В защиту Литлвуда

[shwedka]

Руст

Цитата:

В итоге получим

Как я, в своей наивности, не умея мысли читать, могу догадаться, какая математическая операция обозначена словами В ИТОГЕ ??

[Руст]

shwedka писал(а):

Руст

Цитата:

В итоге получим

Как я, в своей наивности, не умея мысли читать, могу догадаться, какая математическая операция обозначена словами В ИТОГЕ ??

Так как вы аналитик (разделение математиков - алгебраисты, аналитики - занимающие анализом и геометры) то попробую формализовать на языке пределов.
Мы ищем подмножество шаров. Оно определяется своей характеристической функцией, являющейся функцией двух аргументов $g(x,n)=0$ если в момент за 1/n минуты до полудня ячейка пуста и 1 если занята. Сходимость на характеристических функциях определим самую слабую поточечную, когда $g(x,n)\to g(x)$, если начиная с некоторого n $g(x,n)$ постоянно и равен $g(x)$. Под предельным множеством назовём предел характеристических функций в указанном смысле, если таковое существует. Легко понять, что предельная характеристическая функция нулевая, т.е. получим в пределе пустое множество.

[shwedka]

Руст писал(а):

shwedka писал(а):

Руст

Цитата:

В итоге получим

Как я, в своей наивности, не умея мысли читать, могу догадаться, какая математическая операция обозначена словами В ИТОГЕ ??

Так как вы аналитик (разделение математиков - алгебраисты, аналитики - занимающие анализом и геометры) то попробую формализовать на языке пределов.
Мы ищем подмножество шаров. Оно определяется своей характеристической функцией, являющейся функцией двух аргументов $g(x,n)=0$ если в момент за 1/n минуты до полудня ячейка пуста и 1 если занята. Сходимость на характеристических функциях определим самую слабую поточечную, когда $g(x,n)\to g(x)$, если начиная с некоторого n $g(x,n)$ постоянно и равен $g(x)$. Под предельным множеством назовём предел характеристических функций в указанном смысле, если таковое существует. Легко понять, что предельная характеристическая функция нулевая, т.е. получим в пределе пустое множество.

Ну и прекрасно!!!. Теперь все определено. Я же о том, что не было определено раньше!!!! До этого поста!

[Руст]

Вообще то это топология из алгебры. Аналог топологии p-адических чисел $Z_p$ как проективного предела дискретных топологий $Z/p^{n+1}Z\to Z/p^nZ$ отображений вычетов.

[shwedka]

Руст писал(а):

Вообще то это топология из алгебры. Аналог топологии p-адических чисел $Z_p$ как проективного предела дискретных топологий $Z/p^{n+1}Z\to Z/p^nZ$ отображений вычетов.

Слова-то какие знаете... Но не в том вопрос. Как Вы углядели поточечный предел, или что там еще, в исходной формулировке. В каком конкретно месте??

[Руст]

Всё возникает естественно - характеристическая функция есть элемент произведения (счётной степени по элементам) $(Z/2Z)^{N}$. Топология тихоновского произведения и приведёт к поточечной сходимости в этом пространстве. На сколько помню такая топология используется и в логике.

[shwedka]

Руст

Цитата:

Всё возникает естественно

Ничего этого естественно не возникает. Ничего этого в исходной формулировке Литтлвуда нет.

[PAV]

ewert писал(а):

PAV писал(а):

Шар в определенный момент положили в ящик. Затем его оттуда достали. Больше к нему не прикасались. И отсюда явно не следует, что во все последующие моменты он не лежит в ящике?

Во все последующие -- безусловно. Но не в предельный. Ибо то, что мы понимаем под состоянием в предельный момент, изначально не определено.

Я сейчас говорю только про один шар с номером 1. После того, как его достали из ящика и больше к нему не прикасались, дальнейшая судьба ящика для этого шара не имеет никакого значения. Почему Вы считаете, что мы можем достоверно утверждать про все моменты до полудня, что этот шар в ящике не лежит, а в полдень что-то вдруг меняется? Почему полдень имеет какое-то особенное значение для первого шара? Какое ему дело до других шаров и до того, что с ними происходит? Представьте себе, что после того, как этот шар из ящика достали, ящик унесли в другую комнату. Вы считаете, что то, какие действия производили с ним там, оказывают какое-то влияние на состояние оставшегося первого шара, к которому никто не прикасается? Это мне совершенно удивительно.

Посмотрите мое пояснение к этой задаче здесь
Может быть, оно Вас удовлетворит?

