2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение28.01.2019, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362

(Оффтоп)

Есть. Как понимаю, их скрывают на страницах наднадразделов, чтобы люди не ходили туда если у них нет специальной цели. Не знаю, насколько это полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 01:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17354
Москва
project15 в сообщении #1372518 писал(а):
Эквивалентность корней и дробных степеней, на мой взгляд, серьезное преимущество.
Она нафиг не нужна. Тем более — ценой резкого сужения области применения корней. И тем более, что степени с рациональными показателями сами по себе особо и не нужны. Это, в основном, промежуточный этап для введения степеней с действительными показателями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 10:42 


24/01/19
54
Someone
project15 в сообщении #1372518 писал(а):
В конце концов все сводится к вопросу - определять ли степени с отрицательным основанием и дробным несократимым нечетным показателем? Я думаю, что не стоит. А что думаете вы?

А по этому поводу что думаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
У операции "возведение в степень" нет никаких "несократимых" или "сократимых" показателей. У неё есть два операнда: основание и показатель. И то и другое - число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17354
Москва
Вот именно. И, поскольку $\frac 35=\frac 6{10}$, то функции $x^{\frac 35}$ и $x^{\frac 6{10}}$ должны иметь одинаковые области определения, и во всей области определения должно выполняться равенство $x^{\frac 35}=x^{\frac 6{10}}$.
В то же время различие между $\sqrt[5]{x^3}$ и $\sqrt[10]{x^6}$ является вполне осмысленным. Это ещё одна причина, почему никакой "эквивалентности" между корнями и степенями нет, и не надо её хотеть.

-- Вт янв 29, 2019 13:00:37 --

project15 в сообщении #1372585 писал(а):
Someone
project15 в сообщении #1372518 писал(а):
В конце концов все сводится к вопросу - определять ли степени с отрицательным основанием и дробным несократимым нечетным показателем? Я думаю, что не стоит. А что думаете вы?

А по этому поводу что думаете?
Я думаю, что степени с рациональными показателями следует определять только для неотрицательных оснований.
Причины:
1) уже указанная выше независимость степени от формы записи показателя (определение степени через корни как раз зависит от этой формы);
2) также уже говорилось, что степени с рациональными показателями сами по себе малоинтересны и служат промежуточным этапом для определения степеней с произвольными действительными показателями; при этом нужно иметь в виду, что естественным образом степень с действительным показателем определяется только для неотрицательного основания, а любые возможные продолжения в область отрицательных оснований не согласуются с комплексным анализом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 13:20 
Заслуженный участник


20/08/14
7358
Россия, Москва
Someone
Хм, Вы даже меня убедили (хотя я был другого мнения), проще/лучше корень считать отдельной операцией, лишь иногда случайно совпадающей с рациональной степенью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение12.02.2019, 10:50 


20/09/18
15
Кстати, хорошая тема. Всегда удивляли эти залихватские переходы от корней к степеням в курсе матана при рассмотрении неопределённых интегралов. Вот такого типа:

$$
\int\sqrt[3]{x}dx=\int{x^{\frac{1}{3}}}dx=\frac{3x^\frac{4}{3}}{4}+C=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}+C.
$$

Мне кажется, что верное решение будет таким:

$$
\int\sqrt[3]{x}dx = sgn(x)\cdot\int{|x|^{\frac{1}{3}}}dx= \int{|x|^{\frac{1}{3}}}d(|x|)= \frac{3|x|^\frac{4}{3}}{4}+C=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}+C
$$

Однако в решебниках мне такое не попадалось.

 Профиль  
                  
 
 Корень vs. степень: область определения
Сообщение12.02.2019, 11:21 
Экс-модератор


12/07/07
3918
Донецк, Украина
Free_Student, нужно просто в разделе «дифференцирование» показать, что производная корня $\sqrt[n] x$ для случая нечётных $n$ и $-\infty <x< 0 \cup 0 <x< +\infty $ имеет тот же вид, что и производная степени $x^\alpha$, $x>0$, если считать, что $\alpha = 1/n$.
[Производная $x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)$ выводится при помощи теоремы о производной сложной функции, а также производных экспоненты и логарифма.]
Строка же из таблицы интегралов, уже просто следует из соответствующей строки таблицы производных.

-- Tue 12.02.2019 10:24:26 --

Ну а степени [с «рациональным показателем»] можно понимать как «сокращение» для комбинации корня и [целой] степени.

Upd. Впрочем, при аккуратном изложении $\left(\sqrt [n] x \right)'= \frac 1 n \frac {\sqrt [n] x} x$.

 Профиль  
                  
 
 Корень vs. степень: область определения
Сообщение12.02.2019, 12:56 


20/09/18
15
GAA, полагаю, что вы правы насчёт необходимости обоснования формулы для корней в разделе дифференцирования. Можно вообще оставить готовую формулу для корней, тогда переход к степеням будет в интегралах не нужен. Правда, мне кажется такой подход немного нерациональным, так как добавит лишних обоснований формул, в то время как при аккуратных преобразованиях можно обойтись существующими формулами - просто учитывать, где это нужно, функцию знака. В любом случае, переход от степени к корню обосновывать нужно, а этих обоснований авторы книг делать не спешат. Впрочем, отчего-то в разделах с неопределёнными интегралами допускаются и иные вольности - вынесение из-под корня степени без модуля, например, преобразования такого типа: $\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}$ записываются без модуля в знаменателе.

 i  GAA:
Не относящееся к данной теме обсуждение неопределённого интеграла перемещено в тему «Очередная шаурма с неопределенным интегралом».

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 99 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group