2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 15  След.
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение01.02.2018, 09:24 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Условие устойчивости по отношению к малым отклонениям плоскости обруча от вертикали:
$$v\ge\frac{\sqrt{gr}}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение01.02.2018, 21:15 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ход моего решения.
Запускаем обруч так, чтобы он катился по окружностьи с очень малым отклонением $\theta$ от вертикали.
В системе, которая крутится вместе с обручем записываем условия равновесия вращения относительно точки касания обруча. Учитываем три момента сил:
Момент силы тяжести, момент центробежной силы и азимутальный момент - тот, который изменяет направление вращения обруча в крутящейся сисиеме.
Здесь везде $\theta$ - малый параметр.
В результате получаем соотношение между углом $\theta$, радиусом описываемой окружности и угловой скоростью качения обруча по этой окружности.
Второе соотношение находим из полной энергии, которая равна с одной стороны $mv^2$, а с другой складывается из потенциальной энергии ЦТ, и кинетических энергий - поступательной ЦТ, вращательной вокруг своей оси и вращения самой оси.
Получается выражение без первого члена разложения относительно малого параметра $\theta$. Нужно сосчитать к-т при $\theta^2$ и приравнять его нулю. Это и даст нам искомую скорость, поскольку если этот к-т положительный, у нас общая энергия при наклоне возрастает и качение устойчивое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение01.02.2018, 21:36 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Задача сложная. Я ожидал, что будут выписаны уравнения движения и линеризованы в окрестности указанного движения обруча. Исследование устойчивости в линейном приближении дает $v>\sqrt{gr}/2$. Это, конечно, совершенно нестрого рассуждение, но правильная формула была бы выписана. Строгое доказательство устойчивости в случае $$v\ge\sqrt{gr}/2$ это уже задача достаточно нетривиальная, она разобрана в книжке Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголомных систем (1967).djvu

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение01.02.2018, 22:10 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Я пока не буду выписывать формулы. Подождем. Может кто еще захочет поточить зубы. Потом выложу свое решение и посмотрим, где там лажа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение03.02.2018, 19:52 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Нашел ошибку. Почему-то в вычислении равновесия не учел азимутальное изменение момента. Хотя словами то описал все правильно. С его учетом получается такой же ответ, как и у pogulyat_vyshel.
Книжку скачал. Надо будет разобраться, как там все это вычисляется "по науке"

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение07.04.2018, 13:33 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Твердое тело состоит из однородного шара массы $M$, радиуса $r$ и однородного тонкого стержня массы $m$, длины $a$. Стержень приварен одним своим концом к поверхности шара перпендикулярно ей.
Эту конструкцию водружают на горизонтальную совершенно шероховатую плоскость и прикрепляют конец стержня к плоскости так, что шар может свободно кататься по плоскости вокруг точки прикрепления.
Плоскость начинают вращать с постоянным угловым ускорением $\varepsilon$ вокруг вертикальной оси, проходящей через точку прикрепления.
Найти угловое ускорение шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение07.04.2018, 21:10 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Наверное стоит еще задать к-т трения $k$ и рассмотреть движение с проскальзыванием и без

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение07.04.2018, 21:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Движение без проскальзывания -- это то, что написано в условии и в таком варианте задача решается легко и изящно. Если рассматривать проскальзывание то все противно усложняется

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение08.04.2018, 17:35 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Здесь можно применить ту же логику, что и в более простой задаче о шаре на горизонтальной плоскости, котороя двигается с ускорением $a$.
В этой задаче неизвестные - угловое ускорение шара $\alpha$, ускорение ЦТ шара $a_s$ и сила трения $F$.
На что у нас есть три уравнения:
$$\begin{cases}
ma=F \\
I\alpha=Fr\\
a_s+\alpha r=a\\
\end{cases}$$

Для решения предложенной задачи сейчас сделаю рисунок, а потом выложу аналогичную схему рассуждений.

-- 08.04.2018, 07:06 --

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение08.04.2018, 19:47 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Итак плоскость вращается с угловым ускорением $\varepsilon$ вокруг оси $x$.
Надо найти угловое ускорение нашей конструкции $\alpha$ вокруг той же оси.
Сначала введем естественные оси вращения для нашего тела $x', y', z'$. И обозначим угловые ускорения тела вокруг этих осей $\alpha_x, \alpha_z$, а моменты инерции вокруг этих осей $I_x, I_z$.
Очевидно, что:
$$\begin{cases}
I_x=\frac25 Mr^2\\
I_z=\frac13 ma^2+M(\frac25 r^2+(a+r)^2)\\
\end{cases}$$

Пусть сила трения $F$. Тогда уравнения вращения вокруг штрихованных осей выглядят так:
$$\begin{cases}
I_x\alpha_x=F(a+r)\cos\theta \sin\theta\\
I_z\alpha_z=F(a+r)\cos^2\theta\\
\end{cases}$$

Ну и кинематические связи из условия непроскальзывания (точка касания покоится относительно вращающейся плоскости) и синхронизации угловых ускорений дают еще два уравнения:

