2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение13.02.2019, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70581
bot в сообщении #1375725 писал(а):
Вообще-то первообразная определяется для промежутка. Кому нужны не сшитые куски?

И P. S.

Конечно, не сшитые куски никому не нужны. Но это первая ласточка (может быть, даже нулевая) того явления в высших размерностях, когда нет несшитых кусков, а есть область с топологическими особенностями. Например, решая задачу
$$\operatorname{div}\vec{v}=0,\quad\operatorname{rot}\vec{v}=0,\qquad\vec{r}\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\},$$ мы имеем решение
$$\vec{v}=C\operatorname{grad}\varphi,\quad C\in\mathbb{R},$$ которое не только вполне "на одном куске", но и является довольно важным слагаемым для решения любых подобных задач на проколотой области. А если проколов несколько - то и слагаемых столько же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение13.02.2019, 15:06 


20/09/18
15
bot в сообщении #1375725 писал(а):
Я бы сказал - для любого промежутка, не содержащего ноль.


Ну, я в исходном сообщении говорил о множестве E из определения, данного в первом томе (1973 г) Кудрявцевым - он в определении как раз и пишет о промежутке Е (отрезок, интервал или полуинтервал). Так что да, именно промежутка, не содержащего ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение13.02.2019, 19:18 
Аватара пользователя


13/08/13
3741
Munin в сообщении #1375772 писал(а):
Конечно, не сшитые куски никому не нужны. Но это первая ласточка (может быть, даже нулевая) того явления в высших размерностях, когда нет несшитых кусков, а есть область с топологическими особенностями. Например, решая задачу
$$\operatorname{div}\vec{v}=0,\quad\operatorname{rot}\vec{v}=0,\qquad\vec{r}\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\},$$ мы имеем решение
$$\vec{v}=C\operatorname{grad}\varphi,\quad C\in\mathbb{R},$$ которое не только вполне "на одном куске", но и является довольно важным слагаемым для решения любых подобных задач на проколотой области. А если проколов несколько - то и слагаемых столько же.

Дивергенция от градиента не равна нулю. Хотя вы наверное написали общий вид решения :-)
Тогда может надо прибавлять константу? Ведь если я понял вашу идею, поле скоростей можно представить как градиент скалярной функции в области, не содержащей точку ноль. А если мы рассматриваем всю область, то нам надо ее разбить на связное множество, там ввести функцию градиента, и на границе сшить решения, просто прибавив константу. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение13.02.2019, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70581
Sicker в сообщении #1375844 писал(а):
Дивергенция от градиента не равна нулю.

$\varphi$ - угловая координата на плоскости, $\varphi=\arctg_2\dfrac{y}{x}.$ Думал, это очевидно.

Да, и разумеется, всё это с точностью до гармонического слагаемого, фиксируемого условиями на бесконечности. Приведено решение, для которого $v_n=0$ на любой окружности с центром в нуле. Всё остальное не связано именно с выколотой точкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение14.02.2019, 17:18 


19/04/11
69
Хорошо, что увидел эту тему :) У Кудрявцева написано, что неопределённый интеграл - есть множество первообразных, т.е. $\int{f(x)}dx=\left\{F(x)+C\right\}$. Однако это определение приводит, в моём случае, к недопониманию. Например, $\int{x}dx=\left\{\frac{x^2}{2}+C_1\right\}$. Если равенство $\int\left(f_1(x)+f_2(x)\right)dx=\int{f_1(x)}dx+\int{f_2(x)}dx$ понимать как равенство между множествами, то с учётом $\int\left(x+x\right)dx=\int{x}dx+\int{x}dx$ и $\int{2x}dx=\left\{x^2+C_2\right\}$, получим:

$$
\left\{x^2+C_2\right\}=\left\{\frac{x^2}{2}+C_1\right\}\cup\left\{\frac{x^2}{2}+C_1\right\}=\left\{\frac{x^2}{2}+C_1\right\}.
$$

Полученное равенство явно некорректно. С другой стороны, Фихтенгольц пишет, что равенства подобного типа (с интегралами в левой и правой частях) понимаются в том смысле, что разность между правой и левой частями есть постоянная, т.е., например, из равенства $\int{2x}dx=\int{2x}dx$ получим, что $\int{2x}dx-\int{2x}dx = C_0 $ . Однако если понимать интегралы как множества, то получим:

$$
\int{2x}dx-\int{2x}dx
=\left\{x^2+C_1\right\}\backslash\left\{x^2+C_2\right\}=\emptyset
$$

Таким образом, постоянная $C_0$ равна множеству, что является, как мне кажется, несколько странным. Кроме того, равенство такого вида:

$$
\int{e^x}\sin{x}dx=-e^x\cos{x}+e^x\sin{x}-\int{e^x}\sin{x}dx
$$

в правой части содержит сумму множества и функции, что тоже немного странно - как же их формально сложить?

