Корень vs. степень: область определения

[B@R5uk]

GAA в сообщении #1371910 писал(а):

nthroot

Спасибо! Никогда не приходилось пользоваться, но даже в моём 2008 он есть.

-- 26.01.2019, 12:01 --

GAA в сообщении #1371910 писал(а):

В этой теме ссылки на пакеты — не аргумент.

Тогда предлагаю полюбоваться на действительную часть кубического корня на комплексной плоскости во всём его многообразии :



Мнимая часть выглядит точно так же, только повёрнута на угол $\pi/2$ по часовой стрелке, если смотреть на картинку сверху.

Наглядная демонстрация цитаты из первой страницы:

Munin в сообщении #501755 писал(а):

Стоит заметить, разве что, что на лучах $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ действительные значения находятся на разных листах комплексной функции, но в нуле они гладко стыкуются.

[dmd]

Самые интересные случаи в этой связи возникают при суммировании радикалов, например $\sqrt[3]{g(x)}+\sqrt[5]{h(x)}$, когда и $g(x)$ и $h(x)$ отрицательны на заданной действительной области определения $x$. Могут возникать ситуации, когда комплексные значения "алгебраически" посчитанных радикалов будут схлопываться в их сумме в действительное число, а "арифметически" посчитанная сумма даст совсем другое действительное значение. И как быть, какое действительное значение считать правильным?

[GAA]

Приведите, пожалуйста, пример (с легко вычисляемыми значениями).

[dmd]

GAA

Сходу хороший пример с идеальным обнулением мнимых частей не удалось подобрать, но не сомневаюсь, что такие примеры есть.

Но вот например функция

$$f(x)=\sqrt[5]{x^2+7x+1}-\sqrt[3]{5+2x}$$

в точке около $x=-3.1639$ мнимые части "алгебраически" вычисленной функции обнуляются, но действительная "алгебраическая" часть не равна "арифметическому" вычислению в этой точке:

[B@R5uk]

GAA в сообщении #1371949 писал(а):

Приведите, пожалуйста, пример

Можно поиграться с различными кубическими многочленами с целыми корнями/коэффициентами и с формулой Кардано. Я, помнится, натыкался на очень забавные случаи, но за давностью не помню конкретные значения.

[GAA]

dmd, спасибо. Я думал у Вас какой-то красивый пример есть.
А так мне не понятно, почему отрицательность подкоренных выражений Вам важна? Разве для положительных подкоренных значений подобный пример нельзя построить? Разве корень $n$-ой степени из положительного числа не имеет $n$ различных значений?

-- Sat 26.01.2019 17:55:49 --

Что в случае положительных подкоренных выражений мешает подобрать функции так, чтобы мнимые части корней сократились?

[dmd]

GAA
так "главное значение" радикала с положительным подкоренным выражением совпадает со значением Surd

[GAA]

dmd, т.е. всё сводится к умению пользоваться пакетами? Или я что-то тонкое пропускаю?

[StaticZero]

GAA в сообщении #1372043 писал(а):

Что в случае положительных подкоренных выражений мешает подобрать функции так, чтобы мнимые части корней сократились?

Может быть, речь идёт о следующей процедуре "сложения":

$$ \sqrt[3] 1 + \sqrt[3] 1 = \exp \left( \frac{2 i \pi}{3} \right) + \exp \left( \frac{4 i \pi}{3} \right) = -1 $$

[warlock66613]

dmd в сообщении #1371898 писал(а):

построить некий простейший наглядный физический опыт, в котором динамика протекает как $x^{1/3}$, и демонстрирующий при выходе аргумента в отрицательную область, что сама Природа выбирает "главное значение" комплексных ветвей

Боюсь, Природа не в курсе, что ей следует выбирать именно главное значение.

[dmd]

warlock66613
Логическая связность присутствует в теории с "главным значением" комплексных ветвей. И наоборот, в теории с "арифметическим" корнем присутствует логическая безсвязность. Только на этом строю предположение, что именно покажет опыт. Посмотрим вобщем, надо дождаться опыта.

[Munin]

dmd в сообщении #1372097 писал(а):

Логическая связность присутствует в теории с "главным значением" комплексных ветвей.

Вообще-то нет.

