Тангенциальная составляющая ускорения

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1358974 писал(а):

Никаких математически строгих выкладок там нет.

Там есть отсыл к обобщённым функциям. Строго доказывать существование предела последовательности функционалов на каждой пробной недоциклоиде мне, простите, лень. Мне это кажется очевидным ввиду непрерывности пробных функций и существовании поточечного предела тангенциальных ускорений к всюду непрерывной функции вне нуля с устранимым разрывом (с нулевым значением) в нуле.

-- 05.12.2018, 11:03 --

DimaM в сообщении #1358976 писал(а):

На любой "недоциклоиде" тангенциальное ускорение нулевое, что имеется в виду под "координатами"?

На любой недоциклоиде вектор тангенциального ускорения существует и непрерывен всюду. Он нулевой в поточечном пределе только в некоторых точках на недоциклоиде, одна из которых, интересная нам, при нулевом параметре. Две координаты этого вектора тангенциального ускорения как функции этого параметра можно рассматривать как обобщённые функции. И тогда брать предел векторной функции от одного параметра можно покоординатно в пространстве обобщённых функций стандартным образом.

PS Я немного запутался, пока писал это сообщение. Надеюсь, сейчас уже распутася и эта версия окончательная.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1358977 писал(а):

Там есть отсыл к обобщённым функциям.

Чтобы разложить вектор по базису, надо этот базис задать. То есть от Вас ожидаются не "отсылы", а формула:
$\boldsymbol e_\tau = ...$
Которую Вы не привели. Хоть с доказательством, хоть без доказательства, хоть с использованием обобщенных функций, хоть без них.
Только отсылы какие-то.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1358979 писал(а):

Чтобы разложить вектор по базису, надо этот базис задать.

В этой задаче одновременно рассматриваются различные базисы. Один - глобальный базис евклидового пространства. Другие - в почти каждой точке кривой, когда ускорение (в плоскости) делится на два ортогональных вектора, нормальный и тангенциальный. После того, как вы выполнили это разложение почти во всех точках кривой, про формулы Френе можно забыть и продолжать работать в общем евклидовом базисе. Каком - не важно. Пусть горизонталь будет осью $0x$, а вертикаль - осью $0y$.

Я согласен с вашим получением вектора тангенциального ускорения вне точек сингулярности. Будем пользоваться для этого вашим определением.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1358981 писал(а):

Один - глобальный базис евклидового пространства.

В этом базисе ускорение не раскладывается на тангенциальное и нормальное.

Еще раз.
$\boldsymbol a_\tau \stackrel{\mathrm{def}} = a_\tau \boldsymbol e_\tau$
Нет базиса ($e_\tau$) - нет разложения вектора, нет ножек - нет варенья.
А Ваши игрища с пределами, приводят к тому, что и предел тангенциального ускорения равен $\boldsymbol a$, и предел нормального ускорения равен $\boldsymbol a$, в зависимости от того, как брать пределы.

-- 05.12.2018, 11:37 --

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1358981 писал(а):

Я согласен с вашим получением вектора тангенциального ускорения вне точек сингулярности.

Есть два способа "получения вектора тангенциального ускорения".
Один подробно описан, например, тут
Другой - например, тут.
какой из них Вы называете "моим" - сиё мне неведомо.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1358984 писал(а):

А Ваши игрища с пределами, приводят к тому, что и предел тангенциального ускорения равен $\boldsymbol a$, и предел нормального ускорения равен $\boldsymbol a$, в зависимости от того, как брать пределы.

Совершенно верно. Но поточечные пределы именно в физике редко интересны, если они отличаются от обобщённых.

У нас есть векторные функции двух аргументов \boldsymbol a_{\boldsymbol \tau}(r, \varphi) = \left(a_x(r, \varphi), a_y(r, \varphi)\right)$, где $r$ - параметр недоциклоиды, в пределе циклоиды $r=1$, а $\varphi$ - "угол" на недоциклоиде, параметр рассматриваемой кривой, на циклоиде особая точка при $\varphi=0$. Это разложение по общему базису евклидового пространства.

После того, как вы получили вектора тангенциального ускорения для каждой недоциклоиды, про локальный базис на этой недоциклоиде в каждой её точке можно смело забывать: эти вектора существуют и как вектора от базиса не зависят. Дальше я рассматриваю координатные функции в общем евклидовом базисе $a_x$ и $a_y$ как обобщённые функции от $\varphi$, параметризованные параметром $r\ne 1$, и рассматриваю предел

$$\boldsymbol a_{\boldsymbol \tau}(\varphi) = \lim_{r \to 1} \boldsymbol a_{\boldsymbol \tau}(r, \varphi) = \left(\lim_{r \to 1} a_x(r, \varphi), \lim_{r \to 1} a_y(r, \varphi)\right)$$

Эти пределы координатных обобщённых функций всюду регулярные и непрерывные, в том числе, и при $\varphi=0$ функции.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1358989 писал(а):

Но поточечные пределы именно в физике редко интересны, если они отличаются от обобщённых.

Аргументация на уровне: "Молодой человек! Это почта!"

Вы один предел считаете плохим, негодным, а другой - хорошим, годным. По каким-то совершенно нестрогим, оценочным соображениям.
А разгадка проста: ни тот, ни другой предел нельзя называть ни нормальным, ни тангенциальным ускорением. Просто потому, что определениям нормального или тангенциального они не соответствуют.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1358994 писал(а):

Вы один предел считаете плохим, негодным, а другой - хорошим, годным. По каким-то совершенно нестрогим, оценочным соображениям.

