счетность множества действительных чисел

[Narn]

Sla_sh писал(а):

И вот у меня вопрос ещё возник. Множество рациональных чисел, как известно, является счетным. Если мы возьмем доказательство Колмогорова и вместо того, чтобы доказывать, что множество действительных чисел, заключенных между 0 и 1 несчетно, докажем, что множество рациональных чисел несчетно.

То есть, четко по тексту: Предположим, что дано какое-то счетное множество РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел........

И, по вашей логике, поскольку множество является счетным, то построенное диагональной процедурой Кантора число должно в нем содержаться. Или оно в таком случае будет иррационально? Или как?

Ну и вообще, более глобально. Можно ли быть уверенным, что для любого счетного множества чисел, представимых в том виде, в котором они представляются Колмогоровым мы не сможем построить диагональной процедурой Кантора число, которое не будет содержаться в этом множестве? Для примера можно рассмотреть множество целых или четных чисел...

Разумеется, оно будет иррациональным. Хотя вопрос интересен (по сравнению с остальными в этом топике). Можно использовать как контрольный. А с целыми и четными числами - каким образом Вы намерены к ним применять метод Кантора, позвольте осведомиться?

Вообще-то я не намерен участвовать в этой дискуссии, тут не удержался, несмотря на советы умных людей. Позвольте дать совет: не читайте пока никаких Хаусдорфов, возьмите книжку П.С. Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" (Вам нужны первые 2-3 главы, кажется) и решайте задачи по теории множеств, например, из Очана, Сборник задач по ТФДП. До таких вещей лучше доходить самому, "медитируя" над ними.

[MaximKat]

Sla_sh писал(а):

Так в моем "алгоритме" множество фиксированно или нет?

да

Sla_sh писал(а):

Или оно в таком случае будет иррационально?

да

Sla_sh писал(а):

Можно ли быть уверенным, что для любого счетного множества чисел, представимых в том виде, в котором они представляются Колмогоровым мы не сможем построить диагональной процедурой Кантора число, которое не будет содержаться в этом множестве?

Наоборот. Можно быть уверенным, что сможем

Sla_sh писал(а):

Для примера можно рассмотреть множество целых или четных чисел...

Не выйдет. В целых числах конечное число знаков. Опять проблема с несовпадением мощностей

[Brukvalub]

Sla_sh писал(а):

И вот у меня вопрос ещё возник. Множество рациональных чисел, как известно, является счетным. Если мы возьмем доказательство Колмогорова и вместо того, чтобы доказывать, что множество действительных чисел, заключенных между 0 и 1 несчетно, докажем, что множество рациональных чисел несчетно.

То есть, четко по тексту: Предположим, что дано какое-то счетное множество РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел........

Sla_sh писал(а):

Ну и вообще, более глобально. Можно ли быть уверенным, что для любого счетного множества чисел, представимых в том виде, в котором они представляются Колмогоровым мы не сможем построить диагональной процедурой Кантора число, которое не будет содержаться в этом множестве? Для примера можно рассмотреть множество целых или четных чисел...

Вот так тролль раз за разом поворачивает дискуссию к ее началу, накручивая счетчик страниц давно уже ставшего бессмысленным обсуждения. Но даже тролль хорошо понимает, что после моих разоблачений и разоблачений других участников форума (я видел в этой ветке упоминания о тролле еще. как минимум. 4-х других участников), его поведение вызывает все больше подозрений, поэтому чуть ниже в игру включается второе лицо этого тролля (см. конец стр. 9).

Sla_sh писал(а):

Да чего вы ко мне пристали? Пожалуйста, перестаньте флудить. Я думаю, вы достаточно шума здесь развели, чтобы окружающие поняли, что вы считаете меня троллем.

Поэтому перестаньте, пожалуйста, это делать - я все ещё хочу докопаться до истины.

Теперь ясно видно, что тролль как никогда близок к провалу, и одной из его главных задач становится задача заткнуть мне клавиатуру. Так вот, разоблачать тролля я не перестану, потому что я НЕНАВИЖУ троллей и иных манипуляторов человеческим сознанием.

[Sla_sh]

Я, кажется, понял. Дело все в том, что в доказательстве Колмогорова мы составляем исходное счетное множество действительных чисел. Однако Колмогоров не указал каким именно образом можно определить, принадлежит ли какое-то конкретное число исходному множеству.

