В защиту Литлвуда

[TOTAL]

Лукомор писал(а):

Someone в сообщении #134920 писал(а):

Отвечайте на поставленный вопрос

Бесконечно много.
Я бы даже сказал, что сколько шаров ни вынимай, количество шаров в ящике не уменьшится.
Их же бесконечно много!

Каждый из этой бесконечной кучи якобы оставшихся в ящике шаров не был положен в ящик. Согласны?

[bot]

Лукомор в сообщении #134924 писал(а):

Бесконечно много.

То есть множество номеров невынутых шаров непусто, так?
Для множества натуральных чисел справедлив принцип наименьшего: всякое непустое его подмножество имеет наименьший элемент.
Назовите наименьший номер невынутого шара.

[Someone]

Лукомор писал(а):

Someone в сообщении #134920 писал(а):

Отвечайте на поставленный вопрос

Бесконечно много.
Я бы даже сказал, что сколько шаров ни вынимай, количество шаров в ящике не уменьшится.
Их же бесконечно много!

Констатирую уход от ответа на чётко поставленный вопрос и нежелание вести конструктивное обсуждение.

Возможно, у Вас есть ещё некоторое время, чтобы вернуться к поставленному вопросу и ответить на него.

PAV, тему закрываем? Он эту фразу произносит не первый раз, ничего нового не скажет. Это типичный тролль.

[PAV]

Лукомор в сообщении #134917 писал(а):

Внутри ящика бесконечное множество шаров с номерами 1...9, 11,..19, 21...29, 31...39,...

Допустим на секундочку, что мы изменили условие задачи и достаем из урны только шары, номера которых заканчиваются на цифру "0". Вы утверждаете, что в полдень ящик будет не пуст. Докажите это, пожалуйста. Или докажите, пожалуйста, что множество номеров, которое я процитировал из Вашего поста, не пусто.

[Лукомор]

bot в сообщении #134926 писал(а):

Назовите наименьший номер невынутого шара.

Я могу потратить еще минуту после полудня, чтобы перенумеровать оставшиеся шары.
Тогда наименьший номер невынутого шара будет единица.

[PAV]

Someone в сообщении #134927 писал(а):

PAV, тему закрываем? Он эту фразу произносит не первый раз, ничего нового не скажет. Это типичный тролль.

Подождем еще денек. Вообще-то я бы предпочел, чтобы участники обсуждения сами выходили из дискуссии и, приходя к убеждению, что имеют дело с троллем, прекращали задавать вопросы и "кормить" его.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Лукомор в сообщении #134929 писал(а):

Я могу потратить еще минуту после полудня, чтобы перенумеровать оставшиеся шары.
Тогда наименьший номер невынутого шара будет единица.

Номера на шарах нестираемые. Любое подмножество натуральных чисел имеет наименьший элемент и без перенумерации.

[Someone]

Лукомор писал(а):

bot в сообщении #134926 писал(а):

Назовите наименьший номер невынутого шара.

Я могу потратить еще минуту после полудня, чтобы перенумеровать оставшиеся шары.
Тогда наименьший номер невынутого шара будет единица.

Не пойдёт. Номера на шарах менять нельзя. Укажите первоначальный номер шара, оставшегося в ящике.

[AGu]

Развлечения ради...

Я бы не был столь категоричен по поводу утверждения об отсутствии бесконечно больших натуральных чисел. Есть такая наука -- нестандартный анализ. В ее радикальной версии, изобретенной Э.Нельсоном в 1977 г., бесконечно большие числа (и бесконечно малые тоже) существуют на совершенно законном основании и, кстати, являются обычными числами. Все математические объекты (точнее говоря, множества) подразделяются на те, которые могут быть заданы, и те, которые не могут быть заданы. (Понятие "может быть задано" является первичным, и его свойства регламентируются аксиоматически.) Так вот, по определению бесконечно большое число -- это число, большее любого числа, могущего быть заданным.

Наличие бесконечно больших натуральных чисел не противоречит ни арифметике, ни традиционной теории множеств (коль скоро последняя непротиворечива, разумеется). Более того, всякое обычное утверждение, доказанное с привлечением объектов, не могущих быть заданными (и соответствующих аксиом), может быть доказано и без их привлечения. (На научном языке последний факт называется "консервативностью расширения теории".)

Еще раз отмечу, что бесконечно большие натуральные числа -- это тоже натуральные числа. В частности, всякое бесконечно большое натуральное число имеет десятичную запись, состоящую из конечного числа цифр. Например, упоминавшееся тут (всуе) бесконечно большое число $111\dots1$ составлено хоть и из бесконечно большого, но все же конечного числа единиц.

Возвращаясь к Литлвуду...

Всякое бесконечно большое натуральное число добавляется в ящик в момент времени, бесконечно близкий к полудню. "Беда" в том, что до полудня каждое из них тоже будет вынуто из ящика -- в момент, еще более близкий к полудню. Если же считать, что бесконечно близкие к полудню моменты времени "недостижимы" и рассмотрению не подлежат, то бесконечно большие натуральные числа из ящика выниматься не будут. Впрочем, попадать в него они тоже не будут.

