Спин электрона в магнитном поле.

[warlock66613]

fps24 в сообщении #1398168 писал(а):

Если все электроны в верхнем потоке на выходе "обычного прибора Штерна-Герлаха" находятся в чистом состоянии $+Z2$, а все электроны в нижнем потоке на выходе "обычного прибора Штерна-Герлаха" находятся в чистом состоянии $-Z2$, то результат не изменится:

Это не так. Правила квантовой механики говорят, что в случае включённого света складываются вероятности, а в случае невключённого - амплитуды. Почему так? Потому что при включённом свете электрон либо идёт по нижнему пути, либо идёт по верхнему пути. Но при выключенном свете невозможно определить по какому пути электрон прошёл, поэтому есть амплитуда того, что он прошёл сверху и есть амплитуда того, что он прошёл снизу, и эти амплитуды надо сложить. Именно поэтому результат меняется. Но если электрон прошёл верхним путём, то он совершенно точно находится в состоянии "спин вверх", а если нижним - то он в состоянии "спин вниз", и это никак не зависит от того, включён или выключен свет. Читайте Фейнмана внимательнее - там всё это написано.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1398184 писал(а):

Но при выключенном свете невозможно определить по какому пути электрон прошёл, поэтому есть амплитуда того, что он прошёл сверзу и есть амплитуда того, что он прошёл снизу, и эти амплитуды надо сложить.

+1.
Потому что эти амплитуды между собой когерентны. А наблюдение эту когерентность нарушает.

В общем, сначала стоило бы потренироваться на обычной волновой оптике.

[Pavia]

warlock66613
Munin

warlock66613 в сообщении #1398184 писал(а):

Но при выключенном свете невозможно определить по какому пути электрон прошёл, поэтому есть амплитуда того, что он прошёл сверху и есть амплитуда того, что он прошёл снизу, и эти амплитуды надо сложить. Именно поэтому результат меняется.

Если использовать не Гейзенберговскую(Фейнмовскую) трактовку КМ. А допускать что квантовое состояние существует само по себе. Тогда путь по которому идёт электрон мы можем определить из опыта со светом, вернее его вероятность.

И тогда когерентность соотвесвенно трактуем, как то принято в оптике.

Давыдов А.С.-Квантовая механика-Наука (1973)

Цитата:

Если система "находится в смешанном состоянии, т. е. в состоянии, которому нельзя сопоставить волновую функцию, то это*'
значит, что мы «приготавливаем» состояние, не определив максимально возможное число независимых физических величин, знание которых необходимо для полного описания с помощью волновой функции. Например, состояние неполяризованного пучка фотонов относится к смешанному состоянию, которому нельзя сопоставить волновую функцию.
Смешанное состояние можно рассматривать как некогерентную смесь чистых состояний $\psi^{(i)}$ со статистическим весом $W(i)$.
Здесь $W(i)$ —действительные положительные числа, удовлетворяющие соотношению $\Sum W(i)=1$. Словами «некогерентная смесь» при этом выражается то, что при вычислении среднего значения $\bra L \ket$ какой-либо физической величины $L$ в смешанном состоянии необходимо определить значения этой величины в чистых состояниях $\psi^{(i)}$, т. е. вычислить
$\bra L^{(i)} \ket=\int^*\psi^*{(i)}\hat{L}\psi^{(i)}d\tau$

[arseniiv]

Pavia
А что, кто-то уже стал отрицать пользу смешаных состояний и оператора плотности?

Выбором же любимой интерпретации ничего опровергнуть нельзя: результаты корректно определённых мысленных экспериментов зависят только от матаппарата и не от интерпретаций, и понимание в конечном счёте тоже необходимо включает понимание матаппарата, так что непонятно, к чему привлекать их сюда.

[Munin]

Pavia
Тут уже одного не знающего КМ достаточно. Желательно, чтобы их было не больше одного на тему. "ПРР" всё-таки.

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1398184 писал(а):

Правила квантовой механики говорят, что в случае включённого света складываются вероятности, а в случае невключённого - амплитуды. Почему так? Потому что при включённом свете электрон либо идёт по нижнему пути, либо идёт по верхнему пути. Но при выключенном свете невозможно определить по какому пути электрон прошёл, поэтому есть амплитуда того, что он прошёл сверху и есть амплитуда того, что он прошёл снизу, и эти амплитуды надо сложить. Именно поэтому результат меняется. Но если электрон прошёл верхним путём, то он совершенно точно находится в состоянии "спин вверх", а если нижним - то он в состоянии "спин вниз", и это никак не зависит от того, включён или выключен свет. Читайте Фейнмана внимательнее - там всё это написано.