[Коровьев]

Я повторюсь немного.
Вместо шаров введём пронумерованные отрезки $n$ длиной $1/n$
На пустом столе мы их выкладываем вправо последовательно друг к другу. /+10 крайний левый убираем/. Всё как в задаче Литлвуда с шарами
***
Подход 1.
Отрезку с номером $j$ сопоставим элемент $P_j$
Рассмотрим множество выложенных отрезков $S_n$

$$S_n=P_1+...+P_{10}-P_1+...+P_{10(n-1)+1}+...+P_{10n} -P_n$$

Очевидно, что в пределе мы получим пустое множество./Так и пишет сам Литлвуд, что для математика ничего необычного в этом нет./
Т.е. длина выложенного отрезка в полдень будет равна нулю.
***
Подход 2.
Ведём функцию равную длине выложенных отрезков после каждого цикла /+10, -1/
Этого мне никто запретить не может.
$S_1=\frac{1}{2}+…+\frac{1}{10}$
$S_2=\frac{1}{3}+…+\frac{1}{20}$
…
$S_n=\frac{1}{n+1}+…+\frac{1}{n10}$

$\int_{n+1}^{10n}\frac{1}{x+1}dx<S_n<\int_{n}^{10n}\frac{1}{x} dx$

$\ln \frac{10n+1}{n+2}<S_n<\ln \frac{10n}{n}$

$\lim_{n\to\infty} S_n=\ln 10$
Т.е. длина выложенных отрезков стремится к определённому не нулевому пределу и, следовательно, множество отрезков на столе в полдень не пусто.
***
Так вот. У меня нет возражений ни по первому подходу ни по второму.
Но замечу, что ровно в полдень никаких операций не производится, значит мы рассматриваем открытый интервал временных отрезков. А раз так, то на ответ, что любой $n$-ый шар будет вынут из ящика в $n$-ом такте, можно ответить, но при этом в ящике будет $n+1$-ый шар, поскольку данный открытый временной интервал не имеет максимума.
ИМХО.

[MaximKat]

Коровьев в сообщении #135101 писал(а):

Т.е. длина выложенных отрезков стремится к определённому не нулевому пределу и, следовательно, множество отрезков на столе в полдень не пусто.

длина предела не равна пределу длины

[Коровьев]

MaximKat писал(а):

Коровьев в сообщении #135101 писал(а):

Т.е. длина выложенных отрезков стремится к определённому не нулевому пределу и, следовательно, множество отрезков на столе в полдень не пусто.

длина предела не равна пределу длины

Серьёзная мысль. Только где Вы у меня нашли длину предела?

[Лукомор]

Давайте начнем с простого.
Пусть имеется конечное число шаров.
Например 100.
Делаем все по Литлвуду:
Положим 10 шаров, затем вынем №1.
Через 10 шагов будут уложены последние 10 шаров и вынут шар №10.
На этот момент имеем:
1. Шары №1-10 вынуты из ящика.
(Всего 10 шаров или 1/10 от общего количества).
2. Шары №11-100 лежат в ящике.
(Всего 90 шаров или 9/10 от общего количества).
Возникает вопрос, что делать дальше?
Возникла патовая ситуация:
На следующем шаге необходимо загрузить 10 шаров НО ИХ НЕТ.
Есть два разных сценария дальнейшего развития событий.
1. Процесс прекращается.
Арбитр свистит в свисток, делает отмашку красным флажком,
и приглашает свидетелей подписать протокол.
2. Процесс продолжается.
Но терминал работает исключительно на выгрузку шаров.
В этом случае, еще через 90 шагов все шары вынуты из ящика, ящик пуст.
Вопрос ученому сообществу:
Противоречит ли какой-либо из двух сценариев, или оба сценария,
какому-либо из условий задачи Литлвуда.
(За исключением условия о бесконечном числе шаров, которое временно опускаем) ???

[TOTAL]

Лукомор писал(а):

Давайте начнем с простого.

Я завел будильник на 12.30, проснулся и, не заглядывая в ящик, знаю, что он пуст. В условии сказано, что всё, что в него клали, затем вынули. В каком порядке, что, кто и как складывал/выкладывал, меня не волнует. Желающие могут искать пределы, приседать, отжиматься и решать другие задачи.

[Лукомор]

TOTAL в сообщении #135129 писал(а):

В условии сказано, что всё, что в него клали, затем вынули

Это не единственное условие.
Есть другое условие.
Вынув один шар, мы обязаны взамен положить 10 шаров.
Эти два условия противоречат друг другу.
Миссия невыполнима.

Добавлено спустя 7 минут 11 секунд:

shwedka в сообщении #135086 писал(а):

Ничего этого в исходной формулировке Литтлвуда нет.

Заранее извиняюсь за глупый вопрос, где можно увидеть сей артефакт??? Я имею в виду исходную формулировку задачи Литлвуда, без более поздних наслоений.

Добавлено спустя 2 минуты 47 секунд:

TOTAL в сообщении #135129 писал(а):

Желающие могут искать пределы, приседать, отжиматься и решать другие задачи

Не уверен насчет разыскания пределов, но приседать, отжиматься, и решать другие задачи весьма полезно.

[Narn]

Исходную формулировку можно найти в книжке Литтлвуда "Математическая смесь". Это не задача, а скорее иллюстративный пример. А миссия действительно невыполнима, как тут поспорить, если Вы изменили условие.