И идея его в том, что независимо от того, каким образом мы строим счетное множество действительных чисел, всегда можно будет найти такое действительное число, которое не будет принадлежать исходному. А затем приводит один из возможных вариантов построения числа.

Правильно ли я понял?

TOTAL писал(а):

Первый шаг к истине - это понять, почему Вас не могут отличить от Тролля.

Вероятно, потому что я неделю назад узнал о понятии "счетность" множества. И потому что изучением или применением математики не занимался уже 4,5 года.
Поэтому очевидные для матерых математиков вещи кажутся мне не понятными.
Вот они и начинают выдумывать всякую чушь.

Цитата:

Вернемся к "истокам". Надеюсь, вы, наконец-то, поняли, что ваша
попытка пронумеровать множество действительных чисел т. сказать "в лоб", по ходу их построения, не приведет ни к каким результатам?
Предложенный вами "алгоритм" способен лишь создать иллюзию счетности:
словами "и так далее" не заменишь конкретную процедуру выбора следующего по порядку действительного числа! Тем более, что перебор бесконечного числа комбинаций принципиально не может завершиться "последним" шагом. Метод доказ-ва от противного в данном случае более перспективен, поскольку для подтверждения несчетности достаточно найти всего лишь один объект, не вошедший в список.

дада, это все ясно.

Цитата:

Теперь мы можем спокойно обсудить как это сделано в "диагональной процедуре" Кантора.

А что тут обсуждать-то? Как оно сделано ясно.
Вот только ж вы сами говорили, что в итоге после того, как мы построили число, может оказаться, что точно такое же число можно строить с помощью алгоритма, по которому мы строили исходную последовательность.

Вот, например, пусть исходное множество (не являясь счетным) содержит все действительные числа на промежутке (0;1), представимые в том же виде, что и в доказательстве колмогорова.
То есть, 0,а1а2а3а4....аn....

Сортируем все эти числа случайным образом и затем строим число диагональной процедурой Кантора. Это число будет содержаться в исходном множестве?

Narm писал(а):

А с целыми и четными числами - каким образом Вы намерены к ним применять метод Кантора, позвольте осведомиться?

А вот точно также, как выше с действительными.
Берем множество всех целых чисел, представляем каждое из них в виде а1а2а3а4....
Сортируем их каким-то образом, например, случайным, а затем применяем диагональную процедуру Кантора

[Brukvalub]

Sla_sh писал(а):

Я, кажется, понял. Дело все в том, что в доказательстве Колмогорова мы составляем исходное счетное множество действительных чисел. Однако Колмогоров не указал каким именно образом можно определить, принадлежит ли какое-то конкретное число исходному множеству.

Вот тут тролль говорит, что все понял, это чтобы нам казалось, что дискуссия движется Но сразу вслед за этим, чтобы и дальше "мотать счетчик", он пишет:

Sla_sh писал(а):

Вот только ж вы сами говорили, что в итоге после того, как мы построили число, может оказаться, что точно такое же число можно строить с помощью алгоритма, по которому мы строили исходную последовательность.

Вот, например, пусть исходное множество (не являясь счетным) содержит все действительные числа на промежутке (0;1), представимые в том же виде, что и в доказательстве колмогорова.
То есть, 0,а1а2а3а4....аn....

Сортируем все эти числа случайным образом и затем строим число диагональной процедурой Кантора. Это число будет содержаться в исходном множестве?

Вот и опять дискуссия повернута к истокам, можно быть уверенным, что тотчас найдется собеседник, готовый развеять это "искреннее непонимание"
И тогда, как пел Фредди Мерькьюри : "Шоу должно продолжаться"

[Captious]

Sla_sh писал(а):

Вот только ж вы сами говорили, что в итоге после того, как мы построили число, может оказаться, что точно такое же число можно строить с помощью алгоритма, по которому мы строили исходную последовательность.

Разве я так говорил? В известном вам доказ-ве просто делают предположение о том, что ВСЕ действительные числа уже получили свои номера. Иначе говоря, между ними и элементами множ-ва натуральных чисел установлено 1-1 соответствие.
Тут даже речи нет об "алгоритме", с помощью которого это соответствие установлено, мы также ничего не знаем о том, какой конкретно номер получило то или иное действительное число. Перед нами т. сказать список из бесконечного числа бесконечных десятич-х дробей, т.е. символов, представляющих действительные числа. А вот уже при построении "нового" числа применяют соответствующий алгоритм, то бишь, "диагональную процедуру" Кантора.

