В защиту Литлвуда

[epros]

Лукомор писал(а):

Выше я, надеюсь, ответил и на Ваше замечание.

К сожалению нет. Я вообще не понял, к чему Ваш последний пост.

Речь была о том, есть ли такие шары, которые не будут вынуты до полудня. Ваше сообщение по этому вопросу ничего не проясняет. А ведь можно уточнить условия задачи и так, и эдак: Можно вынимать один из последних шаров, тогда в коробке останутся шары, которые никогда не будут вынуты. Но мне такой вариант неинтересен, поскольку он не приводит к видимому противоречию. Мне интересно, что теоретико-множественники будут делать с такой постановкой задачи, согласно которой с одной стороны любой шар будет вынут, а с другой стороны в коробке останутся пронумерованные шары (т.е. ненулевое количество шаров).

[AD]

epros в сообщении #142409 писал(а):

А когда математика лишена какого бы то ни было практического смысла, то это хороший повод задуматься: А нужна ли такая математика вообще?

В данной конкретной задаче математика не особо нужна, согласен. А вот с выбрасыванием фтопку демонстрируемой в этой задаче теоремы я бы не спешил. Мало ли что может оказаться вместо шаров ...

[epros]

AD писал(а):

А вот с выбрасыванием фтопку демонстрируемой в этой задаче теоремы я бы не спешил. Мало ли что может оказаться вместо шаров ...

Когда появится хотя бы намёк на идею о том, из чего реально можно собрать бесконечное множество, я тут же готов достать аксиому бесконечности и всё, что из неё следует, из топки.

А пока я не вижу смысла тратить интеллектуальный ресурс на подобные доказательства, ибо они очень похожи на расчёты количества чертей, которые могли бы поместиться на острие иглы.

P.S. Теоретико-множественный ответ на мой вопрос я, кажется, знаю. Но почему-то пока его мне здесь никто не изложил...

[Someone]

epros в сообщении #142409 писал(а):

Лукомор, Вы тоже правы: в первоначальной постановке задачи не было сказано, какие именно из шаров достаются, и не возвращаются ли они обратно в коробку. Но давайте позволим уточнить условия задачи таким образом, что каждый раз вынимается шар, положенный раньше других, и при этом в коробку они не возвращаются.

Дж.Литлвуд. Математическая смесь. Москва, "Наука", 1990.

Обсуждаемый текст - на странице 9.

Дж.Литлвуд писал(а):

(5) Парадокс бесконечности. Шары, занумерованные числами 1, 2, ... (для математика - сами эти числа), кладутся в ящик следующим образом. За одну минуту до полудня кладутся числа от 1 до 10, и число 1 вынимается обратно. За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т.д. Сколько чисел останется в ящике в полдень? Ответ: ни одного. Какое бы число мы ни назвали, например 106, оно отсутствует в ящике, так как оно вынимается при 106-й операции.

По-моему, если не заниматься умственными извращениями, то текст понимается однозначно. А на всех извращенцев не угодишь.

epros в сообщении #142409 писал(а):

Каждая табличка по очереди, начиная с номера 1, перевешивается на шар, имевший табличку со следующим номером. Шар, освободившийся от таблички, вынимаем. Табличку, которую некуда перевесить, вешаем на новый шар.

Уже в ходе выполнения первого шага возникает проблема: куда повесить табличку номер 10, если осталось 9 шаров?

epros в сообщении #142409 писал(а):

По условиям выполнения процедуры все шары в коробке всегда пронумерованы, начиная с 1. При этом таблички с номерами никогда не вынимаются из коробки. Но в остальном всё так же, как и в Вашей постановке задачи: любой заданный шар рано или поздно будет вынут из коробки, т.е. в полдень ни одного шара в коробке не будет. Но табличка с номером 1 не вынималась из коробки, а значит она всё ещё там.

Да все таблички там.

epros в сообщении #142409 писал(а):

Причем она прикреплена на шаре!

