Зададим кривую на плоскости радиус-вектром как функцией натурального параметра:
Штрихом обозначена производная по
.
Через
обозначим единичный вектор, перпендикулярный вектору
и такой , что пара
положительно ориентирована. Эта пара называется репером Френе плоской кривой (см Тайманов лекции по диф. геометрии).
Определим кривизну плоской кривой следующим образом
Где
, если пара
положительно ориентирована,
если пара
отрицательно ориентирована,
если
линейно зависимы.
Предположим, что точка
движется по данной кривой по закону
т.е. радиус-вектор точки
на плоскости выражается формулой
.
Теорема. .
Замечание 1. Первое слагаемое в правой части этой формулы называется тангенциальным ускорением, второе слагаемое -- нормальным ускорением точки
.
Ни каких ограничений (кроме требования гладкости) на функцию
не накладывается , в частности, ее производная может менять знак или быть тождественным нулем.
Замечание 2. В случае пространственных кривых, для корректного определения репера Френе приходится требовать линейную независимость векторов
, а кривизна определяется несколько иначе:
Однако, теорема остается верной и в этом случае.
Замечание 3. В задачах механики бывает удобно считать параметр
координатой на кривой. Т.е. отсчитывать его в обе стороны от некоторой точки кривой, в которой
. В этом случае параметр
может принимать отрицательные значения.