В защиту Литлвуда

[Narn]

Так,все это уже наводит на очень сильные подозрения.

а) У каждого конкретного натурального числа число разрядов конечно. У каждого числа оно свое. Можно написать натуральное число с каким угодно (сколь угодно большим) конечным числом разрядов.

б) 0.(9) = 1.(0)=1. По определению. Поэтому Ваш момент - это ровно полдень.

в) Бесконечноразрядных натуральных чисел не существует. Всем понятно, почему. Кому не очевидно, докажет на экзамене (почти цитата из учебника Кострикина).

г) Не кормите троллей.

[ewert]

Лукомор писал(а):

/*Про себя */: "Эйлер считал, что "$1+10+100+1000...=-1/9$"

Это не про Вас, а про якобы Эйлера. А у Вас был вполне конкретный ряд:
$a_0+a_1\cdot10+a_2\cdot100+a_3\cdot1000\dots$ .
Так чему конкретно он равен?

Лукомор писал(а):

$29\over385$ - dx

Так, Вы уже близки к успеху. Осталось назвать, чему равно $dx$. Ну, смелее!

Лукомор писал(а):

Юмор, странно... Мне казалось, что это сатира!

Это была оптическая иллюзия. Придвиньте нос к экрану (можно к зеркалу), раздвиньте пошире глаза...

[MGM]

Профессор Снэйп писал(а):

$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Или Вы с этим предельным переходом тоже не согласны?

Мда, и какое отношение предельный переход имеет к словестной постановке задачи Литлвуда?
Нечёткие постановки задачи пораждают нечёткие ответы.
Есть более подходящий пример.

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \exp \left( {i\frac{1} {t}} \right) \]

(1)
при

\[ t = \frac{1} {{2\pi n + \varphi }} \]

Понятно, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } t = 0 \]

(2)
Назовём время t=0полуднем и он у нас есть согласно существованию предела (2).
А вот сколько градусов даст комплексная экспонента, зависит вроде бы от какой-то хренотени

\[ \varphi \]

, которую назовоём магической константой.

Заковыка в том, что один предел существует, а вот другой нет. Так и с задачей тов. Литлвуда.

[ewert]

MGM писал(а):

Мда, и какое отношение предельный переход имеет к словестной постановке задачи Литлвуда?
Нечёткие постановки задачи пораждают нечёткие ответы.
Есть более подходящий пример.

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \exp \left( {i\frac{1} {t}} \right) \]

(1)

Есть и куда литтлвудистее факты, чем теорема Сохоцкого. Например, функция типа Ван дер Вардена $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}2^{-k}\varphi(2^kx)$, где $\varphi(t)=\min\{t-[t];\;[t+1]-t\}$. Вот уж это-то -- точно про парадокс Литтлвуда!

[Someone]

Да, понаписали тут... Мне кажется, пора остановиться и разобраться, что получилось.

Лукомор, Вы пишете:

Лукомор писал(а):

Возьмите число 11111.........., состоящее из бесконечного числа единиц.
Это Бесконечно Большое Число.
Когда до него дойдет очередь, мы его уберем из ящика, а вместо него положим 10 шаров с номерами:
11111............
11111............
11111............
11111............
11111............
11111............
11111............
11111............
11111............
11111............,
каждый из которых будет больше предыдущего на единицу.

Извините, но я не вижу, почему каждое из этих чисел больше предыдущего на единицу. Я, напротив, вижу 10 одинаковых чисел. Разъясните этот момент, пожалуйста.

Лукомор писал(а):

В корзине в полдень останется бесконечное множество шаров с номерами:
от 1000....... =1(0)
до 9999....... =(9)
Надеюсь обозначения Бесконечно Больших Чисел взятые по аналогии с бесконечными десятичными дробями, где цифра в скобках обозначает бесконечную последовательность одинаковых цифр, Вас не смущает.....

Нет, запись сама по себе меня не смущает. Например, десятичная дробь $0.11111\ldots=0.(1)$ обозначает число, которое можно записать в виде ряда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 1{10^k}$, члены которого являются рациональными числами. Меня смущает проблема: как записать эти Ваши "бесконечные натуральные числа" в виде ряда? Дело в том, что значимость разрядов убывает при движении по записи числа слева направо и возрастает при движении по записи справа налево.

Лукомор писал(а):

Бесконечный ряд
$a0+a1*10+a2*10^2+...+aN*10^N+...$
прекрасная иллюстрация натурального числа с бесконечным числом разрядов.
А впрочем я забылся, бесконечных рядов ведь тоже не существует....