[GAA]

project15 в сообщении #1371578 писал(а):

И ладно бы арифметический корень (имеется в виду с любым показателем) был бы всегда определен только для положительных чисел (как у Фихтенгольца например).

project15 в сообщении #1371712 писал(а):

Я видел литературу, в которой используется как первый подход (изучаются только арифметические корни и только положительные основания дробных степеней, например, трехтомник Фихтенгольца 2003 г)

Издания 2003 г. у меня нет. Но существенных изменений в поздних изданиях быть не должно. В первом томе «Курса дифференциального и интегрального исчисления» (1947, 1962) п. 48

Цитата:

Степенная функция.
Так называется функция вида

$y=x^{\mu},$

где $\mu$ — любое постоянное вещественное число. При целом $\mu$ получается рациональная функция. При $\mu$ дробном мы имеем радикал. Например, пусть $m$ — натуральное число и

$y=x^{\frac 1 m} = \root m \of x;$

эта функция определена для всех значений $x$, если $m$ — нечётное, и лишь для неотрицательных значений — при $m$ четном (в этом случае мы имеем в виду арифметическое значение радикала.) Наконец, если $\mu$ — иррациональное число, мы будем предполагать $x > 0$ ($x=0$ допускается лишь при $mu >0$).

Условие положительности основания при иррациональном показателе принято во всех известных мне курсах начал анализа. Также во всех известных мне курсах при нечетном $m$ область определения радикала — все действительные числа. Дробные степени с положительным основанием нужны при определении показательной функции. Поэтому они также есть в любом подробном курсе начал анализа. Дробные степени с отрицательным основанием — по вкусу: можно использовать суперпозицию корня и степени. Но включение дробных степеней для отрицательных значений много к объёму материала не добавляет. (Это важно только на экзаменах, но тут просто надо не ловить на мелочах студентов. bot в post54001.html#p54001 в этом духе писал. Ну, мелочи это всё. )

project15 в сообщении #1371721 писал(а):

Более того, в первой теме даже понятие уравнения трактуется по разному.

Бор в сообщении #53707 писал(а):

Пусть дано ур-е $x^{x+4}=4$ . Если следовать правилам равносильности и идти через
$x>0$, $x\ne 1$, то получаем корень между 1 и 2. Однако, это уравнение имеет и корень $x=-2$, так как по определению корня он превращает ур-е в верное равенство. Как быть с такой "равносильностью". Может быть это в институте проходят?

Имхо, решение уравнения с одним неизвестным — число, которое при подстановке в уравнение вместо неизвестной величины превращает уравнение в (верное) равенство. В данном случае действительное число. При $x=0$ входящие в уравнение операции (функции) определены (опечатка). При $x=-2$ входящие в уравнение операции (функции) определены. Следовательно, $x=-2$ — решение уравнения. Как-то так. Никогда не задумывался над формализацией, может быть что-то тонкое не вижу.

bot в сообщении #54001 писал(а):

Левая часть является степеннопоказательной функцией и по определению её основание положительно.

Для иррациональных показателей положительно. (Предполагаю, в связи с тем, что на первом курсе в большинстве заданий по анализу основание положительно, многие на автомате скажут, что $x >0$.)

StaticZero в сообщении #1372050 писал(а):

Может быть, речь идёт о следующей процедуре "сложения":

До такого варианта я не додумался. :) Спасибо!

[dmd]

StaticZero в сообщении #1372050 писал(а):

$$ \sqrt[3] 1 + \sqrt[3] 1 = \exp \left( \frac{2 i \pi}{3} \right) + \exp \left( \frac{4 i \pi}{3} \right) = -1 $$

Что это? У Вас $2=-1$???

Если опять и здесь про многозначность. Втысячепервыйраз: люди, вы не к месту многозначность применяете!

$a=x^3$ - эта зависимость диктует многозначность $x$, да.

Но $\sqrt[3]{1}=1$ - строго однозначно.

Также как $\sqrt[3]{-1}$ - однозначно. Но есть две трактовки этой однозначности: либо "алгебраическая" $\sqrt[3]{-1}=0.5+0.8660254 i$, либо "арифметическая" $\sqrt[3]{-1}=-1$.

[StaticZero]

dmd в сообщении #1372237 писал(а):

Что это? У Вас $2=-1$???

Ага. Все числа на самом деле нули.

dmd в сообщении #1372237 писал(а):

Также как $\sqrt[3]{-1}$ - однозначно. Но есть две трактовки этой однозначности: либо "алгебраическая" $\sqrt[3]{-1}=0.5+0.8660254 i$, либо "арифметическая" $\sqrt[3]{-1}=-1$.

У однозначности несколько трактовок однозначности, исключающих друг друга. Хорошая такая однозначность

-- 27.01.2019 в 14:59 --

Кстати, а где третья трактовка однозначности потерялась?