Очередная шаурма с неопределенным интегралом

[Otta]

gefest_md в сообщении #1333530 писал(а):

её первообразную

Откуда это слово, когда понятие не определено.
Или Вы его уже определили?
Но скажите же, что тогда Вы делаете половину страницы ниже?

[Dan B-Yallay]

Я думал, шаурма была в начале темы. А настоящая-то шаверма только началась.

[gefest_md]

Otta в сообщении #1333531 писал(а):

Откуда это слово, когда понятие не определено.
Или Вы его уже определили?
Но скажите же, что тогда Вы делаете половину страницы ниже?

Взял обычное определение первообразной. После этого определения в учебнике определяется неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл видится как какое-то отношение типа «одна функция - много функций». Я попытался превратить такое отношение в биективное отображение.

[Otta]

Ясно.

gefest_md в сообщении #1333527 писал(а):

Тогда функция $g_0(x)=\frac{1}{2}x^2+1$ принадлежит множеству $A,$

Не принадлежит, поскольку это множество - множество подмножеств плоскости, по данному Вами (некорректному) определению, а функция подмножеством плоскости не является.

Не надо вот это все, пожалуйста, это же просто невозможно видеть. Остановитесь на определении, данном в первом посте этой темы. Вам его стало не хватать?

[gefest_md]

Otta в сообщении #1333536 писал(а):

Не принадлежит, поскольку это множество - множество подмножеств плоскости, по данному Вами (некорректному) определению, а функция подмножеством плоскости не является.

В моем посте, где определены множества $A$ и $B$ я, чтобы не загромождать символьную запись, уточнил отдельно в тексте, что они содержат именно функции.

[Otta]

Именно функции, которые являются подмножествами плоскости? Спасибо, Вы внесли большую ясность.

[Munin]

Подтема перенесена из темы «Корень vs. степень: область определения»

Free_Student
А $\displaystyle \int\sqrt[3]{x^{-2}}dx,$ или тем паче $\displaystyle \int\sqrt[3]{x^{-5}}dx,$ вас не удивляли?

[Free_Student]

Munin, в этих интегралах разве что исключить ноль потребуется, если вы это имеете в виду. Ну, и, опять-таки, сделать корректное обоснование перехода от корню к степени. Вообще, удивляет меня много что, но это уже оффтоп :)

(Оффтоп)

Например, когда при нахождении области сходимости функциональных рядов рассматривают предел $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|}$, не удосуживаясь отдельно рассмотреть значения переменной, при которых $u_n(x)=0$.

[Munin]

Free_Student в сообщении #1375524 писал(а):

Munin, в этих интегралах разве что исключить ноль потребуется, если вы это имеете в виду.

Тщательне́й надо, товарищи!

[Free_Student]

Munin, в каком смысле? :) А что с этими интегралами ещё не так?

[Munin]

$\displaystyle \int\sqrt[3]{x^{-5}}dx=\begin{cases}-^3\!/\!_2\,x\sqrt[3]{x^{-5}}+C_1,&x>0 \\ -^3\!/\!_2\,x\sqrt[3]{x^{-5}}+C_2,&x<0,\end{cases}\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.$

[Free_Student]

Munin, я так понимаю, что вы имеете в виду необходимость рассмотрения на интервалах, что непосредственно следует из определения неопределённого интеграла - я по Кудрявцеву работал, там в качестве множества Е, на котором определён интеграл, а определении указывался отрезок, интервал или полуинтервал. Если я вас верно понял (а я тугодум, прошу извинить :) ), то вы указываете именно на это. Кудрявцев тоже писал об этом для интеграла $\int\frac{dx}{x^2}$, но я, кажется, не обратил на эту ремарку должного внимания, - мол, все понятно, и стал читать далее :(

В литературе мне иногда попадались примеры именно с таким строгим обоснованием, но редко. Если память не изменяет, то в Антидемидовиче было похожее. Но массово этой строгости нет - пересмотрел сейчас несколько решебников.

Можно ли записанный вами результат представить в такой форме?

$\int\sqrt[3]{x^{-5}}dx=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^{-2}}+C$, где х принадлежит любому множеству Е, не включающему ноль.

[Munin]

Наверное, на строгом языке именно так. Но я подразумевал то, что можно понять "на пальцах": два куска первообразной никак между собой не сшиты, и поэтому могут иметь различные константы интегрирования, а всё множество первообразных оказывается параметризованным двумя действительными числами.

[bot]

Munin в сообщении #1375581 писал(а):

два куска первообразной никак между собой не сшиты

Вообще-то первообразная определяется для промежутка. Кому нужны не сшитые куски?

Free_Student в сообщении #1375577 писал(а):

$\int\sqrt[3]{x^{-5}}dx=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^{-2}}+C$, где х принадлежит любому множеству Е, не включающему ноль.

Я бы сказал - для любого промежутка, не содержащего ноль.

[Munin]

Free_Student в сообщении #1375577 писал(а):

Можно ли записанный вами результат представить в такой форме?

$\int\sqrt[3]{x^{-5}}dx=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^{-2}}+C$, где х принадлежит любому множеству Е, не включающему ноль.

Без поясняющих комментариев это всё равно непонятно. А моя формула, надеюсь, понятна.

-- 13.02.2019 11:39:57 --

bot в сообщении #1375725 писал(а):

Кому нужны не сшитые куски?

Я не сказал, что они кому-то нужны. Но когда пытаются записать их единой формулой, как раз получаются куски, не сшитые, но магическим образом связанные.