Не будет!
В выражении, которое называется второе приближенное уравнение дзета-функции Римана
![$\zeta(s)=\sum_{l=1}^{m}{l^{-s}}+\chi(s)\sum_{l=1}^{m}{l^{s-1}}+R(s)$ $\zeta(s)=\sum_{l=1}^{m}{l^{-s}}+\chi(s)\sum_{l=1}^{m}{l^{s-1}}+R(s)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/8/1a8be97aec37fdde3bf0c1a7e96b7a9582.png)
Все слагаемые можно представить векторами, тогда слагаемое во второй сумме с индексом 1 при
![$\sigma=1/2$ $\sigma=1/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c574f6cbfc02a465187e7ae7f4dc1ca982.png)
будет иметь значение
![$Y_1=e^{i\arg(\chi(1/2+it))}$ $Y_1=e^{i\arg(\chi(1/2+it))}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/4/f7418fcb8478b88fbfb60aaf4484dfd182.png)
Это означает, что в базовой точке вектор
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
может одно из двух положений относительно действительной оси комплексной плоскости, которые соотвтетствуют типу базовой точки:
![$a_1$ $a_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/8/8e830a5ab471143f1bb80e525c09bbaa82.png)
- если вектор
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
находится над действиетльной осью комплексной плоскости или расположен вдоль неё
![$a_2$ $a_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca230a36892a5d996272ca45a782d1682.png)
- если вектор
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
находится под действиетльной осью комплексной плоскости
Система вектров второго приближенного уравнения дзета-функции Римана при
![$\sigma=1/2$ $\sigma=1/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c574f6cbfc02a465187e7ae7f4dc1ca982.png)
обладает зеркальной симметрией, следовательно конец вектора
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
и ось симметрии этой системы векторов проходят через точку нуля комплексной плоскости одновременно, это положение соответствует нетривиальному нулю дзета-функции Римана.
В соотвтетствии с зеркальной симметрией системы векторов второго приближенного уравнения дзета-функции Римана при
![$\sigma=1/2$ $\sigma=1/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c574f6cbfc02a465187e7ae7f4dc1ca982.png)
, если вектор
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
в базовой точке находится над действиетльной осью комплексной плоскости или расположен вдоль неё, то нетривиальный ноль дзета функции Римана, который соответствует этой базовой точке находится в промежутке между этой и предыдущей базовой точкой, т.к. в этом случае ось симметрии уже проходила через точку нуля комплексной плоскости после предыдущей базовой точки.
Соотвтетсвенно, если при
![$\sigma=1/2$ $\sigma=1/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c574f6cbfc02a465187e7ae7f4dc1ca982.png)
, если вектор
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
в базовой точке находится под действиетльной осью комплексной плоскости, то нетривиальный ноль дзета функции Римана, который соответствует этой базовой точке находится в промежутке между этой и следующей базовой точкой, т.к. в этом случае ось симметрии пройдет через точку нуля комплексной плоскости до следующей базовой точки.
Эти выводы следуют из соотношения углов вектора
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
и оси симметрии
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
системы векторов второго приближенного уравнения дзета-функции Римана
![$\alpha_1=\arg(\chi(s))$ $\alpha_1=\arg(\chi(s))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/b/03b15a416ee2d3380178f3a1fc673b4f82.png)
и
![$\varphi_M=(\arg(\chi(s))+\pi)/2$ $\varphi_M=(\arg(\chi(s))+\pi)/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/4/0b407be625e2338aabfb657896dcfd2f82.png)
Таким образом, одной базовой точке или одному полному обороту вектора
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
соответствует ровно один нетривиальный ноль дзета-функции Римана и следовательно количество нетривиальных нулей на критической прямой равно количеству полных оборотов ветора
![$Y_1$ $Y_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/6/39642bfad803492a79c3a1f56cf4852482.png)
![$N_0(t)=\Bigg[\frac{|\arg(\chi(s))-\alpha_2|}{2\pi}\Bigg]+2$ $N_0(t)=\Bigg[\frac{|\arg(\chi(s))-\alpha_2|}{2\pi}\Bigg]+2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/e/f6e7d433b283a875a2347a86e4c23d0b82.png)
Если подставить точное выражение для аргумента
![$\chi(s)$ $\chi(s)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/8/c688c343297efd59f8ef089b577e207082.png)
, то получим формулу, которая определяет количество нулей на критической прямой
![$N_0(T)=\Bigg[\Big|\frac{T}{2\pi}(\log{\frac{T}{2\pi}}-1)-\frac{1}{8}+\frac{2\mu(T)-\alpha_2}{2\pi}\Big|\Bigg]+2$ $N_0(T)=\Bigg[\Big|\frac{T}{2\pi}(\log{\frac{T}{2\pi}}-1)-\frac{1}{8}+\frac{2\mu(T)-\alpha_2}{2\pi}\Big|\Bigg]+2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/6/f56fd4a6a55c97c8bfc22ae6a1b4c67882.png)
удивительно похожую на формулу Римана-Мнагольдта, которая определяет количество нулей в критической полосе
![$N(T)=\frac{T}{2\pi}(\log{\frac{T}{2\pi}}-1)+\frac{7}{8}+S(T)+\mathcal{O}(\frac{1}{T})$ $N(T)=\frac{T}{2\pi}(\log{\frac{T}{2\pi}}-1)+\frac{7}{8}+S(T)+\mathcal{O}(\frac{1}{T})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/27799503af18e18e02cda4339ed00a4c82.png)
тем не менее этот факт совсем не доказывает гипотезу Римана, т.к.
![$\mu(t)=\frac{1}{48t}+\frac{1}{5760t^3}+\frac{1}{80640t^5}+\mathcal{O}(t^{-7})$ $\mu(t)=\frac{1}{48t}+\frac{1}{5760t^3}+\frac{1}{80640t^5}+\mathcal{O}(t^{-7})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/f/1ff07d68888999e2a6650bb6b4860aff82.png)
т.е.
![$\mu(t)\to 0$ $\mu(t)\to 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/0/d50d6a75f66c82b2b54581e945d6661482.png)
при
![$t\to\infty$ $t\to\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/b/e6bf0c259f928c44edf8138541e53ed482.png)
а при самой лучшей оценке
![$|S(T)|<1.998+0.17\log(T)$ $|S(T)|<1.998+0.17\log(T)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/7/127cb8c28c32b5d4cc562d8f782d220b82.png)
такого предела не имеет.