2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34, 35  След.
 
 
Сообщение04.09.2008, 21:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Вопрос к Лукомору:

Даны два персонажа: чертик и ангел. У ангела есть в наличии бесконечное множество шаров, а у чертика - бесконечно большая корзина. Ангелу дано задание - до обеда сложить все шары в корзину чертика. У чертика задание - вынуть всё из корзины и тоже до обеда.

Как вы думаете, что такого должен положить в корзину ангел до обеда, чтобы чертик не успел это вынуть?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 21:40 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
ewert в сообщении #142624 писал(а):
Каждый шар в своё время вкладывается в ящик, а в своё время -- вынимается из оного.

Мое мнение: слово "вынимается" здесь не совсем корректно.
Точнее было бы сказать:"заменяется на десять других шаров".
===Каждый шар в свое время вкладывается в ящик, а в свое время заменяется на 10 других шаров.===
Так:
шар №1 заменяется на шары №11...№20
шар №2 заменяется на шары №21...№30
шар №3 заменяется на шары №31...№40
.....
шар №$N$ заменяется на шары № ${(10\cdot N+1)}\dots№{10\cdot(N+1)}$
.....
Такая трактовка позволяет более точно отразить тот факт, что на каждом шаге количество шаров в ящике увеличивается, и не существует такого шага, начиная с которого, количество шаров в ящике будет уменьшаться.
А ведь, если количество шаров в ящике не уменьшается, то нельзя прийти к пустому множеству шаров в ящике.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Лукомор
Их рассуждения продолжаются за пределами данности, которую рассматриваете Вы. Вопрос в том, доберемся ли мы до этих пределов в полдень? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 21:56 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
Dan B-Yallay в сообщении #142660 писал(а):
Как вы думаете, что такого должен положить в корзину ангел до обеда, чтобы чертик не успел это вынуть?


Дело в том, что чертик, в отличие от ангела, за бесплатно работать не будет.
Пока ангел не даст ему предоплату в количестве 10 шаров, чертик не вынет 1 шар из ящика.
Я думаю, это хороший бизнес...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Лукомор писал(а):
Dan B-Yallay в сообщении #142660 писал(а):
Как вы думаете, что такого должен положить в корзину ангел до обеда, чтобы чертик не успел это вынуть?


Дело в том, что чертик, в отличие от ангела, за бесплатно работать не будет.
Пока ангел не даст ему предоплату в количестве 10 шаров, чертик не вынет 1 шар из ящика.
Я думаю, это хороший бизнес...



Естественно чертик не сможет вынуть того, чего в корзине нет, но то что уже положено - он вынет в любой угодный ему момент до обеда.
А вы согласны с тем, что ангел выдаст чертику (как предоплату или в любом другом качестве) все имеющиеся у него шары до обеда? Согласно задания...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 22:08 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
juna в сообщении #142666 писал(а):
Лукомор

Их рассуждения продолжаются за пределами данности, которую рассматриваете Вы. Вопрос в том, доберемся ли мы до этих пределов в полдень?


Это второй вопрос...
Я не хотел бы мешать в одну кучу все вопросы, тем самым забалтывая тему.
Хотя мое мнение таково:
Если частота выемки шаров постоянно увеличивается, стремясь к бесконечности, то вынуть бесконечное количество шаров за конечное время можно.
Более того, ангел справится со своей работой раньше, чем чертик, у которого останутся невыгруженные к этому моменту шары. Бесконечно много шаров...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Лукомор в сообщении #142669 писал(а):
Если частота выемки шаров постоянно увеличивается, стремясь к бесконечности, то вынуть бесконечное количество шаров за конечное время можно.

Это как, простите?
Что значит бесконечная частота и конечное время?
Это обратные величины.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2008, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Лукомор писал(а):
ewert в сообщении #142624 писал(а):
Каждый шар в своё время вкладывается в ящик, а в своё время -- вынимается из оного.