Об том и речь.

Возьмём классический эксперимент с "модифицированным прибором Штерна-Герлаха", описанный Фейнманом:




Теперь разделим эксперимент на два этапа, проведя красную линию в промежутке между "обычным прибором Штерна-Герлаха" и "дополнительным прибором Штерна-Герлаха", которые при последовательном расположении как раз и образуют "модифицированный прибор Штерна-Герлаха":




Рассмотрим отдельно первый этап эксперимента.



После этого этапа электроны выходят из "обычного прибора Штерна-Герлаха" по двум путям.

По условию задачи магнитное поле в "дополнительном приборе Штерна-Герлаха" коллинеарно магнитному полю в "обычном приборе Штерна-Герлаха" и поэтому взаимодействие с этим полем в принципе не может изменить чистые состояния спина $+Z2$ и $-Z2$ на смешанное состояние (угол поворота поля между выходом из "обычного прибора Штерна-Герлаха" и входом в "дополнительный прибор Штерна-Герлаха" равен $180^\circ$) - "дополнительный прибор Штерна-Герлаха" просто "механически" объединяет два потока на входе в их линейную комбинацию на выходе, вообще никак не изменяя спин проходящих электронов.

По результату эксперимента мы знаем, что на выходе из "дополнительного прибора Штерна-Герлаха" все электроны находятся в смешанном состоянии спина, но если на выходе из "обычного прибора Штерна-Герлаха" все электроны всегда находятся в чистых состояниях спина $+Z2$ или $-Z2$, то линейная комбинация двух таких потоков, образующаяся на выходе из "дополнительного прибора Штерна-Герлаха", никак не может оказаться в смешанном состоянии.

Где в этих рассуждениях ошибка?

[Munin]

fps24 в сообщении #1398296 писал(а):

Где в этих рассуждениях ошибка?

В нечитании учебника.

Кстати, вы бы хотя бы индексы ставили по-человечески. $z_2$ записывается как z_2 .

fps24 в сообщении #1398296 писал(а):

"дополнительный прибор Штерна-Герлаха" просто "механически" объединяет два потока на входе в их линейную комбинацию на выходе

Вот это неправда.

[Eule_A]

fps24
Не нужно путать совокупность двух подсистем с разными значениями некоторой характеристики и систему, находящуюся в смешанном состоянии. В первом случае частицы каждой подсистемы находятся во вполне определённом, чистом, состоянии.
Вообще, как мне представляется, ответ warlock66613 исчерпывающий.

(Оффтоп)

И ещё. Пользуясь случаем, потому как давно назрело. Было бы просто замечательно, если бы отвечающие в темах раздела ПРР(Ф) вместо создания вот таких диалогов

Munin в сообщении #1398302 писал(а):

fps24 в сообщении #1398296 писал(а): писал(а):

Где в этих рассуждениях ошибка?

В нечитании учебника.

лучше не отвечали вообще ничего. Потому что такой ответ ничего к теме не добавляет, демонстрируя исключительно раздражение отвечающего (а кому это интересно?). Или нужно указывать литературу конкретно. Приведённая цитата использована как образец, есть и другие примеры от других участников.
Да, и развивать эту тему здесь не советую. В другом месте - можно, но своё участие в дискуссии не гарантирую, так как моё замечание носит рекомендательный характер.

[Munin]

Литература по КМ общеизвестна: «Ищу литературу по… (Ф)»
В частности:
Ландау, Лифшиц. Квантовая механика. (Теоретическая физика - 3)
Фейнмановские лекции по физике, вып. 8, 9. (которых автор темы открыл, но упорно не стал читать, а стал только картинки оттуда перерисовывать)
Я бы советовал на базовом уровне освоить эти два учебника (ЛЛ-3 - для начала достаточно в пределах глав 1-5, 8-9, углублённо +6-7).

Дополнительное чтение... Я сейчас начал по привычке перечислять, и понял, что в данной ситуации это повредит. Надо освоить именно азбуку, именно начальные базовые учебники.

Да, раздражение было.

Замечу, что учебники тоже в теме названы уже были. В самом начале. И к чему это привело?..

[warlock66613]

fps24, ошибка в том, что вы не учитываете, что когда две части прибора объединяются, то возникает явление, которого не было, пока части были разделены и не связаны друг с другом: интерференция (сложение) амплитуд.