Фигушки, я плотоядная. Она коснулась первого шара, потом второго, третьего и так далее, обойдя по очереди все шары. Шары были удалены, а табличка осталась.

Вы напрасно себя запутываете ещё и табличками. Шары и таблички здесь - два отдельных класса объектов, перекладываемых по своим правилам, и судьбы их не связаны.

Лукомор в сообщении #142470 писал(а):

Выводы из этих трех положений напрашиваются следующие:
1. Ящик $A$ опустеет раньше, чем ящик $B$.
...

Не напрашиваются.

Добавлено спустя 3 минуты 38 секунд:

epros в сообщении #142409 писал(а):

Вообще, "чистые математики" с точки зрения здравого смысла при решении подобных задач выглядят редкостными чудиками. Все прекрасно понимают, что какова бы ни была природа коробки и шаров, на практике всё закончится либо тем, что коробка переполнится, либо тем, что шаров больше не найдётся.

Какое это имеет отношение к "чистой математике"? Вы не в курсе, что математика занимается изучением отнюдь не реальных шаров и коробок, а абстрактных, идеальных объектов? А в данном случае "шары" и "коробки" - это даже не "идеализированные" шары и коробки, а просто условные наименования элементов и множеств.

[juna]

Someone в сообщении #142518 писал(а):

Вы не в курсе, что математика занимается изучением отнюдь не реальных шаров и коробок, а абстрактных, идеальных объектов?

Поддерживаю epros
И в данном конкретном случае математики занимаются подсчетом чертей на конце иглы, уверенные в глубине души в полезности этого занятия.

[epros]

Someone писал(а):

По-моему, если не заниматься умственными извращениями, то текст понимается однозначно. А на всех извращенцев не угодишь.

Я читал не этот источник, а форум. Очевидно, не на ту формулировку наткнулся. Но моё уточнение, как я понимаю, как раз ей соответствует.

Someone писал(а):

epros в сообщении #142409 писал(а):

Каждая табличка по очереди, начиная с номера 1, перевешивается на шар, имевший табличку со следующим номером. Шар, освободившийся от таблички, вынимаем. Табличку, которую некуда перевесить, вешаем на новый шар.

Уже в ходе выполнения первого шага возникает проблема: куда повесить табличку номер 10, если осталось 9 шаров?

Я же сказал: на новый шар (новые ведь кладём в коробку).

Someone писал(а):

epros в сообщении #142409 писал(а):

Причем она прикреплена на шаре!

Фигушки, я плотоядная. Она коснулась первого шара, потом второго, третьего и так далее, обойдя по очереди все шары. Шары были удалены, а табличка осталась.

Согласно описанной процедуре, удаляются только шары без табличек, а не из-под табличек. Табличка всё время находится на каком-нибудь шаре: если её не на что нацепить, то и снимать не будем (но такого быть не может, поскольку новый-то шар всегда найдётся).

Вообще-то я понимаю, что если биекция между множеством шаров и множеством табличек существует на каждом шаге до полудня, то отсюда не следует, что она существует в полдень. Но всё равно: с моей точки зрения это лишнее свидетельство маразматичности всех этих теоретико-множественных "переходов через бесконечность". Да и сам факт, что результат (сколько шаров осталось) зависим от того, какие именно мы шары вынимаем, при том, что различия между шарами для нас заведомо безразличны, - это полный абсурд.

Someone писал(а):

Вы напрасно себя запутываете ещё и табличками. Шары и таблички здесь - два отдельных класса объектов, перекладываемых по своим правилам, и судьбы их не связаны.

И это очень странно, что не связаны, хотя мы приложили все возможные старания к тому, чтобы их связать.

Но вообще-то мне вот ещё что любопытно. Как я понимаю, Вы делаете вывод о том, что множество пусто, на основании того, что положенный на любом шаге шар будет на некотором шаге удалён. А почему бы не проявить фантазию и не допустить, что останется такой шар, для которого невозможно указать на каком шаге он был положен? Раз невозможно указать, когда положен, то невозможно указать и когда будет удалён (и будет ли вообще?).

