2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 10:57 


27/08/16
10151
EUgeneUS в сообщении #1358974 писал(а):
Никаких математически строгих выкладок там нет.
Там есть отсыл к обобщённым функциям. Строго доказывать существование предела последовательности функционалов на каждой пробной недоциклоиде мне, простите, лень. Мне это кажется очевидным ввиду непрерывности пробных функций и существовании поточечного предела тангенциальных ускорений к всюду непрерывной функции вне нуля с устранимым разрывом (с нулевым значением) в нуле.

-- 05.12.2018, 11:03 --

DimaM в сообщении #1358976 писал(а):
На любой "недоциклоиде" тангенциальное ускорение нулевое, что имеется в виду под "координатами"?
На любой недоциклоиде вектор тангенциального ускорения существует и непрерывен всюду. Он нулевой в поточечном пределе только в некоторых точках на недоциклоиде, одна из которых, интересная нам, при нулевом параметре. Две координаты этого вектора тангенциального ускорения как функции этого параметра можно рассматривать как обобщённые функции. И тогда брать предел векторной функции от одного параметра можно покоординатно в пространстве обобщённых функций стандартным образом.

PS Я немного запутался, пока писал это сообщение. Надеюсь, сейчас уже распутася и эта версия окончательная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 11:08 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
realeugene в сообщении #1358977 писал(а):
Там есть отсыл к обобщённым функциям.


Чтобы разложить вектор по базису, надо этот базис задать. То есть от Вас ожидаются не "отсылы", а формула:
$\boldsymbol e_\tau = ...$
Которую Вы не привели. Хоть с доказательством, хоть без доказательства, хоть с использованием обобщенных функций, хоть без них.
Только отсылы какие-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 11:14 


27/08/16
10151
EUgeneUS в сообщении #1358979 писал(а):
Чтобы разложить вектор по базису, надо этот базис задать.
В этой задаче одновременно рассматриваются различные базисы. Один - глобальный базис евклидового пространства. Другие - в почти каждой точке кривой, когда ускорение (в плоскости) делится на два ортогональных вектора, нормальный и тангенциальный. После того, как вы выполнили это разложение почти во всех точках кривой, про формулы Френе можно забыть и продолжать работать в общем евклидовом базисе. Каком - не важно. Пусть горизонталь будет осью $0x$, а вертикаль - осью $0y$.

Я согласен с вашим получением вектора тангенциального ускорения вне точек сингулярности. Будем пользоваться для этого вашим определением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 11:21 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
realeugene в сообщении #1358981 писал(а):
Один - глобальный базис евклидового пространства.

В этом базисе ускорение не раскладывается на тангенциальное и нормальное.

Еще раз.
$\boldsymbol a_\tau \stackrel{\mathrm{def}} = a_\tau \boldsymbol e_\tau$
Нет базиса ($e_\tau$) - нет разложения вектора, нет ножек - нет варенья.
А Ваши игрища с пределами, приводят к тому, что и предел тангенциального ускорения равен $\boldsymbol a$, и предел нормального ускорения равен $\boldsymbol a$, в зависимости от того, как брать пределы.

-- 05.12.2018, 11:37 --

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1358981 писал(а):
Я согласен с вашим получением вектора тангенциального ускорения вне точек сингулярности.

Есть два способа "получения вектора тангенциального ускорения".
Один подробно описан, например, тут
Другой - например, тут.
какой из них Вы называете "моим" - сиё мне неведомо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 11:46 


27/08/16
10151
EUgeneUS в сообщении #1358984 писал(а):
А Ваши игрища с пределами, приводят к тому, что и предел тангенциального ускорения равен $\boldsymbol a$, и предел нормального ускорения равен $\boldsymbol a$, в зависимости от того, как брать пределы.
Совершенно верно. Но поточечные пределы именно в физике редко интересны, если они отличаются от обобщённых.

