Ход моего решения.
Запускаем обруч так, чтобы он катился по окружностьи с очень малым отклонением
от вертикали.
В системе, которая крутится вместе с обручем записываем условия равновесия вращения относительно точки касания обруча. Учитываем три момента сил:
Момент силы тяжести, момент центробежной силы и азимутальный момент - тот, который изменяет направление вращения обруча в крутящейся сисиеме.
Здесь везде
- малый параметр.
В результате получаем соотношение между углом
, радиусом описываемой окружности и угловой скоростью качения обруча по этой окружности.
Второе соотношение находим из полной энергии, которая равна с одной стороны
, а с другой складывается из потенциальной энергии ЦТ, и кинетических энергий - поступательной ЦТ, вращательной вокруг своей оси и вращения самой оси.
Получается выражение без первого члена разложения относительно малого параметра
. Нужно сосчитать к-т при
и приравнять его нулю. Это и даст нам искомую скорость, поскольку если этот к-т положительный, у нас общая энергия при наклоне возрастает и качение устойчивое.