По крайней мере, если речь идёт не о собственно "бесконечном" количестве шагов, а просто об очень большом, то ситуация явно будет именно такова: шаров будет очень много и понять, какой это шаг и какие шары когда положены, уже практически невозможно.

Someone писал(а):

Какое это имеет отношение к "чистой математике"? Вы не в курсе, что математика занимается изучением отнюдь не реальных шаров и коробок, а абстрактных, идеальных объектов? А в данном случае "шары" и "коробки" - это даже не "идеализированные" шары и коробки, а просто условные наименования элементов и множеств.

Абстрагирование, идеализация - это вообще-то всего лишь обобщение частных случаев, отбрасывание некоторых индивидуальных характеристик. А если идеализация доходит до такого, чего в жизни в принципе никогда и близко не бывает, то на фига такая идеализация вообще нужна?

[Лукомор]

Someone писал(а):

Дж.Литлвуд писал(а):

(5) Парадокс бесконечности. Шары, занумерованные числами 1, 2, ... (для математика - сами эти числа), кладутся в ящик следующим образом. За одну минуту до полудня кладутся числа от 1 до 10, и число 1 вынимается обратно. За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т.д. Сколько чисел останется в ящике в полдень? Ответ: ни одного. Какое бы число мы ни назвали, например 106, оно отсутствует в ящике, так как оно вынимается при 106-й операции.

По-моему, если не заниматься умственными извращениями, то текст понимается однозначно. А на всех извращенцев не угодишь.

Если не заниматься умственными извращениями, то придется признать, что попытка создать "вечный двигатель" у Литлвуда не удалась.
КПД этого "девайса" будет равен 10%, поскольку для того, чтобы вынуть один шар необходимо вложить десять новых шаров, все остальное - мистика.

Добавлено спустя 4 минуты 3 секунды:

Someone писал(а):

Лукомор в сообщении #142470 писал(а):

Выводы из этих трех положений напрашиваются следующие:
1. Ящик $A$ опустеет раньше, чем ящик $B$.
...

Не напрашиваются.

Значит ящик $B$ опустеет раньше, чем ящик $A$ ???

[Someone]

Лукомор в сообщении #142526 писал(а):

КПД этого "девайса" будет равен 10%

Лукомор в сообщении #142526 писал(а):

Значит ящик $B$ опустеет раньше, чем ящик $A$ ???

Гы-гы-гы!

[Лукомор]

Someone в сообщении #142538 писал(а):

Гы-гы-гы!

Исключительное по глубине мысли замечание.
А главное - лаконично!

[Anton Nonko]

Лукомор писал(а):

Someone в сообщении #142538 писал(а):

Гы-гы-гы!

Исключительное по глубине мысли замечание.
А главное - лаконично!

Не мельче Вашего упоминания вечного двигателя.

[Captious]

Парадокс бесконечности Дж.Литлвуда - это ещё одна наглядная иллюстрация парадокса бесконечных множеств ( «часть равна целому»), который связан с выбором противоречивых критериев «равенства», то бишь, с различием целевых установок.
Множ-во (ящик) с бесконечным числом шаров разбивается на два подмнож-ва: подмнож-во «вкладываемых» шаров и подмно-во «изымаемых».
С точки зрения свойств элементов и процессов образования эти подмнож-ва разные и «не равны»: на каждые 10 вкладываемых в ящик шаров приходится только один изымаемый.
Но попробуйте обнаружить это, рассматривая только лишь номера шаров!
Каждому вкладываемому шару с некоторым номером k соответствует изымаемый шар с тем же номером - в результате делается вывод о том, что объединение этих подмнож-в будет пустым. С другой стороны, перед каждым изъятием одного k- го шара, в ящик поступает 10k шаров, т.е. кол-во вкладываемых шаров постоянно растет и как бы опережает их убыль.

