Гипотеза Римана

[kkapitonets]

Нет, название безобидное Analysis of the Riemann zeta function.

Вот ответ одного из ведущих математиков в этой области:

"Ваша статья написана в нехарактерном для математиков стиле - в ней нет формулировок лемм, теорем или гипотез. Поэтому читателю (да и мне) будет трудно понять, что в ней сделано. Тем более что статья имеет большой объем. Я не против, однако, если Вы укажете мои данные при размещении в архиве, чтобы я смог дать свой approval."

Прийдется доказать...

Хотя в ситуации

"So far as I know, there is no approach to the Riemann Hypothesis which has been fleshed out far enough to get an even moderately skeptical expert to back it, with any odds whatsoever. I think this situation should be contrasted with that of Fermat's Last Theorem [FLT]: a lot of number theorists, had they known in say 1990 that Wiles was working on FLT via Taniyama-Shimura, would have found that plausible and encouraging."

https://mathoverflow.net/questions/3469 ... ber-theory

отказываться от подсказки - странно...



Эти гармонические функции не имеют общих нулей при любом $\sigma\ne1/2$, т.к. в подвижной системе координат вектору значения $\zeta(s)$ при $\sigma\ne1/2$, необходимо повернуться из положения $\zeta(s)_L=0$ в положение $\zeta(s)_M=0$ на угол $\pi/2$

В то время как, $\zeta(1/2+it)_M$ тождественно равна нулю, т.к. в этой подвижной системе координат вектору значения $\zeta(s)$ при $\sigma=1/2$ направлен вдоль оси $L$.

[Munin]

kkapitonets в сообщении #1420334 писал(а):

т.е. не достаточно предложить, как доказывать гипотезу Римана, ее надо доказать

Очевидно, дело в том, что у "предложения" мало ценности, если никто не знает, приведёт оно к результатам или не приведёт. А чтобы стала видна ценность, надо что-то доказать. (Не обязательно гипотезу Римана целиком - можно любой новый факт о функции Римана.)

"Предложить, как доказывать" - с этим и у самих математиков недостатка нет. Предложения сыплются с момента постановки задачи. Проблема именно в том, чтобы воплотить эти предложения.

[kkapitonets]

я это уже понял, буду доказывать

[kkapitonets]

ничего интересного, ясно, что появиться еще один ноль, там где его добавили


график без "лишнего" нуля


лишний ноль при $\sigma=1/2$

даже там где его не должно быть


график без нулей при $\sigma=0.3$


лишний ноль при при $\sigma=0.3$

хотя это как раз показывает, что причиной уменьшения модулей векторов системы векторов второго приближенного уравнения Римана в любом месте, может быть только "лишний" ноль, другими словами все графики $\zeta(s)_L$ имеют одинаковый вид, меняется только амплитуда и немного смещаются нули

[Exp0]

Спасибо, предчувствие не подвело: кратный ноль выбил с оси пару $0.3+5134 i$ , $0.7+5134 i$ !
Ещё интересен обратный эксперимент: какое нетривиальное воздействие на Zeta приведёт к кратному корню?

[kkapitonets]

ничего удивительного, при умножении полиномов множество их корней объединяется

[Exp0]

Всё же это удивительно, даже не верится (начало в https://dxdy.ru/post1420621.html#p1420621):
при добавлении к ДзФР двукратного корня на критической оси,
с неё сходят в критическую полосу два симметричных нуля! (фазовая перестройка?)

[Exp0]

Проведём обратный эксперимент, приводящий к возникновению нуля на критической оси:
В нашей тестовой точке $Zeta[0.5+5134 i] = 2.52575 -0.503408 i$ - не равна нулю,
Подберем и домножим Дзету на "сжимающую" четвёрку корней, обозначим результат
$Z(s,t):=(s -1.5-t i)(s -0.5+t i)(s-0.5-t i)(s -1.5+t i)Zeta[s]$
Возьмём параметр $t=5134$ и с помощью Wolfram Alpha найдём корень $Z(s,t)$

$Z(0.5+i 5134 i, t)=0$ т.е. получили ноль на оси в точке $0.5+5134 i $
(- сколько секунд Вам нужно, чтобы понять, что воздействие на Дзету не является нетривиальным? :)

[kkapitonets]

Munin в сообщении #1420699 писал(а):

kkapitonets в сообщении #1420334 писал(а):

т.е. не достаточно предложить, как доказывать гипотезу Римана, ее надо доказать

"Предложить, как доказывать" - с этим и у самих математиков недостатка нет. Предложения сыплются с момента постановки задачи. Проблема именно в том, чтобы воплотить эти предложения.

Впрочем, не могу согласиться, что у математиков нет недостатка с предложениями, как доказывать гипотезу Римана:

"Насколько мне известно, нет никакого подхода к гипотезе Римана, который был бы конкретизирован достаточно, чтобы заставить даже умеренно скептически настроенного эксперта поддержать его, с любыми шансами. Я думаю, что эта ситуация должна быть противопоставлена последней теореме Ферма [FLT]: многие математики, если бы они знали, скажем, в 1990 году, что Уайлс работает над FLT, используя работу Танияма-Шимура, считали бы это правдоподобным и обнадеживающим."

https://mathoverflow.net/questions/34699/approaches-to-riemann-hypothesis-using-methods-outside-number-theory

[Exp0]

