Рациональные степени (определения, терминология)

[Бор]

Здравствуйте. Обясните пожалуйста мне одну вещь.

В учебнике "Алгебра и начала анализа 10-11" под редакцией Колмогорова сначала написано:

стр. 208 "При нечетном n существует корень n-ой степени из ЛЮБОГО числа а и при том только
один". И тут же показано, что $(-27)^{1/3}=-3$

потом написано следующее

стр. 219 "При a<0 рациональная степень числа не определяется и это не случайно." Показано
далее
$(-8)^{1/3}$ с одной стороны равно $-2$, с другой $1/3=2/6$.Тогда
$(-8)^{2/6}$ равно корню шестой степени из квадрата $-8$, то есть $2$.

Вот такое противоречие, что уже не знаю имеет ли корни ур-е $x^{1/3}=-8$

И второе. Пусть дано ур-е $x^{x+4}=4$ . Если следовать правилам равносильности и идти через
$x>0$, $x\ne 1$, то получаем корень между 1 и 2.
Однако, это уравнение имеет и корень $x=-2$, так как по определению корня он превращает ур-е
в верное равенство. Как быть с такой "равносильностью". Может быть это в институте проходят?

Спасибо за внимание.

[RIP]

1) Рациональная (нецелая) степень $a^p$ от отрицательного числа $a<0$ определяется только для показателей вида $p=\pm\frac1n$, где $n$ - нечетное натуральное число (например, $n=3$). Для всех остальных $p$ степень не определяется по причинам, изложенным в Вашем посте (хочется, чтобы выполнялись все свойства степеней).
Поэтому уравнение $x^{\frac13}=-2$ имеет решение $x=-8$, но, например, уравнение $x^{\frac35}=-27$ не имеет решений.

2) Если на вступительных экзаменах попадается уравнение вида $f(x)^{g(x)}=h(x)$, где $g(x)$ - непостоянная функция, то надо искать только такие решения, при которых $f(x)>0$ (это неравенство входит в ОДЗ). (Про ограничение $f(x)\ne1$ я что-то не припоминаю.) Это я вычитал в каком-то пособии для поступающих. Искать решения, при которых $f(x)\leqslant0$ (если таковые есть) не только не нужно, но и неправильно (засчитают за ошибку - это я вычитал там же).

[незваный гость]

RIP писал(а):

(засчитают за ошибку - это я вычитал там же).

Это трогательно. Я бы по душевной простоте включил бы в ОО $f(x) \geq 0 \wedge g(x) > 0$. И провалился бы…

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:

RIP писал(а):

(засчитают за ошибку - это я вычитал там же).

Это трогательно. Я бы по душевной простоте включил бы в ОО $f(x) \geq 0 \wedge g(x) > 0$. И провалился бы…

За положительность g(x) естественно не зачёт. Хотя ео неотрицательность необходимо для случая f(x)=0.
Тем не менее, я не согласен и с RIPом. Не надо исключать совсем случай, когда f(x) отрицательное. По крайней мере целые степени от отрицательного числа всегда однозначно определены. Рациональные степени, когда знаменатель нечётен так же определяются.

[незваный гость]

Руст писал(а):

За положительность g(x) естественно не зачёт. Хотя ео неотрицательность необходимо для случая f(x)=0.

Ой! Вот случай-то $f(x)=g(x) = 0$ надо исключать… Хотя $f(x) > 0 \wedge g(x) \geq 0$ законная зона, я пытался подчеркнуть допустимость рассмотрения $f(x) = 0$ при некотором ограничении на $g(x)$.

[Руст]

Если f(x)>0 любые значения g(x) законны (как отрицательные, так и положительные).
Когда f(x)=0 законны только положительные но и 0 можно включить считая $0^0=1$.
Когда f(x)<0 положительность или отрицательность g(x) так же ни при чём. Тут возникает необходимость в целости (или более обще рациональности с нечётным знаменателем) g(x) и совсем не важно, положительная эта функция или отрицательная.