Именно так. Это физика, дядя. Тут разница между "негодным" и "хорошим" в пригодности для применения, а не в формальных определениях. Мне нужно напомнить вам историю изобретения самих обобщённых функций?

Вот, смотрите, как это можно свести к обычному определению тангенциального ускорения. В окрестности особой точки циклоиды при рассмотрении ускорений можно пренебречь отклонением циклоиды от прямой, и тогда это одномерное движение по прямой с постоянным ускорением и остановкой в нуле. Параметризуем отдельно прямую нормальным параметром и отдельно движение по этой прямой, как описано в другой теме. Тогда и тангенциальное ускорение при таком движении определено всюду.

[Munin]

EUgeneUS
Вы вектор ускорения в нижней точке циклоиды найти можете?

[EUgeneUS]

В физике, товарисч, все нестрогие соображения сводятся к строгим. А если они не сводятся к строгим, то это не физика, а спекуляции.

Можно сделать совершенно просто:
в случае $v = 0$, $\boldsymbol a_\tau \stackrel{\mathrm{def}} = \boldsymbol a$, соответственно, в таких точках $\boldsymbol e_\tau = \frac{\boldsymbol a}{a}$
но так (АФАИК) никто не делает, потому что лишнее определение, а практического профита от него нет.

А раз так не сделано, то тангенциальное (и нормальное) ускорение в нижней точке циклоиды - не определено.

-- 05.12.2018, 12:18 --

Munin в сообщении #1358999 писал(а):

Вы вектор ускорения в нижней точке циклоиды найти можете?

А в чем проблема-то с вектором ускорения? Особенно, если колесо движется равномерно (угловая скорость постоянна)
В ИСО оси колеса это банальное центростремительное ускорение. В ИСО Земли получается циклоида, но ускорение не меняется - тоже самое банальное центростремительное.

Проблема не с самим вектором ускорения, а с его разложением (по несуществующему базису).

[Munin]

Хорошо. Касательную прямую к нижней точке циклоиды провести можете?

-- 05.12.2018 12:31:33 --

EUgeneUS в сообщении #1359000 писал(а):

Можно сделать совершенно просто:
в случае $v = 0$, $\boldsymbol a_\tau \stackrel{\mathrm{def}} = \boldsymbol a$

Вам привести пример, когда нормальное ускорение не исчезает, или сами построите?

[Walker_XXI]

EUgeneUS в сообщении #1359000 писал(а):

Проблема не с самим вектором ускорения, а с его разложением (по несуществующему базису).

Я вот слежу за темой с самого начала, но так и не понял, а оно [разложение по несуществующему базису] нам нужно (с точки зрения физики и реальных приложений)?

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1359004 писал(а):

Хорошо. Касательную прямую к нижней точке циклоиды провести можете?

Там две касательных.
Если они не ориентированные, то они совпадают. А касательный единичный вектор не определен, ни как $\frac{d \boldsymbol r}{ds}$, ни как $\frac{\boldsymbol v}{v}$

Munin в сообщении #1359004 писал(а):

Вам привести пример, когда нормальное ускорение не исчезает, или сами построите?

Приведите, пожалуйста.

-- 05.12.2018, 12:44 --

Walker_XXI в сообщении #1359008 писал(а):

Я вот слежу за темой с самого начала, но так и не понял, а оно [разложение по несуществующему базису] нам нужно (с точки зрения физики и реальных приложений)?

С точки зрения реальных приложений не знаю, видимо, нет.
Нужно чтобы
а) не возникало когнитивного диссонанса при вопросе "какое тангенциальное ускорение в нижней точке циклоиды".
б) и есть два способа определения тангенциального ускорения, ИМХО, важно понимать, чем они различаются. Иначе возможны другие когнитивные диссонансы.
С точки зрения физики, опять же важно понимать, откуда эти "букавки" берутся.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1358989 писал(а):

Эти пределы координатных обобщённых функций всюду регулярные и непрерывные, в том числе, и при $\varphi=0$ функции.

Что получилось у меня: запишем циклоиду в виде

$$x=\omega t-r\sin\omega t,\; y=1-r\cos\omega t.$$

Компоненты скорости

$$v_x=\omega-r\omega\cos\omega t,\; v_y=r\omega\sin\omega t.$$

Компоненты ускорения

$$a_x=r\omega^2\sin\omega t,\; a_y=r\omega^2\cos\omega t.$$

Тангенциальное ускорение

$$a_\tau=\frac{a_xv_x+a_yv_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}=\frac{r\omega^2\sin\omega t}{\sqrt{1+r^2-2r\cos\omega t}}.$$

Предел

$$\lim_{r \to 1}a_\tau=a_\tau(r=1)=\frac{\omega^2\sin\omega t}{2\sqrt{\sin^2\omega t/2}}.$$

Так это выражение при $\omega t\to 0$ слева стремится к $-1$, а при $\omega t\to 0$ справа - к $1$.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1359010 писал(а):

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение - это вектор, по определению. А у вас - скаляр. У вас это проекция тангенциального ускорения на различные орты в различных точках кривой. Если эти орты не непрерывны вдоль траектории (а они у вас не непрерывны), то и проекция на них может иметь разрыв, несмотря на то, что сам вектор ускорения непрерывен.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1359014 писал(а):

У вас это проекция тангенциального ускорения на различные орты в различных точках кривой. Если эти орты не непрерывны вдоль траектории (а они у вас не непрерывны), то и проекция на них может иметь разрыв, несмотря на то, что сам вектор ускорения непрерывен.

Так если орты непрерывны, то получается в данном случае $y-$компонента ускорения. Она, естественно, непрерывна, но отождествлять ее с тангенциальным ускорением мне представляется незаконным.