Dan B-Yallay писал(а):
Я таки не понимаю, а зачем
мне собственно решать или доказывать существование чего-то такого? Вы "чувствуете" - вам и обосновывать.
Это не я утверждал, что все шары будут вынуты. А мои "чувства" - это моё личное дело.
Dan B-Yallay писал(а):
Ну дык это же ангел сначала должен добраться за пределы моего воображения, не так ли?
Ну, наверное. И что?
Dan B-Yallay писал(а):
У чертика проблем намного меньше - если ангел чего накидал, видать оно существует и это надо успеть выгрести.
Не оценивайте за чёртика размер его проблем. Вы не знаете, что именно будет накидано, а значит не имеете морального права (
) судить о том, с какими проблемами он столкнётся.
Dan B-Yallay писал(а):
Кроме того, вы ведь не будете отрицать существование и бесконечность множества простых чисел?
Отрицать не буду. И даже могу утверждать отсутствие максимального простого числа. А вот существование множества всех простых чисел утверждать не берусь.
Добавлено спустя 1 час 30 минут 38 секунд:Someone писал(а):
А я так "чувствую", что ангел непременно накидает столько, что чёртик рано или поздно не сможет раскидать. Но поскольку Вы конкретно спрашиваете "что именно это будет", то я признаЮ: Да, я не могу конкретно указать "что именно" такого накидает ангел. Но я могу в свою очередь спросить Вас: А почему Вы вдруг решили, что "чего-то такого" в принципе не существует?
Потому что это следует из очень простых рассуждений, если не морочить себе голову нечётными совершенными числами и прочими вещами, о которых в инструкциях наших персонажей ничего не сказано. Им абсолютно наплевать на нечётные совершенные числа. Если таковые есть, то один положит их в "корзину", а другой следом вынет. Если таких чисел нет, то первый не будет их класть, а второй не будет вынимать. При этом ни тому, ни другому совершенно не нужно знать, есть такие числа или нет.
Вы демонстрируете классический пример неконструктивного рассуждения. У Вас нет конкретного примера для того, чтобы использовать его в посылке, но Вы готовы сделать общий вывод. Конечно же, это "очень просто". Примерно так же просто, как из наблюдения нескольких серых кошек сделать общий вывод, что все кошки серые.
Someone писал(а):
Я уже один раз говорил и ещё раз повторю: то, что возможен конструктивный математический анализ, не имеет ни малейшего отношения к полезности классического математического анализа. А классический математический анализ без аксиомы бесконечности не существует.
А я готов ещё раз повторить, что конструктивный матанализ ничуть не хуже классического, хотя он и не использует аксиому бесконечности.
Someone писал(а):
Бесконечных множеств в конструктивной математике нет. Есть понятия натурального числа и действительного числа, и им в некотором смысле "нет конца". Но никто никогда не утверждал, что из всех натуральных или действительных чисел можно собрать множество. Такое утверждение можно принять только опираясь на аксиому бесконечности, которая для конструктивизма неприемлема, поскольку нет процедуры её проверки.
Процедура проверки? Вы считаете, что доказательство бесконечности множества непременно требует перечисления всех его элементов по одному?
Смотря что Вы считаете за легальную теорию и, соответственно, что готовы признать за легальное доказательство. Можно выдумать любую аксиому и считать "доказанным" всё, что из неё следует по формальным правилам вывода - это классический подход. А можно сначала задаться вопросом, конструктивна ли та или иная аксиома или нет - это конструктивный подход. Как, думаете, проверяется конструктивность аксиомы? Нужно просто предложить процедуру её проверки на неких модельных объектах. Например, хотите я продемонстрирую процедуру проверки аксиомы пустого множества на примере традиционной записи множеств: разделённого запятыми списка символов, заключённого в фигурные скобки?
Для аксиомы бесконечности таковой процедуры построить пока никому не удалось. Точнее, всё, что удаётся построить, оказывается без точки останова.
Someone писал(а):
Разумеется, множества в конструктивной математике трактуются не так, как в теории множеств.
Разумеется, совершенно не так. Без аксиомы бесконечности несомненно существующими оказываются только конечные множества, так что от всей теории множеств остаётся только самая тривиальная часть.
Someone писал(а):
"Множество конструктивных действительных чисел несчётно" - это абсолютно некорректное утверждение.