Ну почему же, бесконечные ряды существуют. Однако такая запись числа в виде ряда при стандартном понимании соответствовала бы числу $\ldots a_N\ldots a_2a_1a_0$. Согласитесь, что это совсем не похоже на то, что Вы написали в двух первых случаях.

Итак, у нас два вопроса.
1) Пусть есть "бесконечное натуральное число" $111111\ldots=(1)$. Как записать в таком виде "бесконечное натуральное число" $(1)+1$ и как вообще производить арифметические операции с такими числами? Вопрос весьма актуальный, поскольку Ваши аргументы существенно опираются на придуманную Вами десятичную запись "бесконечных натуральных чисел".
2) Как записать в виде ряда "бесконечные натуральные числа" $100000\ldots=1(0)$ и $99999999\ldots=(9)$?

Хочу предупредить, чтобы Вы не строили иллюзий. Профессиональный математик работает в весьма жёстких условиях: он обязан чётко определять все новые понятия, которые он использует. Если он попытается упомянуть в работе какую-нибудь "глокую куздру", не объяснив, что это такое, коллеги пристанут к нему с требованием определить, что он имеет в виду. Если же он начнёт заговаривать зубы или каким-то другим способом уклоняться от ответа, его работа автоматически будет считаться бессмысленным набором слов, и репутация его весьма сильно пострадает.

Поэтому Вы будете в аналогичных условиях. У Вас есть следующие варианты:
1) Вы чётко отвечаете на указанные вопросы; тогда будем обсуждать эти числа и их применение к задаче Литтлвуда;
2) Вы честно говорите, что ответить на указанные вопросы (или один из них) не можете; вообще говоря, в этом случае Ваши "бесконечные натуральные числа" превращаются в бессмысленных "глоких куздр"; соответственно, все Ваши доводы, основанные на этих "глоких куздрах", также оказываются бессмысленными и отвергаются без рассмотрения; не подумайте, что Ваши "бесконечные натуральные числа" меня пугают, и что я пытаюсь любым способом от них избавиться;
3) Вы пытаетесь любым способом избежать ответов на указанные вопросы; в этом случае, боюсь, в дело вмешается кто-нибудь из модераторов и просто закроет тему ввиду Вашего нежелания сотрудничать.

P.S. Я прошу участников обсуждения пока воздержаться от написания поспешных сообщений. Их и так за один день написали уже 5 страниц, появились многочисленные вопросы и сущности, не имеющие отношения к задаче Литлвуда. Если так будет продолжаться, то появятся ещё 20 страниц, а вопрос так и не разрешится.

[Лукомор]

Someone в сообщении #134875 писал(а):

Извините, но я не вижу, почему каждое из этих чисел больше предыдущего на единицу. Я, напротив, вижу 10 одинаковых чисел. Разъясните этот момент, пожалуйста.

Они действительно одинаковые.
Даже не десять, а все 11 одинаковые, включая и то число, которое стоит в начале сообщения.
Это потому, что последовательность единиц в каждом из этих "чисел" бесконечна...

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

Someone в сообщении #134875 писал(а):

Меня смущает проблема: как записать эти Ваши "бесконечные натуральные числа" в виде ряда? Дело в том, что значимость разрядов убывает при движении по записи числа слева направо и возрастает при движении по записи справа налево.

Проблема на самом деле в том, что мы не можем записать бесконечную последовательность цифр.

Добавлено спустя 29 минут 30 секунд:

Someone в сообщении #134875 писал(а):

Ну почему же, бесконечные ряды существуют. Однако такая запись числа в виде ряда при стандартном понимании соответствовала бы числу ... . Согласитесь, что это совсем не похоже на то, что Вы написали в двух первых случаях.

Опять же мы не можем записать все число целиком, можем лишь несколко первых или несколько последних знаков.
Я применил запись 12345...... только для наглядности, потому что именно так Литтлвуд строит числа, составляющие бесконечное множество натуральных чисел, которые остаются в ящике после извлечения каждого десятого числа.
Уложив в ящик однозначные числа от 1 до 9, мы затем извлекаем из ящика единицу и вместо нее укладываем
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
То есть вместо единицы имеем десять двузначных чисел, старшая цифра у которых - единица.
Вместо двойки мы положим 20-29.
И так далее...
Вынув последнее из изначальных однозначных чисел,
имеем в ящике ВСЕ двузначные от 10 до 99.
Теперь выгрузим из ящика все двухзначные и загрузим вместо них все трехзначные.
И.т.д..