А "парадокс", на мой взгляд, раскрывается очень просто (и подобные соображения были неоднократно высказаны). Если $A(t)$ -- множество чисел, находящихся в ящике в момент $t$, $|A(t)|$ -- число элементов множества $A(t)$, $t_n$ -- ключевые моменты времени в игре и $t_0$ -- полдень, то при $n\to\infty$ мы имеем $t_n\to t_0$, $A(t_n)\to\varnothing$ (здесь имеется в виду традиционный теоретико-множественный предел) и $|A(t_n)|\to\infty$. "Парадокс" возникает при попытке "адекватного" определения значения $A(t_0)$. Поскольку $A(t_n)\to\varnothing$, естественное желание сделать функцию $A(t)$ непрерывной (на множестве $\{t_1,t_2,\dots\}\cup\{t_0\}$) побуждает считать, что $A(t_0)=\varnothing$. В этом случае $A(t_n)\to A(t_0)$, что приятно. С другой стороны, $|A(t_0)|=|\varnothing|=0\ne\infty$, но $|A(t_n)|\to\infty$, а значит, $|A(t_n)|$ не стремится к $|A(t_0)|$, что неприятно. Коль скоро $|A(t_n)|\to\infty$, естественное желание сделать функцию $|A(t)|$ непрерывной побуждает считать, что $|A(t_0)|=\infty$, но тогда $A(t_n)$ не будет стремиться к $A(t_0)$, что вновь неприятно. Таким образом, зайцы разбегаются: как ни определяй $A(t_0)$, одна из функций $A(t)$ или $|A(t)|$ получается разрывной в $t_0$. Таков уж этот жестокий мир, чем-то приходится жертвовать. Если бы меня заставили выбирать, я бы, наверное, пожертвовал непрерывностью $|A(t)|$ и положил $A(t_0)=\varnothing$, но это -- вопрос вкуса.

[ewert]

Someone писал(а):

Констатирую уход от ответа на чётко поставленный вопрос и нежелание вести конструктивное обсуждение.

Я тут перечитал тему с момента появления Лукомор'а.

Он не уходит от ответа. Он искренне считает, что из монотонного увеличения количества элементов следует бесконечный объём "предельного" множества.

Т.е. что будто бы мощность предельного множества равна пределу мощностей.

[Someone]

PAV в сообщении #134930 писал(а):

Подождем еще денек. Вообще-то я бы предпочел, чтобы участники обсуждения сами выходили из дискуссии и, приходя к убеждению, что имеют дело с троллем, прекращали задавать вопросы и "кормить" его.

Может быть, и так, но подобных персонажей нужно ставить в жёсткие рамки, чтобы лишить возможности бесконечных увиливаний от разговора по существу. Никаких мер, кроме угрозы блокирования обсуждения, я не вижу.

Добавлено спустя 2 минуты 17 секунд:

AGu в сообщении #134932 писал(а):

Я бы не был столь категоричен по поводу утверждения об отсутствии бесконечно больших натуральных чисел. Есть такая наука -- нестандартный анализ.

Вы правы, но к обсуждаемой задаче это имеет отдалённое отношение.

[PAV]

AGu в сообщении #134932 писал(а):

Я бы не был столь категоричен по поводу утверждения об отсутствии бесконечно больших натуральных чисел. Есть такая наука -- нестандартный анализ.

AGu, это всем известно. Но мы обсуждаем задачу, в которой используются классические натуральные числа, удовлетворяющие аксиомам Пеано. Не уводите разговор в сторону.

Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд:

ewert в сообщении #134933 писал(а):

Он искренне считает, что из монотонного увеличения количества элементов следует бесконечный объём "предельного" множества.

Т.е. что будто бы мощность предельного множества равна пределу мощностей.

Лукомор, это так? Подобные утверждения неверны.

[Лукомор]

PAV в сообщении #134928 писал(а):

Допустим на секундочку, что мы изменили условие задачи и достаем из урны только шары, номера которых заканчиваются на цифру "0". Вы утверждаете, что в полдень ящик будет не пуст. Докажите это, пожалуйста. Или докажите, пожалуйста, что множество номеров, которое я процитировал из Вашего поста, не пусто.

Где уж мне!
Я даже не могу доказать, что пусто множество всех нечетных чисел.
А ведь после вычеркивания всех четных в натуральном ряду ничего не должно остаться, если я правильно понял Вас и Литлвуда.

[Someone]

AGu в сообщении #134932 писал(а):

это -- вопрос вкуса

Ни в малейшей степени. В противном случае Вам придётся указать конкретный номер шара, оставшегося в ящике.

[AGu]

PAV писал(а):

AGu, это всем известно. Но мы обсуждаем задачу, в которой используются классические натуральные числа, удовлетворяющие аксиомам Пеано. Не уводите разговор в сторону.

Хмм... Откровенно говоря, я как раз старался "утрясти" основные спорные моменты, возникшие в этой забавной дискуссии -- и по поводу бесконечно больших чисел, и по поводу классического "парадокса". Извините, если помешал развлечению.

[Лукомор]

PAV в сообщении #134935 писал(а):

Лукомор, это так?

Не совсем так.
Просто я считаю, что мощность любого бесконечного подмножества некоторого конкретного бесконечного множества равна мощности этого множества.
Извините, если что не так...