Sla_sh писал(а):

пусть исходное множество (не являясь счетным) содержит все действительные числа на промежутке (0;1), представимые в том же виде, что и в доказательстве Колмогорова.
То есть, 0,а1а2а3а4....аn....
Сортируем все эти числа случайным образом и затем строим число диагональной процедурой Кантора. Это число будет содержаться в исходном множестве?

Не понимаю: зачем нужно ещё дополнительно сортировать? И как можно "рассортировать" бесконечное множ-во?!. В док-ве поступают не так: просматривают все дроби по порядку их следования в списке и одновременно "по диагонали" просматривают разряды бесконечной дроби.
Действительные числа уже рассортированы : каждое число
получило свой номер и разные числа имеют разные имена(=номера)...
"Нормальные" математики считают, что таким образом они строят число, не входящее в список, "ненормальные" - обращают их внимание на то, что из самого строения бесконеч-х десятичных дробей следует, что вместо построения "нового" числа идет простое продвижение "вдоль" уже существующего списка чисел...

[Brukvalub]

Вот, вполне логичный ход. Самое время переключить внимание на вторую часть тролля, которая подбросит дров в начавший затихать огонек дискуссии.
Что только что и было проделано.
Продолжаю комментировать действие тролля.

[MaximKat]

Sla_sh писал(а):

Правильно ли я понял?

да!

Sla_sh писал(а):

Вот, например, пусть исходное множество (не являясь счетным) содержит все действительные числа на промежутке (0;1), представимые в том же виде, что и в доказательстве колмогорова.
То есть, 0,а1а2а3а4....аn....
Сортируем все эти числа случайным образом и затем строим число диагональной процедурой Кантора. Это число будет содержаться в исходном множестве?

Если множество несчетное, то пронумеровать ВСЕ числа нельзя. А в процедуре диагонализации принципиально, что при построении нового числа используются ВСЕ числа исходного множества (если какое-то число неиспользуется, то новое может с ним совпадать)

Sla_sh писал(а):

Берем множество всех целых чисел, представляем каждое из них в виде а1а2а3а4....

Не выйдет. Бесконечного числа цифр нету.

[Someone]

Captious писал(а):

"Нормальные" математики считают, что таким образом они строят число, не входящее в список, "ненормальные" - обращают их внимание на то, что из самого строения бесконеч-х десятичных дробей следует, что вместо построения "нового" числа идет простое продвижение "вдоль" уже существующего списка чисел...

Продолжаете повторять свой идиотизм. Между тем, поставленные вопросы ждут Вашего ответа. В том числе и о "следующем шаге в бесконечность".

Отсутствие ответов будем рассматривать как признание несостоятельности нашего любимого тролля.

[AD]

Sla_shу и всем будущим участникам,
мегаконструктивное предложение.

Когда действительно хотите в чем-то разобраться - пишите в раздел "помогите решить/разобраться". Смирение вознаградится.

[Jnrty]

Jnrty:

Captious и Sla_sh! Обращаю Ваше внимание на то, что Вы слишком долго толчёте воду в ступе, постоянно возвращаясь к одному и тому же. У меня терпение уже на исходе. Если по-прежнему один из Вас будет играть роль дурачка, не способного понять очень простое рассуждение, а другой, напротив, изображать из себя непризнанного супергения, которому все математики мира за последнее столетие и в подмётки не годятся, и при этом повторять одни и те же глупости, обещая некое таинственное "супердоказательство" в неопределённом будущем, то тема будет закрыта. 10 страниц на столь элементарную теорему более чем достаточно. Тем более, что вас обоих всерьёз воспринимать уже практически невозможно.

[Sla_sh]

Смотрите в чем дело. Я думаю, сейчас всем станет ясно, что именно не ясно мне.

Я понял доказательство Колмогорова для конечных множеств. То есть, если у нас в исходном множестве конечное число элементов, скажем, 10, то мы за конечное число операций (опять же 10) можем с помощью диагональной процедуры Кантора построить число.
Что потом? А потом хотелось бы проверить, входит ли это число в исходное множество. Что мы делаем? Сравниваем полученное число с каждым из чисел в исходном множестве. За 10 операций сравнения убеждаемся, что действительно число в исходное множество не входит.