Мое мнение: слово "вынимается" здесь не совсем корректно.
Точнее было бы сказать:"заменяется на десять других шаров".
===Каждый шар в свое время вкладывается в ящик, а в свое время заменяется на 10 других шаров.===
Так:
шар №1 заменяется на шары №11...№20
шар №2 заменяется на шары №21...№30
шар №3 заменяется на шары №31...№40
.....
шар №$N$ заменяется на шары № ${(10\cdot N+1)}\dots№{10\cdot(N+1)}$
.....
Такая трактовка позволяет более точно отразить тот факт, что на каждом шаге количество шаров в ящике увеличивается, и не существует такого шага, начиная с которого, количество шаров в ящике будет уменьшаться.
А ведь, если количество шаров в ящике не уменьшается, то нельзя прийти к пустому множеству шаров в ящике.


Рассмотрим две ситуации.

1) В корзине уже лежат три шарика: 1,2,3.
шар №1 заменяется на шары №4
шар №2 заменяется на шары №5
шар №3 заменяется на шары №6

Так как число шаров в корзине не уменьшается(и не увеличивается), то по-вашему в обед там должно остаться ровно три шара. Номеров у них, я так понимаю, нет. Но так как изначально все шары предполагаются занумерованными, то получаем "парадокс".

2) Уже несколько раз рассмотренный вариант: все шары уже лежат в корзине. Чертик их вынимает по очереди по одному. Если вы согласны что к обеду будут вынуты все шары, то укажите момент, когда количество шаров в корзине начнет уменьшаться. И в каком смысле понимать это "уменьшение", так как в теоретико-множественном понимании на каждом шаге в корзине всегда остается одно и то же количество шаров: счетно-бесконечное.

Впрочем, все эти варианты, включая мой предыдущий, уже обсуждались выше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2008, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
epros в сообщении #142524 писал(а):
А если идеализация доходит до такого, чего в жизни в принципе никогда и близко не бывает, то на фига такая идеализация вообще нужна?


Вы отрицаете полезность математического анализа и основанных на нём областей математики?

Captious в сообщении #142598 писал(а):
Парадокс бесконечности Дж.Литлвуда - это ещё одна наглядная иллюстрация парадокса бесконечных множеств ( «часть равна целому»), который связан с выбором противоречивых критериев «равенства», то бишь, с различием целевых установок.


Врёте. Существует только один критерий равенства множеств: множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, каждый элемент первого множества является элементом второго, а каждый элемент второго - элементом первого. Все другие "критерии" равенства - глупость, что и показывают всякие "парадоксы" и "противоречия", существующие в головах умственных извращенцев.

Captious в сообщении #142598 писал(а):
Множ-во (ящик) с бесконечным числом шаров разбивается на два подмнож-ва: подмнож-во «вкладываемых» шаров и подмно-во «изымаемых».


Чушь. Ничего там не разбивается на "два подмножества".

Captious в сообщении #142598 писал(а):
С точки зрения свойств элементов и процессов образования эти подмнож-ва разные и «не равны»: на каждые 10 вкладываемых в ящик шаров приходится только один изымаемый.


Они совпадают, поскольку удаляются в точности те элементы, которые перед этим вкладываются. Количества же никакой роли не играют. Единственное существенное обстоятельство состоит в том, что каждый добавленный элемент затем был удалён.

Captious в сообщении #142598 писал(а):
С другой стороны, перед каждым изъятием одного k- го шара, в ящик поступает 10k шаров, т.е. кол-во вкладываемых шаров постоянно растет и как бы опережает их убыль.


Вот именно: "как бы".

Captious в сообщении #142598 писал(а):
Истина состоит в том, что ни в бесконечном множ-ве изымаемых, ни в бесконечном множ-ве вкладываемых в ящик шаров принципиально невозможно выбрать некий «последний» шар, равно как нельзя считать бесконечные процессы завершенными.


Господи, ну причём тут "последний шар"? Какие "бесконечные процессы"? Нету в математике бесконечных формул и бесконечных рассуждений. И "процесс" Литлвуда - тоже конечное рассуждение, записываемое формально конечным числом символов. Здесь на самом деле вообще нет никакого "процесса", это обычное индуктивное определение: определяем функцию, которая произвольному множеству натуральных чисел $A$ и натуральному числу $n$ ставит в соответствие множество
$$\Phi(A,n)=(A\cup\{10n-9,10n-8,10n-7,10n-6,10n-5,10n-4,10n-3,10n-2,10n-1,10n\})\setminus\{n\}\text{.}$$
После этого полагаем
1) $A_0=\varnothing$ и
2) $A_n=\Phi(A_{n-1},n)$ при $n\in\mathbb N$.
Существование и единственность $A_n$ доказываются (К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970. Глава III, § 2). И определение, и доказательство содержат конечное число символов, и никаких "бесконечных" процессов при этом не обнаруживается. Итоговое множество
$$A=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_k$$
также определяется конечным числом символов и никаких "бесконечных" процессов не требует.