Подскажите, пожалуйста, как строго разобраться в этом понятии неопределённого интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение14.02.2019, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3216
AlexeyM
Очевидно, знак $+$ между двумя множествами в данном случае не означает $\cup$, а знак $-$ не означает $\backslash$.
А что именно означает - догадайтесь. Очевидно, это должно как-то быть связано со сложением/вычитанием элементов этих множеств.
Такие "суммы" множеств (не в смысле объединения) встречаются и далеко не только здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение14.02.2019, 19:23 


19/04/11
69
Mikhail_K в сообщении #1376030 писал(а):
AlexeyM
Очевидно, знак $+$ между двумя множествами в данном случае не означает $\cup$, а знак $-$ не означает $\backslash$.
А что именно означает - догадайтесь. Очевидно, это должно как-то быть связано со сложением/вычитанием элементов этих множеств.
Такие "суммы" множеств (не в смысле объединения) встречаются и далеко не только здесь.


Ну, интуитивно я могу предположить, что при условии $\int{f_1(x)}dx=\left\{F_1(x)+C_1\right\}$ и $\int{f_2(x)}dx=\left\{F_2(x)+C_2\right\}$ запись $\int{f_1(x)}dx+\int{f_2(x)}dx$ означает множество функций $\left\{F_1(x)+F_2(x)+C\right\}$, т.е. сам знак "+" в отрыве от полной записи $\int{f_1(x)}dx+\int{f_2(x)}dx$ не значит ничего. Вся запись $\int{f_1(x)}dx+\int{f_2(x)}dx$ в целом означает новое множество, и знак "+" не является символом операции, а просто есть часть обозначения нового множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение14.02.2019, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3216
AlexeyM
Можно и так понимать.
А можно вот как: $A+B=\{a+b\,|\,a\in A,\,b\in B\}$; $A-B=\{a-b\,|\,a\in A,\,b\in B\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение14.02.2019, 19:29 


19/04/11
69
Mikhail_K, а как правильно? Есть ли учебник, в котором эти моменты рассматриваются строго, не оставляя подобного пространства для излишней "фантазии"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение14.02.2019, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70581
Сумма по Минковскому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение14.02.2019, 22:33 


19/04/11
69
Munin, прочёл, спасибо. Т.е., насколько я понимаю, если у меня есть равенство вида $\int{f(x)}dx=g(x)-\int{f(x)}dx$, то формально понимать его нужно так:

$$
\begin{aligned}
&\{F(x)+C_1\}=\{g(x)\}-\{F(x)+\bar{C}_2\};\\
&\{F(x)+C_1\}=\{g(x)-F(x)+C_2\}.
\end{aligned}
$$

Здесь $F(x)$ - некая первообразная функции $f(x)$. Константы я обозначил разными буквами, чтобы подчеркнуть их независимость друг от друга. Второе равенство есть равенство между множествами, т.е. любая функция, входящая в правую часть равенства, входит и в левую, и наоборот. Соответственно, для любой константы $C_1\in{R}$ существует значение константы $C_2\in{R}$, и для любого значения $C_2$ существует значение $C_1$, такое, что верно равенство:

$$
\begin{aligned}
&F(x)+C_1=g(x)-F(x)+C_2;\\
&F(x)+\frac{C_1}{2}=\frac{g(x)}{2}+\frac{C_2}{2}
\end{aligned}
$$

Так как константы пробегают всё множество действительных чисел, то имеем равенство между множествами:

$$
\{F(x)+C_1^1 \}=\left\{\frac{g(x)}{2}+C_2^1 \right\}
$$

Согласно определению интеграла, это значит, что $\int{f(x)}dx=\frac{g(x)}{2}+C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение18.03.2019, 15:38 
Заслуженный участник


11/05/08
31791
AlexeyM в сообщении #1376060 писал(а):
Константы я обозначил разными буквами, чтобы подчеркнуть их независимость друг от друга.

Напрасно. Потому что эти константы -- немые: $\{F(x)+C\}$ -- это лишь сокращённая запись для $\{F(x)+C\}_{\forall C=\mathrm{const}}$. Поэтому Вы вправе хоть помечать их индексами, хоть мягкий знак использовать, но выглядеть это будет как некоторое пижонство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение18.03.2019, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70581
Бывают ситуации типа $\{F(x)+C_1+C_2 x\}_{\forall C_1,C_2=\mathrm{const}},$ где одной буквой всё равно не обойдёшься.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная шаурма с неопределенным интегралом
Сообщение18.03.2019, 16:44 
Заслуженный участник


11/05/08
31791
Ну это всем ежам понятно: если семейство двухпараметрическое, то параметров именно два. Но два однопараметрических семейства -- не то же самое, что одно двухпараметрическое. И обозначать параметры разными буквами если и имеет смысл, то лишь по стилистическим соображениям. Типа того, что частоту как параметр не слишком хорошо обозначать буквой $C$.

Кстати, запись $\{F(x)+C_1\frac{x^2}2+C_2x+C_3\}=\{F(x)+C_1+C_2x+C_3x^2\}$ вполне почтенна. И даже если опустить здесь фигурные скобки, то греха большого тоже не будет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 89 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group