Вы не замечаете в своих словах двойного подхода?

В случае с равномощностью множества натуральных чисел и множества чётных натуральных чисел Вы сравниваете только "предельные" множества, но не сравниваете "допредельные", а "допредельные" множества не равномощны ни друг другу, ни "предельным" множествам.

В случае же задачи Литлвуда Вы почему-то хотите, чтобы "допредельное" множество было равномощно "предельному".

Я вижу следующее. Вы рассуждаете так: формирую множество добавляя на каждом шаге по 10 элементов и одновременно с добавлением удаляю один элемент из уже добавленных, получаем нормальное счетное множество добавленных и такое же удаленных. Ясно, что они равномощны. С этим сложно спорить.
Но ведь если два бесконечных множества равномощны, то отсюда не следует что они состоят из одинаковых элементов.
Если бы я сначала сформировал множество, добавляя по 10 элементов, а потом все вычеркнул, то здесь нет вопросов. А здесь я формирую сразу два множества, чередуя их формирование. И моя позиция такова, что уже при этих условиях процесс неоднозначен.

[AD]

juna писал(а):

получаем нормальное счетное множество добавленных и такое же удаленных. Ясно, что они равномощны. С этим сложно спорить.

Вот снова я вылезаю. От вас требуется формализовать, что значит "получаем". То есть это и есть предельный переход. Кстати, в вашей предметрике предела не существует вообще - ни конечного, ни бесконечного (ведь для бесконечных множеств она просто не определена, и, следовательно, стремиться к ним нельзя по определению).

[Профессор Снэйп]

shwedka писал(а):

У меня все же некоторая неуверенность от всего этого остается. Выбор теоретико-множественного подхода для ответа на вопрос Литтлвуда все же подразумевает какой-то привкус непрерывности, чего конечно, хочется избежать.

PAV писал(а):

А тут ответа и нет, похоже. Ситуация аналогична пределу последовательности $x_n=(-1)^n$

Someone писал(а):

Для того, чтобы говорить о предельном переходе, мы должны определить топологию (или хотя бы множество сходящихся последовательностей) на множестве подмножеств множества элементов, (потенциально) участвующих в процессе. Нужно хорошо понимать, что топологий можно определить очень много, и что предел последовательности $\{A_n:n\in\mathbb N\}$ будет существенно зависеть от выбранной топологии.

shwedka, PAV, Someone!

Вот эта самая топология, которую я определял выше в одном из предыдущих сообщений и в которой последовательность $\{ t+1, \ldots, 10t+9 \}$ сходится к пустому множеству --- это довольно естественная топология для $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. На мой взгляд, она не менее естественная, чем стандартная топология на $\mathbb{R}^n$, задаваемая произвольной нормой.

По сути это "информационная" топология. Вроде, хотя и не уверен сейчас, я видел, что в одной из книжек она так и называлась (без кавычек).

Вот есть произвольное $X \subseteq \mathbb{N}$. Иногда можно определить $X$ через алгоритм распознавания, или через алгоритм перечисления элементов... но в общем случае чтобы полностью задать $X$, надо задать значение его характеристической функции

$$ f_X(n) = \begin{cases} 1, &n \in X; \\ 0, &n \not\in X \end{cases} $$

на всех натуральных $n$. А какого сорта информацию мы можем иметь про $X$? Ясно, что на практике вся информация носит "конечный" характер, то есть мы можем обладать информацией о каких-то конечных кусочках $X$.

И вот в той топологии базис фильтра окрестностей $X$ составляют совокупности вида

$$ U_f = \{ Y \subseteq \mathbb{N} : f \subseteq f_Y \} $$

где $f$ --- произвольная функция с конечной областью определения и значениями в $\{ 0,1 \}$, для которой $f \subseteq f_X$.

Чем больше информации мы про $X$ имеем, тем большие куски $f_X$ мы знаем и тем более узкие окрестности мы можем взять.

Что значит $X_t \to X$ в этой топологии. Это значит, что для любого (сколь угодно большого) конечного кусочка информации про $X$ все элементы последовательности $\{ X_t \}$, начиная с некоторого, обладают той же самой информацией. А топология, надо заметить, хаусдорфова (даже метризуемая!), так что пересечение всех окрестностей икса есть $\{ X \}$. И по моему, так очень естественно видеть здесь именно сходимость последовательности, ведь с ростом $t$ на всё больших конечных кусочках $X_t$ становится похожим на $X$.

Можно ещё с такого боку зайти.

$$ \lim_{t \to \infty} X_t = X $$

если

$$ \lim_{t \to \infty} f_{X_t}(n) = f_X(n) $$

для любого $n \in \mathbb{N}$. Вполне нормально отождествлять множество с его характеристической функцией. А то, что последовательность функций сходится к некоторой функции поточечно --- тоже нормально, и видеть в этом какую-то подозрительную сходимость несколько странно.

А вот функция, сопоставлющая каждому подмножеству $\mathbb{N}$ его мощность, в естественной "информационной" топологии не является непрерывной. Отсюда и все странности: люди необоснованно предполагают её непрерывность, а затем из-за этого начинают видеть парадоксы там, где их нет. Между тем чисто интуитивно множества

$\{ 1, \ldots, 100 \}$ и $\{ 1, \ldots, 101 \}$

гораздо "ближе" друг к другу (более "похожи" друг на друга), чем множества

$\{ 1, \ldots, 100 \}$ и $\{ 1001, \ldots, 1100 \}$,

хотя в первой паре множеств мощности различаются, а во второй они равны!