Добавлено спустя 4 минуты 17 секунд:

Someone в сообщении #134875 писал(а):

У Вас есть следующие варианты:

Вариант 2. Я не собираюсь создавать аксиоматику бесконечно больших величин, к тому же я нашел у Литтлвуда другую нестыковку, о чем с удовольствием поведаю ученому сообществу.

Добавлено спустя 4 минуты 20 секунд:

ewert в сообщении #134810 писал(а):

Так чему конкретно он равен?

Он конкретно расходится...

Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд:

ewert в сообщении #134810 писал(а):

Так, Вы уже близки к успеху. Осталось назвать, чему равно dx. Ну, смелее!

dx=0,(0)

Добавлено спустя 3 минуты 14 секунд:

Narn в сообщении #134802 писал(а):

0.(9) = 1.(0)=1. По определению. Поэтому Ваш момент - это ровно полдень.

Несомненно, но именно между 0,(9) и 1, а также между 1 и 1,(0) размещается бесконечное множество бесконечно малых величин.

[ewert]

Лукомор писал(а):

ewert в сообщении #134810 писал(а):

Так чему конкретно он равен?

Он конкретно расходится...

Точно? В таком случае никогда больше не пишите таких рядов!

Лукомор писал(а):

dx=0,(0)

Ах, какая досада: ${29\over385}-0,(0)={29\over385}$. Ну ничего, попытайтесь ещё разок.

[Лукомор]

"Множество шаров которые останутся в ящике в полдень является подмножеством множества всех шаров (пронумрованных натуральными числами). Но при этом для любого шара верно, что до наступления полудня он успеет оказаться в ящике и быть вынутым. Иными словами для любого шара верно, что он не будет содержаться в ящике в полдень."
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Это утверждение одного из участников обсуждения.
Его необходимо доказать.
Пока оно не доказано, вывод об отсутствии шаров в ящике в полдень мягко говоря выглядит очень спорным.
Без доказательства это безусловно верно не для любого, а только для каждого десятого из шаров, попавших в ящик

Добавлено спустя 4 минуты 37 секунд:

ewert в сообщении #134885 писал(а):

В таком случае никогда больше не пишите таких рядов!

Обязуюсь больше никогда не писать расходящихся рядов.
/* Ушел сжигать книгу Харди "Расходящиеся ряды"*/

[PAV]

Лукомор в сообщении #134887 писал(а):

Его необходимо доказать.

Доказывается методом математической индукции.

[Лукомор]

Narn в сообщении #134802 писал(а):

Можно написать натуральное число с каким угодно (сколь угодно большим) конечным числом разрядов.

Вопрос: "Можно ли написать любое натуральное число???"

[ewert]

да, кстати, а в чём там парадокс?

Ну т.е. парадокс-то, может, и есть (в лирическом смысле). Но противоречие-то в чём? Ну не останется шаров -- и пусть себе не останется.

[PAV]

Лукомор в сообщении #134890 писал(а):

Вопрос: "Можно ли написать любое натуральное число???"

Если абстрагироваться от физических ограничений, связанных с конечным размером бумаги, чернил и т.д., то любое натуральное число можно написать. Доказывается методом математической индукции.

[ewert]

Боюсь (очень боюсь), что Лукомор имел в виду немножко другое: можно ли написать не некоторое произвольное, но конкретное число, а именно любое.

Т.е. написать так, чтоб сразу каждое число под эту запись подходило.

[PAV]

Кстати, Лукомор, ответьте, пожалуйста, на вопрос, Вы уже согласились с тем, что не существует бесконечно больших натуральных чисел (на всякий случай, предвосхищая вопрос, замечу, что это доказывается методом математической индукции)? Просто если нет, то еще раз замечу окружающим, что всякие обсуждения задачи и других вопросов бессмысленно, ибо Лукомор имеет в виду не натуральные числа, а нечто другое, придуманное им, не определенное, и он по-прежнему держит в рукаве "глокую куздру", которой может аргументировать любое несоответствие, на которое ему укажут.

[TOTAL]

Лукомор писал(а):

"Множество шаров которые останутся в ящике в полдень является подмножеством множества всех шаров (пронумрованных натуральными числами). Но при этом для любого шара верно, что до наступления полудня он успеет оказаться в ящике и быть вынутым. Иными словами для любого шара верно, что он не будет содержаться в ящике в полдень."
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Это утверждение одного из участников обсуждения.
Его необходимо доказать.
Пока оно не доказано, вывод об отсутствии шаров в ящике в полдень мягко говоря выглядит очень спорным.
Без доказательства это безусловно верно не для любого, а только для каждого десятого из шаров, попавших в ящик

Это безусловно верно для любого, кто прочитал условие.
Там даже указано время выемки шара в зависимости от его номера.