Очередная шаурма с неопределенным интегралом

[ewert]

gefest_md в сообщении #1327409 писал(а):

$\int f(x,c)\,dx=F(x)+c,

Так не бывает, чтоб одной буквой обозначались разные. Во всяком случае, в приличном опчестве.

[gefest_md]

ewert в сообщении #1327802 писал(а):

Так не бывает, чтоб одной буквой обозначались разные.

Я ничего не обозначал. Из выражения $\int f(x)\,dx=\{F(x)+c\}$ убрал фигурные скобки и дописал $c$. Получилось выражение $\int f(x,c)\,dx=F(x)+c$.

[SomePupil]

(Оффтоп)

gefest_md в сообщении #1327874 писал(а):

Я ничего не обозначал. Из выражения $\int f(x)\,dx=\{F(x)+c\}$ убрал фигурные скобки и дописал $c$. Получилось выражение $\int f(x,c)\,dx=F(x)+c$.

Психологический переход от одной переменной к двум довольно тяжел. Мне теперь будут сниться кошмары, в которых добрые ОДУ превращаются в страшные ДУЧП.

[ewert]

gefest_md в сообщении #1327874 писал(а):

и дописал $c$

и не туда.

Цитата:

Ничего себе! – сказал Шляпа. – Ты бы еще сказала: «я вижу все, что ем», и я «ем все, что вижу» – это тоже одно и то же!

[gefest_md]

ewert в сообщении #1328463 писал(а):

и не туда.

Идея была в том, чтобы подынтегральную функцию $f$ рассматривать в пространстве, а функцию $F$ - в плоскости. И чтобы была биекция $f(x,c)\mapsto F(x)+c.$ С учетом этого $c$ не всегда надо добавлять. Знак интеграла всегда дополнять своим индексом. Например, линейность я бы выразил так:
$\int_1(\alpha u(x)+\beta v(x))\,dx=\alpha\int_2 u(x)\,dx+\beta\int_3 v(x)\, dx$.

[ewert]

gefest_md в сообщении #1330686 писал(а):

И чтобы была биекция $f(x,c)\mapsto F(x)+c.$

Её не может быть тупо потому, что от цэ зависит вовсе не подынтегральная функция. Шляпа был не дурак.

[gefest_md]

gefest_md в сообщении #1330686 писал(а):

биекция $f(x,c)\mapsto F(x)+c.$

Прокомментирую. Пусть есть функция $\bar{f}$ на плоскости $Oxz.$ И пусть у неё есть первообразная $F$: $F^\prime=\bar{f}.$ Далее определяю множества (предполагается, что элементы множеств $A$ и $B$ - функции).

$$A=\{g\subseteq\mathbb{R}^2\mid\exists c\in\mathbb{R}\forall x\,(g(x)=F(x)+c)\}$$

Множество $A$ - это множество всех функций $F+c$ на плоскости $Oxz$.

$$B=\{f\subseteq\mathbb{R}^3\mid\forall x\forall y(f(x,y)=\bar{f}(x))\And\exists !c\in\mathbb{R}\forall x(f(x,c)=\bar{f}(x))\}$$

Элемент множества $B$ находится в пространстве $Oxyz$ и он - функция из плоскости $y=c$, которая там повторяет функцию $\bar{f}$.

$$\Phi=\{(g,f)\in A\times B\mid\exists c\in\mathbb{R}[g=F+c\And\forall x(f(x,c)=\bar{f}(x))]\}$$

$\Phi$ - биективное отображение. $\Phi(g)=f$ значит, что $g=F+c$, а $f$ - это $\bar{f}$, перенесённая на плоскость $y=c.$

gefest_md в сообщении #1330686 писал(а):

линейность

Хочу ещё сказать по поводу линейности. Пусть есть функции $\bar{u}$ и $\bar{v}$, которые имеют первообразные. Тогда определим для них, как для $\bar{f}$, свои множества $A_1,\ B_1,\ \Phi_1$ и $A_2,\ B_2,\ \Phi_2$ соответственно. И тогда можно вроде утверждать, что для функции $\bar{u}+\bar{v}$ существуют $A_0,\ B_0,\ \Phi_0$ такие, что $\Phi^{-1}_0(u+v)=\Phi^{-1}_1(u)+\Phi^{-1}_2(v).$

[Otta]

Ну вот зачем это все? Зачем из банального, в общем, понятия, требующего только привлечения внимания к некоторым нюансам, делать нечто совершенно несъедобное в духе бурбакизма? Для фильтрации студентов на тех, кто пережил введение понятия первообразной (не понял - пережил), и тех, кто уже не?