А я его не формулировал. У меня написано так:
множество конструктивных действительных чисел эффективно несчётно (в смысле конструктивной математики).
Сравните с цитатой из книги Б.А.Кушнера.
Я не подвергаю сомнению то, что написано у Кушнера. Просто нужно понимать, что то, что названо "эффективной несчётностью", да ещё с уточнением "в смысле конструктивной математики", весьма далеко от классического (Канторовского) понятия о несчётности. Ни о каких "различных кардинальностях" здесь речь даже близко не идёт. На самом деле речь идёт о вполне тривиальном и малоинтересном для конструктивного анализа выводе, который совершенно незаслуженно поднимается в качестве "знамени" теми, кто берётся интерпретировать конструктивизм с точки зрения классической теории множеств. Ох, как же он страдает от таких интерпретаций... Логика такова: раз нет несчётности, то давайте найдём что-то хотя бы отдалённо похожее и назовём это "эффективной несчётностью" - просто чтобы все успокоились, ибо никаких полезных выводов из этого свойства всё равно не следует.
Someone писал(а):
Определение любой процедуры есть "конечная последовательность символов". А любая осмысленная логическая формула предполагает процедуру её проверки. Проблема в том, что процедура проверки формулы, которой записывается аксиома бесконечности, не имеет точки останова. Это и называется "бесконечным процессом"
Я не знаю, что такое "процедура проверки формулы", и почему она должна быть "бесконечным процессом". Вы вообще понимаете, о чём говорите?
Я понимаю о чём говорю. Это основание, на котором стоит конструктивизм. Вы просто заходите в него "с заднего входа" - как привычнее для традиционного подхода, поэтому "главный вход" со всем тем, ради чего и создавался конструктивизм, Вы упускаете из виду. Отсюда и впечатление о нём как о какой-то жалкой пародии на классическую логику. Хотя на самом деле речь идёт о другом подходе
в самых его основаниях.
Классическая логика начинает рассуждение с каких-то общих положений, зачастую взятых с потолка. Например, не наблюдая "в реальности" каких-либо принципиальных ограничений на размер множеств, очень легко прийти к обобщению о том, что "существует бесконечное множество". Но на самом деле это обобщение взято с потолка. Да, оно формально, казалось бы, ничему не противоречит, но и подтверждений ему никаких нет. А конкретный пример "может быть когда-нибудь в будущем построим".
Подход конструктивизма совершенно другой, в нём рассуждение начинается с
конкретных моделей. Скажем, нам нужно понятие натурального числа. А что это такое? А вот мы возьмём конкретную модель в виде строки из вертикальных чёрточек ("зарубок на дереве"). Аксиомы в этом подходе возникают не откуда попало, а как как формализация соответствующих свойств модели. Например: "Существует единица" - легко проверяется путём обнаружения строки из одной чёрточки. "Не существует предшественника единицы" - противоположное утверждение легко сводится к противоречию на модельных объектах. И т.п. Если аксиома изначально непроверяема, т.е. не удаётся найти модельных объектов и процедуры, которая бы на них проверяла соответствующее утверждение, то такая аксиома не может считаться конструктивной.
Someone писал(а):
Ладно, откровенный бред-то не пишите. Математика - это не физика и не богословие. Физика занимается исследованием реальных явлений, построением их физических и математических моделей. Богословие занимается исследованием вопросов, актуальных для религии. Математика занимается изучением логических конструкций. Логические конструкции принципиально ненаблюдаемы, поскольку как физические объекты не существуют, и "экспериментальной проверке" не поддаются. Если Вы до такой степени запутались, что понять это не можете, то мне остаётся только пожать плечами. Убеждать Вас в чём либо больше не буду.
Ну что ж, если Вы хотите заниматься "изучением логических конструкций", то это Ваш выбор. Но это как раз та математика, которую я не могу отличить от богословия. Ибо "логические конструкции" тоже могут быть "актуальными для религии". Даже с учётом того, что логика и аксиоматика в чём-то могут отличаться от того, что занимает Вас. По моим понятиям значение математики заключается не в этом, а в том, чтобы формализовать практически значимые теории (не обязательно физические). Что же касается "логических конструкций", то они могут быть вполне "вещами в себе", неприложимыми ни к какой практике в принципе. Что-нибудь вроде "предсуществования святого духа" или "существования бесконечного множества".