В действительности, всякие "бесконечные" процессы, обсуждаемые здесь - не более чем попытка наглядной интерпретации индуктивного определения. К математике это не имеет отношения.

epros в сообщении #142605 писал(а):
Самое смешное, что если извлекать другие шары (не k-тые, а 10k-тые), то можно конкретно указать номера шаров, которые останутся! И это при том, что множество вкладываемых и множество вынимаемых шаров останутся "равными".


Извините, но последнее утверждение есть глупость. Если в "процессе" Литлвуда множества вкладываемых и извлекаемых элементов действительно равные, так как содержат в точности одни и те же элементы, то в Ваше примере эти множества совсем не равные. И именно поэтому остаются неизвлечённые элементы.

epros в сообщении #142605 писал(а):
Вот, золотые слова! И я о том же твержу. Однако у теоретико-множественников есть стандартная отмазка


Отмазка от глупых выдумок не требуется.

juna в сообщении #142658 писал(а):
Вопрос: когда наступит полдень - в данности убогих или в метаданности (в которой вообще нет времени)?
Только ответ нужно не постулировать, как раньше, а доказывать.


Прежде чем доказывать, нужно аккуратно, на достаточно формальном языке, сформулировать определение и утверждение. При этом "время" и "процессы" начисто исчезнут. Останется индуктивное определение множеств $A_n$ и определение множества
$$A=\{x:\exists n_x\in\mathbb N(\text{элемент }x\text{ был добавлен в множество }A_{n_x}\text{ и не был удалён из множества }A_n\text{ ни при каком }n\geqslant n_x)\}\text{.}$$
После чего доказательство пустоты множества $A$ становится тривиальным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2008, 05:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
juna в сообщении #142658 писал(а):
Вот Вы говорите время. В теоретико-множественной постановке его нет, от него абстрагируются. Все, что для вас есть - это последовательность кладки, вынимания.

Если б я хотел сказать "время", то так бы и сказал (имею право). Однако же была использована идиома "в своё время". Которая в русском языке непосредственного отношения именно ко времени не имеет.

juna в сообщении #142658 писал(а):
На каждом этапе имеем конечное множество, мощность которого от этапа к этапу возрастает.
Здесь в пределе получается бесконечное множество-немножество,

Это даже забавно -- постоянно возвращаться к одному и тому же. С какой стати Вы полагаете, что предел вообще существует? и уж во всяком случае -- что предел мощности равен мощности предела?

Добавлено спустя 5 минут 57 секунд:

Лукомор в сообщении #142662 писал(а):
Мое мнение: слово "вынимается" здесь не совсем корректно.
Точнее было бы сказать:"заменяется на десять других шаров".
===Каждый шар в свое время вкладывается в ящик, а в свое время заменяется на 10 других шаров.===

Докажите, что операция "заменить" не эквивалентна совокупности операций "вынуть" и "вложить".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2008, 07:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
ewert в сообщении #142691 писал(а):
Это даже забавно -- постоянно возвращаться к одному и тому же.

Забавно настолько, насколько и вы возвращаетесь к одному и тому же.
ewert писал(а):
С какой стати Вы полагаете, что предел вообще существует?

Примерно с той же, с какой существует теоретико-множественный предел.
ewert писал(а):
и уж во всяком случае -- что предел мощности равен мощности предела?

Это как, простите?
Someone писал(а):
Прежде чем доказывать, нужно аккуратно, на достаточно формальном языке, сформулировать определение и утверждение. При этом "время" и "процессы" начисто исчезнут.

То, что в вашей формализации они исчезли, как и предполагал Литлвуд, так это свойство данной конкретной формализации. Однако в условии задачи оно есть. Литлвуд пытался вложить математическую реальность в физическую.
Есть непрерывно меняющаяся величина - время и дискретно меняющаяcя, которая стремиться стать непрерывно меняющейся - мощность формируемого множества. Вот это и требует корректной формализации.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2008, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Dan B-Yallay писал(а):
Как вы думаете, что такого должен положить в корзину ангел до обеда, чтобы чертик не успел это вынуть?