$\alpha(a+r)\cos\theta=\varepsilon(a+r)\cos\theta-\alpha_x(a+r)\cos\theta\sin\theta$
$\alpha_z(a+r)=\alpha(a+r)\cos\theta $

Кстати, ость $x$ у нас вращается с возрастающей угловой скоростью. Это вращение обеспечивается моментом сил реакции опоры $N_1, N_2$ в точках O и касания шара по оси $y'$
Их можно найти из уравнений:
$$\begin{cases}
N_1+N_2=(m+M)\\
(I_x\omega_x\cos\theta-I_z\omega_z\sin\theta)\omega=N_2(a+r)\cos\theta - (mg\frac{l}{2}-Mg(a+r))\cos\theta\\
\end{cases}$$

Тоесть даже если вначале и было проскальзывание, то потом с увеличением $N_2$ оно исчезнет, а $N_1$ вообще станет отрицательной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение09.04.2018, 09:09 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fred1996 в сообщении #1302608 писал(а):
Итак плоскость вращается с угловым ускорением $\varepsilon$ вокруг оси $x$.

вокруг оси $z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение09.04.2018, 14:20 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
pogulyat_vyshel в сообщении #1302717 писал(а):
fred1996 в сообщении #1302608 писал(а):
Итак плоскость вращается с угловым ускорением $\varepsilon$ вокруг оси $x$.

вокруг оси $z$

Ну да. Естественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение09.04.2018, 18:24 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fred1996 в сообщении #1302608 писал(а):
выглядят так:
$$\begin{cases}
I_x\alpha_x=F(a+r)\cos\theta \sin\theta\\
I_z\alpha_z=F(a+r)\cos^2\theta\\
\end{cases}$$


у меня есть сомнения в этих уравнениях. теорема об изменении кин момента для твердого тела пишется так $J_O\boldsymbol {\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O$ У вас член $[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]$ учтен?

-- 09.04.2018, 19:25 --

Что бы не спутать ваши координаты с моими, свою систему координат я обозначу большими буквами $OXYZ$. Ось $Y$ проходит через стержень, ось $X$ лежит в горизонтальной плоскости, ось $Z$ направлена вверх. Вектор $\boldsymbol e=\cos\theta \boldsymbol e_Y-\sin\theta \boldsymbol e_Z$ лежит на прямой, соединяющей точку закрепления $O$ с точкой касания шара и плоскости, вектор $\boldsymbol n=\cos\theta \boldsymbol e_Z+\sin\theta \boldsymbol e_Y$ направлен вертикально вверх (вдоль вашей оси $z$)

По теореме о сложении угловых скоростей ,угловая скорость твердого тела есть сумма угловой скорости плоскости и угловой скорости твердого тела относительно плоскости: $\boldsymbol \omega=\varepsilon t\boldsymbol n+\nu\boldsymbol e.$
Оператор инерции твердого тела в данных осях относительно точки $O$ имеет вид
$J_O=\mathrm{diag}\,(A,B,A).$ Кинетическая энергия: $T=\frac{1}{2}(\boldsymbol \omega,J_O\boldsymbol \omega)$.

Из уравнения Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \nu}=0$ получаем
$\dot\nu(B\cos^2\theta+A\sin^2\theta)=\varepsilon\cos\theta\sin\theta (A-B)$. Остальное кинематика

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение09.04.2018, 21:15 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
pogulyat_vyshel в сообщении #1302818 писал(а):
fred1996 в сообщении #1302608 писал(а):
выглядят так:
$$\begin{cases}
I_x\alpha_x=F(a+r)\cos\theta \sin\theta\\
I_z\alpha_z=F(a+r)\cos^2\theta\\
\end{cases}$$


у меня есть сомнения в этих уравнениях. теорема об изменении кин момента для твердого тела пишется так $J_O\boldsymbol {\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O$ У вас член $[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]$ учтен?

Как нетрудно догадаться, я рассматривал только мгновенное вращение по осям $x', z'$. Член $[\omega,J_0\omega]$ перпендикулярен этим осям. Поэтому отвечает за изменение направления вращения, что в данной задаче несущественно. Там я в конце приписал, что за это отвечают силы реакции опоры, создающие момент в направлении оси $y'$.
Я прекрасно понимаю, что ваш формализованный подход эффективнее моего школьного, поскольку мне все время приходиться напрягать моск и воображение, чтобы представить как там все крутится на самом деле. Но никак не могу от него избавиться. Каждый раз хочется пощупать ручками. :D
Ну и потом есть внутреннее желание соответствовать вектору, заданному amonом в данной ветке. Так что предложенные вами блюда продолжу есть руками, а не изящными китайскими палочками. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение15.05.2018, 19:24 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Формулировка задачи вместе с неверным решением тутhttps://www.youtube.com/watch?time_continue=15&v=Zf_BVs8V4JM
Говорят, чт о задача из иродова, интересно у Иродова тоже наврано?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 224 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 15  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group