У нас есть векторные функции двух аргументов \boldsymbol a_{\boldsymbol \tau}(r, \varphi) = \left(a_x(r, \varphi), a_y(r, \varphi)\right)$, где $r$ - параметр недоциклоиды, в пределе циклоиды $r=1$, а $\varphi$ - "угол" на недоциклоиде, параметр рассматриваемой кривой, на циклоиде особая точка при $\varphi=0$. Это разложение по общему базису евклидового пространства.

После того, как вы получили вектора тангенциального ускорения для каждой недоциклоиды, про локальный базис на этой недоциклоиде в каждой её точке можно смело забывать: эти вектора существуют и как вектора от базиса не зависят. Дальше я рассматриваю координатные функции в общем евклидовом базисе $a_x$ и $a_y$ как обобщённые функции от $\varphi$, параметризованные параметром $r\ne 1$, и рассматриваю предел $$\boldsymbol a_{\boldsymbol \tau}(\varphi) = \lim_{r \to 1} \boldsymbol a_{\boldsymbol \tau}(r, \varphi) =  \left(\lim_{r \to 1} a_x(r, \varphi), \lim_{r \to 1} a_y(r, \varphi)\right)$$ Эти пределы координатных обобщённых функций всюду регулярные и непрерывные, в том числе, и при $\varphi=0$ функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:04 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1358989 писал(а):
Но поточечные пределы именно в физике редко интересны, если они отличаются от обобщённых.

Аргументация на уровне: "Молодой человек! Это почта!"

Вы один предел считаете плохим, негодным, а другой - хорошим, годным. По каким-то совершенно нестрогим, оценочным соображениям.
А разгадка проста: ни тот, ни другой предел нельзя называть ни нормальным, ни тангенциальным ускорением. Просто потому, что определениям нормального или тангенциального они не соответствуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:08 


27/08/16
10151
EUgeneUS в сообщении #1358994 писал(а):
Вы один предел считаете плохим, негодным, а другой - хорошим, годным. По каким-то совершенно нестрогим, оценочным соображениям.
Именно так. Это физика, дядя. Тут разница между "негодным" и "хорошим" в пригодности для применения, а не в формальных определениях. Мне нужно напомнить вам историю изобретения самих обобщённых функций?

Вот, смотрите, как это можно свести к обычному определению тангенциального ускорения. В окрестности особой точки циклоиды при рассмотрении ускорений можно пренебречь отклонением циклоиды от прямой, и тогда это одномерное движение по прямой с постоянным ускорением и остановкой в нуле. Параметризуем отдельно прямую нормальным параметром и отдельно движение по этой прямой, как описано в другой теме. Тогда и тангенциальное ускорение при таком движении определено всюду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
EUgeneUS
Вы вектор ускорения в нижней точке циклоиды найти можете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:14 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
В физике, товарисч, все нестрогие соображения сводятся к строгим. А если они не сводятся к строгим, то это не физика, а спекуляции.

Можно сделать совершенно просто:
в случае $v = 0$, $\boldsymbol a_\tau \stackrel{\mathrm{def}} = \boldsymbol a$, соответственно, в таких точках $\boldsymbol e_\tau = \frac{\boldsymbol a}{a}$
но так (АФАИК) никто не делает, потому что лишнее определение, а практического профита от него нет.

А раз так не сделано, то тангенциальное (и нормальное) ускорение в нижней точке циклоиды - не определено.

-- 05.12.2018, 12:18 --

Munin в сообщении #1358999 писал(а):
Вы вектор ускорения в нижней точке циклоиды найти можете?


А в чем проблема-то с вектором ускорения? Особенно, если колесо движется равномерно (угловая скорость постоянна)
В ИСО оси колеса это банальное центростремительное ускорение. В ИСО Земли получается циклоида, но ускорение не меняется - тоже самое банальное центростремительное.

Проблема не с самим вектором ускорения, а с его разложением (по несуществующему базису).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хорошо. Касательную прямую к нижней точке циклоиды провести можете?

