Пространство-время ОТО

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да ну тут-то ничего особо формального нет. Множество $A^n$ по определению состоит из $n$-к элементов $A$, кольцо $R^n$ — кольцо с таким носителем и покомпонентно определёнными операциями. Определения операций разумеется на элементы не влияют, они остаются кортежами. А «формализм» начинается, лишь если мы задаёмся вопросом, из чего состряпать кортежи или как устроить чтобы они существовали (в противовес постулированию, что они есть или ни к чему не сводятся), а вот свойство $(a_1,\ldots,a_n) = (b_1,\ldots,b_n)\Rightarrow a_1 = b_1\wedge\ldots\wedge a_n = b_n$ стоит считать их определением. Чем являются элементы $R^n$, никакой подобный «формализм» изменить не в силах. Так что карта распадается в набор координат всегда.

[Munin]

Guvertod в сообщении #1393532 писал(а):

Вообще, $dx^i(X)=X(x^i)$

Что-то в этой формуле всё-таки неправильное. Не должна перестановка сомножителей съедать оператор. $dx^i(X)=\mathcal{L}_X(x^i)$ я ещё могу принять.

[Guvertod]

Munin
Это не множители, это "значение на".
Ну, у теории дифформ есть некоторая странность с виду...

[Munin]

Guvertod в сообщении #1393551 писал(а):

Это не множители, это "значение на".

Угу. С алгебраической точки зрения - множители. Например, $\sin\pi$ - это произведение $\sin$ (оператора) на $\pi.$

[Guvertod]

Munin
Ну про операторы в этом формализме по-моему не к месту. Так или иначе это обычный дифференциал, просто записанный в непривычных терминах, а ваша формула - неизвестно что.

[Munin]

Вот и я не хочу смотреть на вектор, как на оператор. Это просто элемент касательного расслоения.

[Guvertod]

$d$ не оператор, а скорее обозначение. Ну а вектор то чем вам не оператор?

[Munin]

Как раз наоборот. С тем, что $d$ оператор, я уже смирился. Уж больно красива теорема Стокса и разложение Гельмгольца-Ходжа. А вектор - это значение на касательном пространстве, чем оно оператор-то? Оператор из него ещё сделать надо.

-- 17.05.2019 02:42:07 --

Guvertod в сообщении #1393555 писал(а):

Так или иначе это обычный дифференциал

"Дифференциал" - название оператора над дифформами. Я так прочитал вашу фразу. Да, обычный.

-- 17.05.2019 03:08:55 --

Guvertod в сообщении #1393563 писал(а):

Ну d какие-то абстрактные объекты перегоняет, меняя их "порядок".

Какие абстрактные? Это формы-то абстрактные? Это самые что ни на есть антисимметричные тензоры, единственная доступная нашему восприятию реальность :-) Вектор - их частный случай (ну, двойственен ему). Например, плотность заряда, плотность тока, напряжённость поля, поле силы - всё формы. И скобка Пуассона - она же.

[Guvertod]

Munin
В смысле с недифформной точки зрения легче принять вектор как скалярное произведение кортежа его компонент на градиент, а d просто перегоняет абстрактные объекты разного "порядка".

[Munin]

Всё-таки скалярное произведение - это роль ковектора, а не вектора.

[Guvertod]

Munin
Хорошо, только речь была о том насколько трудно при первом знакомтсве с этими формальностями воспринимать эту формулу, для меня было примерно так.
(Формально, конечно d оператор, а вектор нет и смысл дифформ становится более понятным применительно к физике со временем)

[Munin]

Да, при первом знакомстве полный шок, согласен. Я как-то не заметил, как разговор сюда зашёл...

[warlock66613]

Munin в сообщении #1393559 писал(а):

чем оно оператор-то?

Чем же $a^i \frac {\partial} {\partial x^i}$ не оператор?

[Munin]

Уели :-) Просто непривычно, признаю́.

