Итак, как строится гильбертово пространство такого поля. Самый простой подход -- разложить поле на осцилляторы, далее -- тривиально. Здесь надо подчеркнуть, что осцилляторы нумеруются ТРЕХМЕРНЫМ (а никак не четырехмерным!) импульсом. Из трехмерного импульса никакие on-shell/off-shell соотношения не сделать в принципе. Здесь частота, необходимая для построения этих соотношений, просто нигде не фигурирует. Аналогично, кстати, дело обстоит с операторами рождения/уничтожения. Соответственно и базисные векторы пространства состояний тоже никак ни с каким временем/частотой не связаны. Поэтому чисто в смысле гильбертового пространства состояний (а что это, если не линейная оболочка базисных векторов) понятия on-shell и off-shell вообще не имеют смысла. Таким образом, пространство состояний строится (явно!!!) вообще никак не касаясь ни понятия частоты, ни понятия времени. И как при этом, на уровне пространства состояний, рассуждать об on-shell/off-shell??? В этих рамках об on-shell/off-shell может рассуждать лишь безудержный болтун

Информация о "частоте" содержится в геометрии трёхмерного импульсного пространства. Трёхмерное импульсное пространство не плоское. Метрика трёхмерного импульсного пространства

не является евклидовой. При ненулевой массе

трёхмерное импульсное пространство является однородным изотропным пространством постоянной отрицательной кривизны

(в системе единиц

,

). Соответственно есть нетривиальная мера интегрирования

.
Получается это так. Четырёхмерная метрика четырёхмерного импульсного пространства псевдоевклидова:

Массовая гиперповерхность (точнее, её "верхняя секция") определяется уравнением:

В силу псевдоевклидовости исходной четырёхмерной метрики, массовая гиперповерхность - это не трёхмерный гиперболоид, а трёхмерная псевдосфера радиуса

(то есть, однородное изотропное пространство постоянной отрицательной кривизны

). В частности, в "картезианских" импульсных координатах

,

,

, трёхмерная метрика импульсного пространства такова:

Именно поэтому инвариантная мера интегрирования вот такая:

Более подробно там:
topic82059.html