(Оффтоп)

Мне тут намекнули про правильность - на правильность я уже и не смотрю. Вот ей-богу вижу эту кучу буков вместо четырех ожидаемых - и незачем на нее смотреть, на правильность. Не может ее быть, - да и нет.

[gefest_md]

Otta в сообщении #1333351 писал(а):

Ну вот зачем это все?

Пост про $A,\ B,\ \Phi$ я опубликовал и для себя тоже. Вот сегодня уже я заметил, что условие о существовании и единственности из определения множества $B$ можно ослабить: оставить только единственность. $\Phi$ останется биективным отображением. По другому я бы это скорее не заметил.

[Otta]

gefest_md
Поделитесь тогда, что такое $g\subseteq \mathbb R^2$

[gefest_md]

Otta в сообщении #1333436 писал(а):

gefest_md
Поделитесь тогда, что такое $g\subseteq \mathbb R^2$

$g$ - множество упорядоченных пар вещественных чисел. Я привык к написанию любого множества в виде $\{x\in{X}\mid P(x)\}.$

[Otta]

То есть некое подмножество плоскости. Что, в таком случае означает запись зависимости этого подмножества от переменной $x$ -- $g(x)$, ну и далее по тексту?

-- 19.08.2018, 20:10 --

Щас придумаю. Ну, например, множество всех кругов радиуса $x$, конечно, будет подмножеством плоскости, зависящим от $x$ (считаем $x>0$). Оно годится? (я не могу проверить, потому что не знаю, что такое $F$). Вы говорите, что это первообразная - Вы невовремя это говорите. Потому что Вы затеялись определять так мучительно больно далее именно первообразную. Так что или надо написать

gefest_md в сообщении #1333348 писал(а):

И пусть у неё есть первообразная $F$: $F^\prime=\bar{f}.$

выбросив всю эту ерунду с двумя переменными (первообразная функции двух переменных не определяется) и успокоиться на этом, или не писать в процитированном фрагменте "первообразная" (но тогда уточнять, по какой переменной идет дифференцирование, раз уж их две, и области определения функций уж больно не совпадают, опять же).
А лучше вообще не мучить понятие. Оно от этого не становится понятней, сплошная путаница.

[gefest_md]

Otta
Мне казалось, что я пишу всё так подробно, что забыл привести какой-нибудь простой пример. Никогда не помешает. Конкретный пример: Возьмём функцию $\bar{f}(x)=x$ и её первообразную $F(x)=\frac{1}{2}x^2.$ Тогда функция $g_0(x)=\frac{1}{2}x^2+1$ принадлежит множеству $A,$ функция $f_0(x,2)=x$ принадлежит множеству $B.$

Возьмём ещё функции $g(x)=\frac{1}{2}x^2+3$ и $f(x,3)=x.$ Тогда пара $\left(g,f\right)$ принадлежит $\Phi.$ Так как $\Phi$ - биективная функция, то можно писать $\Phi^{-1}(f)=g.

Это $\Phi$ построено для $\bar{f}.$ Поэтому писал, чтобы знак $\int$

gefest_md в сообщении #1330686 писал(а):

дополнять своим индексом.

А функции $f$ и $\bar{f}$ так похоже между собой (как-будто это два равных вектора), что под тем же знаком можно как обычно оставить $\bar{f}.$

[Otta]

gefest_md в сообщении #1333527 писал(а):

Возьмём функцию $\bar{f}(x)=x$ и её первообразную $F(x)=\frac{1}{2}x^2.$

Стоп. Вы первообразную уже определили или только собираетесь определять?
Если да - то каково определение.
Если нет - о чем Вы пишете потом.

[gefest_md]

Otta в сообщении #1333528 писал(а):

Вы первообразную уже определили или только собираетесь определять?

$\bar{f}$ и её первообразную считаю заданными. И с ними я определил $A$, $B$ и $\Phi.$