А как дело обстоит, если множество бесконечно? Число мы физически построить не можем, ибо оно также бесконечно. А даже если бы построили, то не сможем проверить, действительно ли оно отсутствует в исходном множестве.

То есть, я понимаю, что по логике его построения оно отсутствует. Но не понимаю как так может быть. Ведь мы же считаем, что множество содержит ВСЕ действительные числа. Как же так может быть, что какое-то новое построенное число в нем не содержится?

В общем, вопрос в том, можно ли как-то проверить тот факт, что построенное диагональной процедурой Кантора число не содержится в исходном множестве с бесконечным количеством элементов?

Narn писал(а):

Вообще-то я не намерен участвовать в этой дискуссии, тут не удержался, несмотря на советы умных людей. Позвольте дать совет: не читайте пока никаких Хаусдорфов, возьмите книжку П.С. Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" (Вам нужны первые 2-3 главы, кажется) и решайте задачи по теории множеств, например, из Очана, Сборник задач по ТФДП. До таких вещей лучше доходить самому, "медитируя" над ними.

Спасибо большое за совет) Я примерно к такому выводу и прихожу, что тут помедитировать надо самому над этими множествами, а-то слишком много нервных людей на этом форуме)

Captious писал(а):

"Нормальные" математики считают, что таким образом они строят число, не входящее в список, "ненормальные" - обращают их внимание на то, что из самого строения бесконеч-х десятичных дробей следует, что вместо построения "нового" числа идет простое продвижение "вдоль" уже существующего списка чисел... Wink

Так что же, по-вашему, и Колмогоров не нормальный математик? )

MaximKat писал(а):

Sla_sh писал(а):

Вот, например, пусть исходное множество (не являясь счетным) содержит все действительные числа на промежутке (0;1), представимые в том же виде, что и в доказательстве колмогорова.
То есть, 0,а1а2а3а4....аn....
Сортируем все эти числа случайным образом и затем строим число диагональной процедурой Кантора. Это число будет содержаться в исходном множестве?

Если множество несчетное, то пронумеровать ВСЕ числа нельзя. А в процедуре диагонализации принципиально, что при построении нового числа используются ВСЕ числа исходного множества (если какое-то число неиспользуется, то новое может с ним совпадать)

Хорошо. А зачем нам их нумеровать? Давайте просто брать следующее случайное число. И будем выбирать на каждом следующем шаге новое число, пока не переберем все числа множества.

MaximKat писал(а):

Sla_sh писал(а):

Берем множество всех целых чисел, представляем каждое из них в виде а1а2а3а4....

Не выйдет. Бесконечного числа цифр нету.

В смысле? Вы разряды имеете в виду?

AD писал(а):

Когда действительно хотите в чем-то разобраться - пишите в раздел "помогите решить/разобраться". Смирение вознаградится.

Согласен.

Jnrty писал(а):

Captious и Sla_sh! Обращаю Ваше внимание на то, что Вы слишком долго толчёте воду в ступе, постоянно возвращаясь к одному и тому же. У меня терпение уже на исходе. Если по-прежнему один из Вас будет играть роль дурачка, не способного понять очень простое рассуждение, а другой, напротив, изображать из себя непризнанного супергения, которому все математики мира за последнее столетие и в подмётки не годятся, и при этом повторять одни и те же глупости, обещая некое таинственное "супердоказательство" в неопределённом будущем, то тема будет закрыта. 10 страниц на столь элементарную теорему более чем достаточно. Тем более, что вас обоих всерьёз воспринимать уже практически невозможно.

Очень вас прошу, дайте мне пожалуйста более конструктивный совет. Потому что ваш совет я воспринимаю как "осознайте, что вы дурак и перестаньте сюда писать".
Вы вот говорите, что я воду в ступе толку. А за 10 страниц я разобрался с тем, что множество действительных чисел не является счетным и понял доказательство Колмогорова для конечного исходного множества. Даст бог, ещё один штрих и пойму уже и для бесконечного.
Ну а попросту говоря, обидно как-то. Просишь помощи, а тебе в ответ "дурак", "тролль"...да ещё и модератор такое говорит...