[shwedka]

Я не спорю с определениями Someone; с определениями вообще дурной тон спорить. У меня нехорошее чувство по отношемию к Литтлвуду, который заведомо народ обжулил.
представьте себе, что студентам дается задание вычислить об'ем трехмерного тела, но определение об'ема при этом не дано ни в задании, ни в курсе лекций до того, ни в доступной литературе. Плохие студенты проигнорируют, сильные опеределят понятие об'ема на основе интуитивного, бытового понимания, сведут к интегралу, сосчитают. Кто лучше, кто хуже. Но преподаватель сжульничал. Он потребовал найти то, что он не определил.
Литтлвуд, покойничек, поступил таким же способом. Он потребовал найти величину, которая в предшествующей ему математике не была определена. То есть студент сначала должен дать определение, исходя из интуитивного и бытового понимания. И здесь, естественно, люди с разным бэкграундом определяют по-разному, и спор идет. Вот Someone определил решение задачи (и даже решаемость целого типа задач) через операции с множествами. Прекрасно. Все понятно и даже просто. Но другим такое определение не нравится. Противоречит их интуиции и жизненному опыту. Пытаются дать другое, с другим ответом в задаче. Ошибка?? Да нет!! С определениями не спорят. Автор же не позаботился определить, что, в конце концов, он требует найти.

[Профессор Снэйп]

shwedka писал(а):

У меня нехорошее чувство по отношемию к Литтлвуду, который заведомо народ обжулил.

Не знаю, я самого Литтлвуда не читал. А здесь на форуме приводились лишь его интерпретации. Возможно, он в своей книжке рассматривает проблему с разных сторон.

Вообще, конечно, я могу отчасти понять противоположную точку зрения. Допустим, $\{ f_n \}$ --- это последовательность функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, такая что

$$ f_n(x) = \begin{cases} 0, &x \not\in [n+1, 10n+10); \\ 1, &x \in [n+1, 10n+10) \end{cases} $$

Сходится ли эта последовательность к нулевой функции? Поточечно --- да. Но не равномерно и не по норме в $L_2(\mathbb{R})$.

Но, кстати, тогда уж замечу, что поточечную сходимость я знал ещё со школы и она казалась мне наиболее естественной. А сходимостям по всяким нормам меня научили в универе, сам бы я ни за что до них не догадался. Отсюда мораль: если вид сходимости не оговаривается, то имеется в виду поточечная сходимость.

Да и множества имеют свою специфику. Всё-таки это не совсем функции.

[PAV]

shwedka писал(а):

У меня нехорошее чувство по отношемию к Литтлвуду, который заведомо народ обжулил.

Но преподаватель сжульничал. Он потребовал найти то, что он не определил.

Литтлвуд, покойничек, поступил таким же способом. Он потребовал найти величину, которая в предшествующей ему математике не была определена. То есть студент сначала должен дать определение, исходя из интуитивного и бытового понимания. И здесь, естественно, люди с разным бэкграундом определяют по-разному, и спор идет. Вот Someone определил решение задачи (и даже решаемость целого типа задач) через операции с множествами. Прекрасно. Все понятно и даже просто. Но другим такое определение не нравится. Противоречит их интуиции и жизненному опыту. Пытаются дать другое, с другим ответом в задаче. Ошибка?? Да нет!! С определениями не спорят. Автор же не позаботился определить, что, в конце концов, он требует найти.

Знаете, если бы я прочел только сообщение, не взглянув на автора, то готов был бы поспорить, что это писал Архипов. Буквально то же слова.

А откуда Вы заключили, что Литтлвуд вообще требовал решать эту задачу? Задачи ведь дают не только для решения, но и для размышления. И во многих случаях лучше при этом не давать сразу все необходимые определения, а дать читателям подумать над ними самостоятельно.

[TOTAL]

PAV писал(а):

А откуда Вы заключили, что Литтлвуд вообще требовал решать эту задачу? Задачи ведь дают не только для решения, но и для размышления. И во многих случаях лучше при этом не давать сразу все необходимые определения, а дать читателям подумать над ними самостоятельно.

Вот я самостоятельно и решил, что номера шаров в ящике никак не связаны с их количеством. Поэтому число шаров только возрастает и начиная с некоторого шага становится больше любого наперед заданного числа, т.е. стремится к бесконечности. А вопросы типа "какой именно шар можно будет обнаружить в ящике в полдень" я просто игнорирую, так как шары неразличимы. Тот, кто различает шары, как раз и уподобляется Вовочке, который, когда его спрашивают о количестве фруктов в корзине, требует назвать каждый фрукт по имени. Вопрос в исходной постановке был только о количестве.

[PAV]

Математика имеет дело с множествами, а элементы множеств должны быть различимы. А про неразличимые шары - это ведь уже не исходная задача. В задаче было четко сказано про номера и в терминах этих номеров прописана процедура.

А в том, что количество шаров в корзине стремится к бесконечности - это Вы совершенно правы. Но этот факт не имеет никакого отношения к количеству шаров в полдень, что уже неоднократно объяснялось.

[TOTAL]

PAV писал(а):

Математика имеет дело с множествами, а элементы множеств должны быть различимы.

$10-1=9$ Какую именно единицу я отнял, различаете?