Истина состоит в том, что ни в бесконечном множ-ве изымаемых, ни в бесконечном множ-ве вкладываемых в ящик шаров принципиально невозможно выбрать некий «последний» шар, равно как нельзя считать бесконечные процессы завершенными.
P.S. Аналогичный парадокс описан в научно-популярной брошюре И.В. Ященко «Парадоксы теории множеств», когда Дед Мороз ровно за минуту до полночи начинает раздавать детям конфеты и тут же забирает часть их обратно...

[epros]

Captious писал(а):

Каждому вкладываемому шару с некоторым номером k соответствует изымаемый шар с тем же номером

Самое смешное, что если извлекать другие шары (не k-тые, а 10k-тые), то можно конкретно указать номера шаров, которые останутся! И это при том, что множество вкладываемых и множество вынимаемых шаров останутся "равными".

Captious писал(а):

...нельзя считать бесконечные процессы завершенными.

Вот, золотые слова! И я о том же твержу. Однако у теоретико-множественников есть стандартная отмазка: формально противоречивого утверждения в рамках теории множеств вывести не получается, значит соответствующей аксиоматикой можно пользоваться.

[ewert]

Captious писал(а):

Множ-во (ящик) с бесконечным числом шаров разбивается на два подмнож-ва: подмнож-во «вкладываемых» шаров и подмно-во «изымаемых».

Ещё одна банальная некорректность. Каждый шар в своё время вкладывается в ящик, а в своё время -- вынимается из оного. Посему разделение шаров на "вкладываемые" и "изымаемые" заведомо бессмысленно. (Ну тут и другие ляпы имеются.)

Добавлено спустя 10 минут 22 секунды:

epros писал(а):

Вот, золотые слова! И я о том же твержу. Однако у теоретико-множественников есть стандартная отмазка: формально противоречивого утверждения в рамках теории множеств вывести не получается, значит соответствующей аксиоматикой можно пользоваться.

Практика -- критерий истинности. Истинной может считаться любая теория, которая приводит к практическим успехам. Стандартная теория множеств к ним приводит. И чего ж ещё желать?

(Ньюансы, связанные с аксиомой выбора и прочими штучками -- вопрос отдельный. Я пока не слыхал, чтоб эти проблемы приводили к каким-либо практическим затруднениям.)

[epros]

ewert писал(а):

Практика -- критерий истинности. Истинной может считаться любая теория, которая приводит к практическим успехам. Стандартная теория множеств к ним приводит. И чего ж ещё желать?

Ох, сказал бы я пару слов относительно этого "критерия", да не хочу здесь ударяться в философию. Ну, говоря вкратце: Если так рассуждать, то можно фактически любой концепции, к которой мы более-менее привыкли, приписать буквально все "практические успехи".

[juna]

ewert писал(а):

Ещё одна банальная некорректность. Каждый шар в своё время вкладывается в ящик, а в своё время -- вынимается из оного. Посему разделение шаров на "вкладываемые" и "изымаемые" заведомо бессмысленно. (Ну тут и другие ляпы имеются.)

Вот Вы говорите время. В теоретико-множественной постановке его нет, от него абстрагируются. Все, что для вас есть - это последовательность кладки, вынимания. Вы так множество строите - кладете, вынимаете и т.д. до бесконечности.
А теперь "законный вопрос" - что же нам в итоге будет дано. Ваш ответ - пусто.
На каждом этапе имеем конечное множество, мощность которого от этапа к этапу возрастает.
Здесь в пределе получается бесконечное множество-немножество, данность которого вы не признаете (обозначим это термином - данность убогих). Теперь начинается метаданность - все, что было положено, рано или поздно будет вынуто - значит пусто? На самом деле на этапе метаданности нет смысла пудрить мозги кладками, выниманиями - имеем бесконечное множество, вычеркиваем каждый его элемент, в итоге, пусто.
Вопрос: когда наступит полдень - в данности убогих или в метаданности (в которой вообще нет времени)?
Только ответ нужно не постулировать, как раньше, а доказывать.