PAV:

[TOTAL]

Sla_sh писал(а):

Смотрите в чем дело. Я думаю, сейчас всем станет ясно, что именно не ясно мне.

Всем давно ясно, что именно Вам не ясно. Каких действий Вы ожидаете от всех в условиях такой ясности?

[Brukvalub]

Sla_sh в сообщении #134641 писал(а):

Я понял доказательство Колмогорова для конечных множеств.

Ну вот, тролль опять сделал "существенный шаг вперед" в понимании теоремы. Разве смогут после этого "добрые самаритяне" бросить объяснять троллю дальнейшие детали доказательства? Да ни за что.
Одна промашка у тролля, правда, видна. Затягивание обсуждения было бы более эффективным, если бы тролль заявил, что он понял док-во Колмогорова, скажем, для всех конечных множеств мощности не более, чем в 100 элементов (а еще лучше - не более, чем в 10 элементов). Тогда можно было бы еще стр. 10 просто продвигаться по возрастанию мощности конечных множеств.
Но тролли - это почти люди, поэтому им свойственно ошибаться.
Но в главном тролль никогда не ошибается. И вот оно - главное:
Сначала тролль опять признает свои ошибки:

Sla_sh в сообщении #134641 писал(а):

Спасибо большое за совет) Я примерно к такому выводу и прихожу, что тут помедитировать надо самому над этими множествами, а-то слишком много нервных людей на этом форуме)

И тут же, чтобы не прервать "времен связующую нить", снова закидывает вопросик, уводящий обсуждение в сторону:

Sla_sh в сообщении #134641 писал(а):

Хорошо. А зачем нам их нумеровать? Давайте просто брать следующее случайное число. И будем выбирать на каждом следующем шаге новое число, пока не переберем все числа множества.

Вот дискуссия снова вернулась к своему началу.
Посмотрим, что будет дальше....

[AD]

Еще что-ли скормлю пару килобайт ...

Sla_sh писал(а):

Я понял доказательство Колмогорова для конечных множеств.

Ну вы прям телепат ... я его даже не видел, и не уверен, что он когда-то его проделывал. Доказательство, я имею ввиду. Хотя Колмогорова тоже не видел.

Sla_sh писал(а):

А как дело обстоит, если множество бесконечно? Число мы физически построить не можем, ибо оно также бесконечно. А даже если бы построили, то не сможем проверить, действительно ли оно отсутствует в исходном множестве.

Я не знаю, что такое "построить". Но доказать существование мы можем элементарно, ибо из любой последовательности нулей, единиц, итд, девяток можно сделать действительное число, а все члены последовательности вычисляются один за другим предложенным в доказательстве способом.

Sla_sh писал(а):

То есть, я понимаю, что по логике его построения оно отсутствует. Но не понимаю как так может быть. Ведь мы же считаем, что множество содержит ВСЕ действительные числа. Как же так может быть, что какое-то новое построенное число в нем не содержится?

А потому что не надо предполагать всякие глупости, типа что действительных чисел счётно. На этот ваш вопрос мы все уже еще раньше хором ответили. Это и есть искомое противоречие.

Добавлено спустя 5 минут 26 секунд:

Brukvalub писал(а):

Одна промашка у тролля, правда, видна.

Ня, вообще, вялый тролль какой-то.

Sla_sh писал(а):

Давайте просто брать следующее случайное число. И будем выбирать на каждом следующем шаге новое число, пока не переберем все числа множества.

Ну а если вы переберете-таки все числа множества, то в конце у вас получится список: на первом шаге вы взяли такое-то число, на втором - такое-то, ... А как только вы его покажете мне или опубликуете в газете, то я сразу назову вам число, которого в нём нету. И наступит облом. Вывод ("закон постоянства состава"): неполнота списка не зависит от способа его построения.

Добавлено спустя 3 минуты 59 секунд:

Sla_sh, а, может, вы дальше КФ своего почитаете? Там много полезных вещей. Например, про теорему Бэра, или там про меру Лебега. Ну, числовая прямая является полным метрическим пространством, в котором точка является нигде не плотным множеством, следовательно, оно не может быть счетным объединением точек, то есть счетным множеством. Ну у счетных множеств мера Лебега патологически равна нулю, а у отрезка [0,1] - единице.