-- 05.12.2018 12:31:33 --

EUgeneUS в сообщении #1359000 писал(а):
Можно сделать совершенно просто:
в случае $v = 0$, $\boldsymbol a_\tau \stackrel{\mathrm{def}} = \boldsymbol a$

Вам привести пример, когда нормальное ускорение не исчезает, или сами построите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:36 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
EUgeneUS в сообщении #1359000 писал(а):
Проблема не с самим вектором ускорения, а с его разложением (по несуществующему базису).
Я вот слежу за темой с самого начала, но так и не понял, а оно [разложение по несуществующему базису] нам нужно (с точки зрения физики и реальных приложений)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:42 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Munin в сообщении #1359004 писал(а):
Хорошо. Касательную прямую к нижней точке циклоиды провести можете?


Там две касательных.
Если они не ориентированные, то они совпадают. А касательный единичный вектор не определен, ни как $\frac{d \boldsymbol r}{ds}$, ни как $\frac{\boldsymbol v}{v}$

Munin в сообщении #1359004 писал(а):
Вам привести пример, когда нормальное ускорение не исчезает, или сами построите?


Приведите, пожалуйста.

-- 05.12.2018, 12:44 --

Walker_XXI в сообщении #1359008 писал(а):
Я вот слежу за темой с самого начала, но так и не понял, а оно [разложение по несуществующему базису] нам нужно (с точки зрения физики и реальных приложений)?


С точки зрения реальных приложений не знаю, видимо, нет.
Нужно чтобы
а) не возникало когнитивного диссонанса при вопросе "какое тангенциальное ускорение в нижней точке циклоиды".
б) и есть два способа определения тангенциального ускорения, ИМХО, важно понимать, чем они различаются. Иначе возможны другие когнитивные диссонансы.
С точки зрения физики, опять же важно понимать, откуда эти "букавки" берутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:51 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
realeugene в сообщении #1358989 писал(а):
Эти пределы координатных обобщённых функций всюду регулярные и непрерывные, в том числе, и при $\varphi=0$ функции.

Что получилось у меня: запишем циклоиду в виде
$$x=\omega t-r\sin\omega t,\; y=1-r\cos\omega t.$$
Компоненты скорости
$$v_x=\omega-r\omega\cos\omega t,\; v_y=r\omega\sin\omega t.$$
Компоненты ускорения
$$a_x=r\omega^2\sin\omega t,\; a_y=r\omega^2\cos\omega t.$$
Тангенциальное ускорение
$$a_\tau=\frac{a_xv_x+a_yv_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}=\frac{r\omega^2\sin\omega t}{\sqrt{1+r^2-2r\cos\omega t}}.$$
Предел
$$\lim_{r \to 1}a_\tau=a_\tau(r=1)=\frac{\omega^2\sin\omega t}{2\sqrt{\sin^2\omega t/2}}.$$
Так это выражение при $\omega t\to 0$ слева стремится к $-1$, а при $\omega t\to 0$ справа - к $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 12:57 


27/08/16
10151
DimaM в сообщении #1359010 писал(а):
Тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение - это вектор, по определению. А у вас - скаляр. У вас это проекция тангенциального ускорения на различные орты в различных точках кривой. Если эти орты не непрерывны вдоль траектории (а они у вас не непрерывны), то и проекция на них может иметь разрыв, несмотря на то, что сам вектор ускорения непрерывен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тангенциальная составляющая ускорения
Сообщение05.12.2018, 13:11 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
realeugene в сообщении #1359014 писал(а):
У вас это проекция тангенциального ускорения на различные орты в различных точках кривой. Если эти орты не непрерывны вдоль траектории (а они у вас не непрерывны), то и проекция на них может иметь разрыв, несмотря на то, что сам вектор ускорения непрерывен.

Так если орты непрерывны, то получается в данном случае $y-$компонента ускорения. Она, естественно, непрерывна, но отождествлять ее с тангенциальным ускорением мне представляется незаконным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group