Если не вводить (не очень понятные) индексы R, L, "опорные" точки и т.п., а изложить суть в известных терминах:
the Z-function (it is also called the Riemann–Siegel Z-function, the Riemann–Siegel zeta-function, the Hardy function, the Hardy Z-function and the Hardy zeta-function) and $\theta(t)$ - Riemann-Siegel theta function: $Z(t)=\exp( i \theta(t)) \zeta(1/2+it)$
(подробности хорошо разобраны на языке основателей https://de.wikipedia.org/wiki/Riemann-Siegelsche_Theta-Funktion ),
тогда точки Грама предстают нулями $\sin(\theta(t))$ и сдвинутые на $\pi/2$ "опорные" точки оказываются нулями $\cos(\theta(t))=0$.
Соответствующие картинки показывают сходство двух функций при большом удалении по оси
(кстати и мнимая часть на графике "без нулей $\sigma$ =0.3" (см.выше), очень похожа на косинус):

увеличим рассматриваемый промежуток с 2.4 до 4.0 - видим косинус и "деформированный" косинус:

Для сравнения и проверки, изобразим пример автора (с "пилой" по модулю $2\pi$) через косинус:

Таким образом, между нулями $\cos(\theta(t))=0$ видим три случая: один ноль $Z(t)$, два нуля и нет нулей $Z(t)$.
И вся проблематика свелась к последнему случаю: нет комплексно сопряжённых нулей между нулями $\cos(\theta(t))=0$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 23.10.2019, 10:49 --

Exp0
Исправьте набор формул хотя бы в двух последних своих постах.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[kkapitonets]

Функции $Z(t)$, $\Xi(t)$ и $\theta(t)$, очевидно, частные случаи, которые определяют значения $\zeta(1/2+it)$, т.е. рассматривают исключительно критическую прямую.

Функции $\zeta(s)_L$ и $\zeta(s)_M$ это проекции $\zeta(s)$ на нормаль $L$ к оси симметрии и на ось симметрии $M$ ситемы векторов второго приближенного уравнения дзета-функции Римана

$\zeta(s)=\sum^m_{n=1}{\frac{1}{n^s}}+\chi(s)\sum^m_{n=1}\frac{1}{n^{1-s}}+R(s)$

в моей работе на arxiv (не могу указать, т.к. запрещено правилами форума), показано, что эта система векторов имеет ось симметрии не только при $\sigma=1/2$, но и при $\sigma\ne1/2$.

Ни Харди, ни Риман, ни Габке не рассметривают эту ось симметрии, хотя косвенно указывают, что проекция $\zeta(s)$ на эту ось симметрии $M$ тождественно равна нулю при $\sigma=1/2$.

Сущность доказательства гипотезы Римана определяется проекциями $\zeta(s)$ на нормаль $L$ к оси симметрии и на ось симметрии $M$ ситемы векторов второго приближенного уравнения дзета-функции Римана

$\zeta(s)_L=\zeta(s)e^{-iArg(\chi(s))/2}$

$\zeta(s)_M=\zeta(s)e^{-i(Arg(\chi(s))+\pi)/2}$

т.к. это сопряженные гармонические функции, которые не имеют общих нулей (в работе подробно анализируется, почему это так), кроме тривиального случая, когда $\zeta(s)_M$ тождественно равна нулю.

[kkapitonets]

kkapitonets в сообщении #1422181 писал(а):

$\zeta(s)_L=\zeta(s)e^{-iArg(\chi(s))/2}$

$\zeta(s)_M=\zeta(s)e^{-i(Arg(\chi(s))+\pi)/2}$

здесь, конечно, скалярное произведение, т.е.

$\zeta(s)_L=(\zeta(s),e^{-iArg(\chi(s))/2})=\operatorname{Re}(\zeta(s))\cos(Arg(\chi(s))/2)+\operatorname{Im}(\zeta(s))\sin(Arg(\chi(s))/2)$

$\zeta(s)_M=(\zeta(s),e^{-i(Arg(\chi(s))+\pi)/2})=-\operatorname{Re}(\zeta(s))\sin(Arg(\chi(s))/2)+\operatorname{Im}(\zeta(s))\cos(Arg(\chi(s))/2)$

[vicvolf]

Доказательств гипотезы Римана стало самоцелью, но это не является верным. Целью является нахождение распределения простых чисел.

С этой позиции правомочно говорить, что не Гипотеза Римана имеет эквивалентную формулировку: $\pi(x)=Li(x)+O(x^{1/2}\log(x))$ (1) для сумматорной арифметической функции количества простых чисел, не превосходящих $x$, или сумматорных функций Чебышева, Мертенса или Лиувилля, а что гипотеза Римана эквивалентна этим формулировкам (т.е. они первичны).

Гипотеза Римана является просто одним из методов представления распределения простых чисел в ТФКП и доказательство этой гипотезы является доказательством, что для простых чисел выполняется, например, распределение (1).

Существует много других методов нахождения распределения простых чисел, о которых, например, в своей книге писал Дербишир. С одной лишь поправкой, что эти методы могут использоваться не для доказательства гипотезы Римана, а для нахождения распределения простых чисел.

К прямым методам нахождения распределения простых чисел является использование свойств указанных выше сумматорных арифметических функций.

Однако, методы комплексного интегрирования сумматорных арифметических функций основаны на свойствах дзета функции Римана, и их нельзя использовать для доказательства соотношения (1), так как соотношение (1) следует из выполнения гипотезы Римана.

Поэтому для доказательства (1) необходимо использовать другие свойства сумматорных арифметических функций.