[fps24]

Munin в сообщении #1398308 писал(а):

Замечу, что учебники тоже в теме названы уже были. В самом начале. И к чему это привело?..

Не каждому одинаково легко сразу найти нужное место в нужном учебнике, поэтому я и прошу знающих людей помочь мне разобраться. Вы всегда рекомендуете не просто правильные, а лучшие источники, за что я бесконечно благодарен.

warlock66613 в сообщении #1398312 писал(а):

fps24, ошибка в том, что вы не учитываете, что когда две части прибора объединяются, то возникает явление, которого не было, пока части были разделены и не связаны друг с другом: интерференция (сложение) амплитуд.

Значит ли это, что в классическом мысленном эксперименте Фейнмана - все электроны в точке $A$ находятся в чистом состоянии спина $+z_2$, а в точке $B$ - в чистом состоянии спина $-z_2$, но затем пути электронов объединяются и возникает интерференция амплитуд в точке $C$ ?

Полагаю, что имеется в виду другое - когда эксперимент проводится так, что в момент измерения положения электрона становится однозначно известно, прошёл электрон через точку $A$ или через точку $B$ - электрон в этих точках оказывается в том же чистом состоянии спина, что и в точке $C$. Если же в момент измерения положения электрона отсутствует информация, через какую именно точку ( $A$ или $B$ ) он прошёл, то тогда в точке $C$ электрон оказывается в смешанном состоянии двух путей, а значит - и двух спинов.

В классическом эксперименте положение электронов измеряется только в последнем приборе, поэтому в точке $C$ электроны оказываются в смешанном состоянии, но если изменить эксперимент так, чтобы при выходе электронов из "обычного прибора Штерна-Герлаха" происходило измерение их положения ( например, при помощи освещения ), то тогда в системе появится информация, через какую именно точку ( $A$ или $B$ ) прошёл каждый электрон, и результат эксперимента изменится:



Так правильно?

[warlock66613]

fps24, для начала, смешанным состоянием называется не то, что вы имеете в виду. Так что лучше говорить "суперпозиция".

Далее, когда вы говорите "все электроны в точке $A$", похоже что вы представляете пучёк электронов, который разделяется на два пучка, так что часть электронов оказывается в точке $A$ со спином вверх, а другая в точке $B$ со спином вниз. Это неправильное представление. Давайте говорить об одном электроне.

Вначале у электрона есть некоторая амплитуда $A_1$ иметь спин вверх и некоторая амплитуда $A_2$ иметь спин вниз. Соответственно, когда он оказывается в точке $C$, мы можем утверждать, что амплитуда того, что он прошёл через $A$, равна $A_1$, а амплитуда того, что он прошёл через $B$, - $A_2$. Амплитуда прохождения по определённому пути равна амплитуде иметь соответствующий спин - вот правильное утверждение. Иначе можно сказать, что если электрон имеет спин вверх, то он проходит верхним путём, и наоборот; а если спин вниз - то нижним; но нельзя забывать что для каждого электрона реализуется не одно из этих двух "если", а оба, поэтому нельзя заменить "если электрон $X$" на "все электроны, которые $X$".

[Munin]

fps24 в сообщении #1398377 писал(а):

Не каждому одинаково легко сразу найти нужное место в нужном учебнике

Суть в том, что не надо искать какое-то место в учебнике. Надо прочитать учебник целиком.

fps24 в сообщении #1398377 писал(а):

Значит ли это, что в классическом мысленном эксперименте Фейнмана - все электроны в точке $A$ находятся в чистом состоянии спина $+z_2$, а в точке $B$ - в чистом состоянии спина $-z_2$, но затем пути электронов объединяются и возникает интерференция амплитуд в точке $C$ ?

Нет, это значит, что в зависимости от того, в какую именно сторону от изначальной оси $z_1$ была повёрнута ось $z_2,$ электроны в точках A и B будут находиться в разных состояниях:

- если поворот совершается вдоль оси $x_1,$ то $\cos\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}+z_2\rangle+i\sin\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}-z_2\rangle$;
- если поворот совершается вдоль оси $y_2,$ то $\cos\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}+z_2\rangle-\sin\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}-z_2\rangle$;

Ссылка: ФЛФ-8 стр. 105. Там же можно найти расчёт для произвольного поворота.