Dan B-Yallay писал(а):
Естественно чертик не сможет вынуть того, чего в корзине нет, но то что уже положено - он вынет в любой угодный ему момент до обеда.

Что уже положено - вынет, а что будет положено - об этом ещё нужно подумать (после того, как поймём, что это будет положено). Весь вопрос в том, за кого мы будем "быстрее думать" - за ангела или за чёртика. Есть такие номера, которые неизвестно когда будут положены и будут ли вообще. Как конкретно для этих номеров мы можем судить, будут они вынуты или нет? Пример: минимальное нечётное совершенное число.

Вообще-то это рассуждение - за рамками классической логики, и я знаю стандартный ответ на него: что суждение "если положен, то вынут" является общим и не требует проверки для конкретных случаев. Увы, тут мы с классической логикой расходимся: я не считаю, что общее суждение, не допускающее проверки для каждого конкретного случая, имеет право на существование.

Someone писал(а):
Вы отрицаете полезность математического анализа и основанных на нём областей математики?

Не преувеличивайте. В матанализе далеко не всё основано на аксиоме бесконечности. Я посмею утверждать даже большее: То в матанализе, что основано на аксиоме бесконечности, можно спокойно выкинуть без ущерба для приложений - нормальные пользователи этого даже не заметят.

Аксиома бесконечности в своё время была добавлена просто "для красоты", а может быть для того, чтобы не отходить от Канторовской традиции рассуждений о бесконечностях. Есть масса подобных аксиом, которые мы могли бы добавить с тем же успехом и сегодня. Например, если я скажу, что мне не нравится гипотеза континуума и что "между алеф-нуль и континуумом существует несчётное множество кардинальностей", то у нас появится новая аксиома, из которой будет следовать масса бессмысленных вещей. А я буду довольно потирать руки и на любую критику отвечать: "Продемонстрируйте вывод противоречивого утверждения, тогда будет о чём говорить".

Чем ситуация с аксиомой бесконечности принципиально отличается от этого?

Someone писал(а):
Извините, но последнее утверждение есть глупость. Если в "процессе" Литлвуда множества вкладываемых и извлекаемых элементов действительно равные, так как содержат в точности одни и те же элементы, то в Ваше примере эти множества совсем не равные. И именно поэтому остаются неизвлечённые элементы.

Я не случайно заключил слово "равные" в кавычки, ибо очевидно, что в данном случае речь шла не о равенстве, а о равномощности.

Someone писал(а):
Отмазка от глупых выдумок не требуется.

А "глупой выдумкой" Вы считаете соображения о том, что когда бесконечный процесс (сборки индуктивного множества) завершается результатом (предъявлением этого самого множества), то сие есть абсурд?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2008, 10:22 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
ewert в сообщении #142691 писал(а):
Лукомор в сообщении #142662 писал(а):
Мое мнение: слово "вынимается" здесь не совсем корректно.
Точнее было бы сказать:"заменяется на десять других шаров".
===Каждый шар в свое время вкладывается в ящик, а в свое время заменяется на 10 других шаров.===

Докажите, что операция "заменить" не эквивалентна совокупности операций "вынуть" и "вложить".

Эквивалентна.
Более того, если мы будем только вкладывать шары, и не будем их вынимать, а будем перекладывать шары внутри ящика, то множество шаров в ящике к обеду, при некоторых дополнительных условиях, может стать пустым.

Добавлено спустя 12 минут:

juna в сообщении #142673 писал(а):
Это как, простите?
Что значит бесконечная частота и конечное время?
Это обратные величины.

Обратные величины называются частота и период.
Пример бесконечного процесса, завершающегося за конечное время уже я приводил, в этой теме, если нужно, повторюсь.

Добавлено спустя 14 минут 48 секунд:

Dan B-Yallay в сообщении #142685 писал(а):
Рассмотрим две ситуации.