[Батороев]

Если допустимо высказать свою точку зрения...
Срок моего увлечения числами невелик, но достаточен для того, чтобы понять, что числа удивительны, они создают исключительно стройные системы, и, если в рассуждениях обнаруживается нестройность в числовых системах, то необходимо искать нестройность в самих рассуждениях.

У меня возникло подозрение, что как раз-то корни и неправильно считаются.
Если представить таблицу умножения (таблицу Пифагора, которая обладает наибольшей "стройностью") в объемных координатах, то можно обнаружить в каждом из восьми секторов по одной диагонали. Это диагонали кубов. В четырех секторах диагонали кубов положительны, в четырех - отрицательны.
Но "природа" этих диагоналей - и положительных, и отрицательных имеет по 2 варианта (положительных +++ и +--, отрицательных --- и ++-).
Примерно такая же картина с квадратами, но там обошлись введением мнимых чисел.

[RIP]

Руст писал(а):

Тем не менее, я не согласен и с RIPом.

Я рассказал не свою точку зрения, а то, чему меня учили в школе.

[bot]

В разных руководствах по-разному пишут. Если всем верить, то получается, что писать $\sqrt[3]{-8}=-2$ можно, а $(-8)^{\frac{1}{3}}=-2$ нельзя. Что читал абитур при подготовке - кто знает?

По этим причинам многие составители избегают задач с показательными функциями. А уж ловить абитуриентов на уровне договорённостей (включать выродков в ОДЗ или нет) и вовсе бесчестно. Лучше уж логарифмы ...

[Бор]

RIP писал(а):

Поэтому уравнение имеет решение , но, например, уравнение не имеет решений.

Меня то и это запутало!
Там написано черным по белому (-8)^(1/3) не определено!
[/quote]

[bot]

Если до конца честно, то всё верно - не определено.
Однако немало видел задач с решениями, в которых, напротив, допускалась противоположная трактовка: если знаменатель в показателе нечётен или числитель чётен, то у них всё было определено и ловили абитуров именно на пропуске таких выродков.
Так что если встретится такая задача на экзамене, то лучше так и написать, что вообще-то показательная функция определена только для положительного основания, но если допустить, что ... см. выше, то тогда возможны и такие решения.
Хотя, кто знает, как к этому отнесутся в конкретной экзаменационной комиссии?
Наверно лучше всё-таки считать, как написано в первой строке, а если вдруг что, то отстаивать своё на апелляции с учебником в руках.

[Бор]

bot писал(а):

показательная функция определена только для положительного основания

Я считаю, что при решении уравнения, в частности которого я написал, мы имеем дело не только с показательной функцией.
Это видно хотя бы потому что рассматривается случай a=1 (1^x), что
не свойственно показательной (я в условии исправил ошибку x<>1). Функции нам только помогают решить уравнение. А многие уравнения мы можем трактовать как совокупность функций.

[bot]

Бор писал(а):

Я считаю, что при решении уравнения, в частности которого я написал, мы имеем дело не только с показательной функцией.

Если Вы об уравнении $x^{x+4}=4$, то именно такие я и имел в виду, когда говорил, что нечестно менять правила игры по ходу этой игры. Левая часть является степеннопоказательной функцией и по определению её основание положительно. И не надо тыкать абитуриенту под нос пропущенное им очевидное решение: $(-2)^{-2+4}=(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$.

[Бор]

Согласен. Ну а если отвлечься от того, что это случилось на экзамене. Как там действовать я уже понял.
А вообще, математика - точная наука. Получается мы уравнение не до конца решили, ибо есть отрицателный корень, нами не найденный. Существует ли способ решения таких уравнений, найдя ВСЕ корни? Я не знаю, может это в институте проходят. Или в XXI математики еще не знают как это сделать.

[Someone]

bot писал(а):

Если Вы об уравнении $x^{x+4}=4$.... И не надо тыкать абитуриенту под нос пропущенное им очевидное решение: $(-2)^{-2+4}=(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4$.

А если в условии сказано, что $x$ - целое число? Тогда никаких проблем с областью определения, вроде бы, нет.