И то и другое - это суперпозиция состояний. То есть, каждый электрон находится и в точке A, и в точке B. И это существенно, поскольку если эта суперпозиция не будет разрушена, то обратный поворот прибора позволит каждому электрону вернуться в чистое состояние $|+z_1\rangle.$

Если же эта суперпозиция будет разрушена, то электроны действительно окажутся в точках A и B, с вероятностями

$\cos^2\tfrac{\pi}{8}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}8536$
$\sin^2\tfrac{\pi}{8}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}1464$

и с некогерентной фазой, в результате чего в дальнейших квантовых экспериментах будут вести себя уже как смесь состояний (это другое понятие, чем суперпозиция; рассматривается в ЛЛ-3 § 14, а в ФЛФ эта часть матаппарата опущена).

Поэтому, например, нельзя говорить про суперпозицию фразы типа

fps24 в сообщении #1398377 писал(а):

в точке $C$ электрон оказывается в смешанном состоянии двух путей

Важно обратить внимание, что $\cos\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}+z_2\rangle+i\sin\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}-z_2\rangle$ и $\cos\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}+z_2\rangle-\sin\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}-z_2\rangle$ - это разные суперпозиции состояний. Не говоря уже о том, что обе они отличаются от смеси состояний, которая вообще не может быть записана в виде единого вектора состояния.

Матрицы плотности соответствующие:

при повороте вдоль оси $x_1$:

$\cos^2\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}+z_2\rangle\langle+z_2|-i\sin\tfrac{\varphi}{2}\cos\tfrac{\varphi}{2}\bigl(\mathopen{|}+z_2\rangle\langle-z_2|-\mathopen{|}-z_2\rangle\langle+z_2|\bigr)+\sin^2\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}-z_2\rangle\langle-z_2|$
при повороте вдоль оси $y_1$:

$\cos^2\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}+z_2\rangle\langle+z_2|-\sin\tfrac{\varphi}{2}\cos\tfrac{\varphi}{2}\bigl(\mathopen{|}+z_2\rangle\langle-z_2|+\mathopen{|}-z_2\rangle\langle+z_2|\bigr)+\sin^2\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}-z_2\rangle\langle-z_2|$
при разрушении суперпозиции (для поворотов вокруг любой из осей):

$\cos^2\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}+z_2\rangle\langle+z_2|+\sin^2\tfrac{\varphi}{2}\mathopen{|}-z_2\rangle\langle-z_2|$

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1398397 писал(а):

Давайте говорить об одном электроне.

Вначале у электрона есть некоторая амплитуда $A_1$ иметь спин вверх и некоторая амплитуда $A_2$ иметь спин вниз. Соответственно, когда он оказывается в точке $C$, мы можем утверждать, что амплитуда того, что он прошёл через $A$, равна $A_1$, а амплитуда того, что он прошёл через $B$, - $A_2$. Амплитуда прохождения по определённому пути равна амплитуде иметь соответствующий спин - вот правильное утверждение. Иначе можно сказать, что если электрон имеет спин вверх, то он проходит верхним путём, и наоборот; а если спин вниз - то нижним; но нельзя забывать что для каждого электрона реализуется не одно из этих двух "если", а оба, поэтому нельзя заменить "если электрон $X$" на "все электроны, которые $X$".

Именно так! Если немного отмотать обсуждение, то можно заметить, что я всё время пытаюсь сказать именно это, но не всегда выбираю правильные слова.

Рассмотрим следующий эксперимент:




Давайте говорить об одном электроне. Предположим, что "обычный прибор Штерна-Герлаха" измеряет спин проходящих электронов. Тогда, если "обычный прибор Штерна-Герлаха" измерил спин этого электрона, то в момент выхода этого электрона из прибора мы можем с полным основанием утверждать, что если результатом измерения стал спин электрона $+z_2$, то амплитуда этого электрона иметь на выходе из прибора спин $+z_2$ равна $1.0$ , а значит и амплитуда прохождения по верхнему пути для этого электрона равна $1.0$ .

В дальнейших рассуждениях примем, что результатом измерения спина этого электрона в "обычном приборе Штерна-Герлаха" стало чистое значение спина $+z_2$.

Теперь предположим, что уже после выхода этого электрона из "обычного прибора Штерна-Герлаха" - лабораторная установка на пути этого электрона была достроена до следующего вида:



Рассмотрим этот электрон в точке $C$.

Какова амплитуда этого электрона попасть в точку $C$ через точку $A$, если проведённым "обычным прибором Штерна-Герлаха" измерением уже установлено, что амплитуда прохождения по верхнему пути для этого электрона равна $1.0$ ?

[Munin]

Eule_A
Вы рекомендуете снова назвать учебники, или как?