1) В корзине уже лежат три шарика: 1,2,3.
шар №1 заменяется на шары №4
шар №2 заменяется на шары №5
шар №3 заменяется на шары №6

Так как число шаров в корзине не уменьшается(и не увеличивается), то по-вашему в обед там должно остаться ровно три шара. Номеров у них, я так понимаю, нет. Но так как изначально все шары предполагаются занумерованными, то получаем "парадокс".

2) Уже несколько раз рассмотренный вариант: все шары уже лежат в корзине. Чертик их вынимает по очереди по одному. Если вы согласны что к обеду будут вынуты все шары, то укажите момент, когда количество шаров в корзине начнет уменьшаться. И в каком смысле понимать это "уменьшение", так как в теоретико-множественном понимании на каждом шаге в корзине всегда остается одно и то же количество шаров: счетно-бесконечное.

Впрочем, все эти варианты, включая мой предыдущий, уже обсуждались выше.

1. По первому пункту можно еще более заострить ситуацию
В корзине лежит один шар, с номером 1.
Мы кладем в корзину шар с номером 10 и вынимаем шар №1.
На следующем шаге кладем шар №100 и вынимаем шар №10.
Потом плюем на это дело, и вместо того, чтобы ложить/вынимать шары просто дописываем нули в конце номера:
1, 10, 100, 1000, 10000... и.т.д.
Ясно, что к обеду множество шаров в корзине будет пустым...
2. По второму пункту: Если в корзине всегда счетно-бесконечное количеств шаров, то и пустое множество шаров, оставшееся к обеду тоже содержит счетно-бесконечное количество шаров, вы не находите???
Ведь мы на любом конкретном шаге не переходим от счетно-бесконечного множества к конечному.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2008, 10:35 


29/06/08

137
Россия
epros в сообщении #142605 писал(а):
Captious писал(а):
...нельзя считать бесконечные процессы завершенными.

Вот, золотые слова! И я о том же твержу. Однако у теоретико-множественников есть стандартная отмазка: формально противоречивого утверждения в рамках теории множеств вывести не получается, значит соответствующей аксиоматикой можно пользоваться.

А некоторые из них (особенно те, которые , ничтоже сумняшеся, считают аксиоматику ZFC вершиной математической мысли и универсальным языком матем-ки ;)) вообще на полном серьёзе отрицают, что постоянно имеют дело с двумя типами бесконечности - потенциальной и актуальной.
Например, в парадоксе Литлвуда вопрос "Сколько чисел останется в ящике в полдень?" по умолчанию предполагает, что все потенциально бесконечные процессы "закладывания и удаления" шаров (чисел) "в полдень" завершены. После этого начинается «подсчёт» «вкладываемых» и «изымаемых» элементов множ-ва и на основании его делается вывод о «равенстве /неравенстве»" подмнож-в.
В случае конечных множеств изъятие или добавление даже одного элемента немедленно отражается на результатах «подсчета», а вот из бесконечных множ-в можно изъять (или добавить в них) счетное множ-во счетных множ-в без нарушения равномощности с исходным множ-вом.
epros в сообщении #142605 писал(а):
Captious писал(а):
Каждому вкладываемому шару с некоторым номером k соответствует изымаемый шар с тем же номером

Самое смешное, что если извлекать другие шары (не k-тые, а 10k-тые), то можно конкретно указать номера шаров, которые останутся! И это при том, что множество вкладываемых и множество вынимаемых шаров останутся "равными".


Вот, вот...;)
О том и речь - о разных критериях выделения элементов подмножеств.
Если главным для нас является пересчет, связанный с
перебором элементов, то мы отождествляем количество элементов с
количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения
элементов по совпадению или несовпадению их качеств.
Если же мы сделаем значимым для себя разделение «предметов» на
тождественные и нетождественные, то мы приходим к
теоретико-множественным операциям выделения и объединения, когда
присоединение элементов, тождественных уже содержащимся во множестве,
не изменяет этого множества.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.09.2008, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Лукомор в сообщении #142709 писал(а):
Пример бесконечного процесса, завершающегося за конечное время уже я приводил, в этой теме, если нужно, повторюсь.

Повторяться не нужно, Вы не поняли главного - если в этой задаче у нас есть мгновенные действия, то нет времени. Если нет времени, теоретико-множественные рассуждения корректны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 522 ]  На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34, 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group