[sergey zhukov]

Полный поток Солнца излучения на Землю:
При средней мощности излучения Солнца на уровне Земли 1400 Вт/м.кв получается $M=\frac{E}{c^2}=\frac{1400}{9\cdot10^{16}}=1.55\cdot10^{-14}$ кг/сек м.кв=200 кг/(сут Землю). Немного, конечно, но это ведь очень слабое излучение. Из-за отсутствия рассеивания фотона на фотоне не видно никаких пределов концентрации электромагнитного излучения, как это, например, делается при попытках инерционного термоядерного синтеза при помощи концентрации огромной энергии лазеров на точке возможно меньших размеров.

Понимание СТО:
Тут я ничего не выдумал. Это следует из определения интервала. Допустим, что я (1) наблюдаю, как вы (2) движетесь мимо меня. Если в качестве событий выбрать движение секундной стрелки ваших часов, то для меня между этим событиями существует расстояние $x$, время $t_1$ и интервал $t_1^2-x^2$, а для вас – только время $t_2$ и интервал $t_2^2$. Тогда $t_2^2=t_1^2-x^2$ или $t_2^2+x^2=t_1^2$. Для каждого наблюдателя все выгляди так, как будто вместо закона $dt=\operatorname{const} $ действует закон $dt^2+dx^2=\operatorname{const}$, просто для самого наблюдателя собственное $dx$ всегда полагается равным нулю, а для тех, кого он наблюдает, оно может и отличаться от нуля.

По поводу метрики Шварцшильда:
Как я понимаю, эта метрика – одна из самых простых. Например, по своей пространственной части она изотропна, что позволяет при рассмотрении движения луча света в таком пространстве свести задачу к движению света в плоском пространстве, заполненном изотропной средой с переменной оптической плотностью. Если бы значение пространственной части метрики зависело от направления движения луча света в точке, то мы получили бы более сложный вариант плоского пространства, заполненного анизотропной средой, в которой скорость распространения света в разных направлениях является, видимо, тензорной величиной.
В данном случае для света в метрике Шварцшильда нужно положить $dt_0=0$, тогда получим:

$$dt_\infty^2=\frac{dr^2}{1-\frac{r_s}{r}}\to\frac{dr}{dt_\infty}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}$$

Для удаленного наблюдателя эффективная скорость светового луча в разных точках плоского пространства, заполненного средой с переменной оптической плотностью вокруг точечной массы, будет описываться этой формулой. Эту оптическую задачу несложно решить. Вот результат:

Здесь показан ход параллельного пучка света и его отклонение в поле центральной массы. Цвет пропорционален эффективной скорости света. Так же показана круговая орбита света (фотосфера), которая в этой модели равна $1,5rs$.
По моему, вообще любая задача распространения света в искривленном пространстве-времени сводится к решению оптической задачи в анизотропной среде в плоском пространстве. Для массивной пробной частицы это сложнее, но, видимо, не намного.

У меня есть пара вопросов:

1. Кип Торн часто говорит, что черная дыра состоит целиком из искривленного пространства-времени. Вещества там нет. Т.к. гравитация в ОТО нелинейна, то достаточно каким-то образом экстремально искривить пространство-время, после чего оно "защелкнется" и будет поддерживать само себя в этом состоянии. Масса тут играет роль катализатора. Можно ли это понимать так?

2. Корректно ли говорить об ускоренном движении в плоском пространстве-времени СТО? Мне кажется, что ускоренное движение связано именно с искривленным пространством-временем. Одно без другого не существует. Говорить, что нечто движется с ускорением в плоском пространстве-времени - тут по моему какое-то противоречие.

3. Почему скорость света совпадает со скоростью гравитационной волны? Мне кажется, что действительно предельной скоростью распространения сигнала является именно скорость гравитационных волн. Свет не является волной метрики, так почему же его скорость в точности с ней совпадает?