Задачки для Фреда

[pogulyat_vyshel]

Условие устойчивости по отношению к малым отклонениям плоскости обруча от вертикали:

$$v\ge\frac{\sqrt{gr}}{2}$$

[fred1996]

Ход моего решения.
Запускаем обруч так, чтобы он катился по окружностьи с очень малым отклонением $\theta$ от вертикали.
В системе, которая крутится вместе с обручем записываем условия равновесия вращения относительно точки касания обруча. Учитываем три момента сил:
Момент силы тяжести, момент центробежной силы и азимутальный момент - тот, который изменяет направление вращения обруча в крутящейся сисиеме.
Здесь везде $\theta$ - малый параметр.
В результате получаем соотношение между углом $\theta$, радиусом описываемой окружности и угловой скоростью качения обруча по этой окружности.
Второе соотношение находим из полной энергии, которая равна с одной стороны $mv^2$, а с другой складывается из потенциальной энергии ЦТ, и кинетических энергий - поступательной ЦТ, вращательной вокруг своей оси и вращения самой оси.
Получается выражение без первого члена разложения относительно малого параметра $\theta$. Нужно сосчитать к-т при $\theta^2$ и приравнять его нулю. Это и даст нам искомую скорость, поскольку если этот к-т положительный, у нас общая энергия при наклоне возрастает и качение устойчивое.

[pogulyat_vyshel]

Задача сложная. Я ожидал, что будут выписаны уравнения движения и линеризованы в окрестности указанного движения обруча. Исследование устойчивости в линейном приближении дает $v>\sqrt{gr}/2$. Это, конечно, совершенно нестрого рассуждение, но правильная формула была бы выписана. Строгое доказательство устойчивости в случае $$v\ge\sqrt{gr}/2$ это уже задача достаточно нетривиальная, она разобрана в книжке Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголомных систем (1967).djvu

[fred1996]

Я пока не буду выписывать формулы. Подождем. Может кто еще захочет поточить зубы. Потом выложу свое решение и посмотрим, где там лажа.

[fred1996]

Нашел ошибку. Почему-то в вычислении равновесия не учел азимутальное изменение момента. Хотя словами то описал все правильно. С его учетом получается такой же ответ, как и у pogulyat_vyshel.
Книжку скачал. Надо будет разобраться, как там все это вычисляется "по науке"

[pogulyat_vyshel]

Твердое тело состоит из однородного шара массы $M$, радиуса $r$ и однородного тонкого стержня массы $m$, длины $a$. Стержень приварен одним своим концом к поверхности шара перпендикулярно ей.
Эту конструкцию водружают на горизонтальную совершенно шероховатую плоскость и прикрепляют конец стержня к плоскости так, что шар может свободно кататься по плоскости вокруг точки прикрепления.
Плоскость начинают вращать с постоянным угловым ускорением $\varepsilon$ вокруг вертикальной оси, проходящей через точку прикрепления.
Найти угловое ускорение шара.

[fred1996]

Наверное стоит еще задать к-т трения $k$ и рассмотреть движение с проскальзыванием и без

[pogulyat_vyshel]

Движение без проскальзывания -- это то, что написано в условии и в таком варианте задача решается легко и изящно. Если рассматривать проскальзывание то все противно усложняется

[fred1996]

Здесь можно применить ту же логику, что и в более простой задаче о шаре на горизонтальной плоскости, котороя двигается с ускорением $a$.
В этой задаче неизвестные - угловое ускорение шара $\alpha$, ускорение ЦТ шара $a_s$ и сила трения $F$.
На что у нас есть три уравнения:

$$\begin{cases} ma=F \\ I\alpha=Fr\\ a_s+\alpha r=a\\ \end{cases}$$

Для решения предложенной задачи сейчас сделаю рисунок, а потом выложу аналогичную схему рассуждений.

-- 08.04.2018, 07:06 --

[fred1996]

Итак плоскость вращается с угловым ускорением $\varepsilon$ вокруг оси $x$.
Надо найти угловое ускорение нашей конструкции $\alpha$ вокруг той же оси.
Сначала введем естественные оси вращения для нашего тела $x', y', z'$. И обозначим угловые ускорения тела вокруг этих осей $\alpha_x, \alpha_z$, а моменты инерции вокруг этих осей $I_x, I_z$.
Очевидно, что:

$$\begin{cases} I_x=\frac25 Mr^2\\ I_z=\frac13 ma^2+M(\frac25 r^2+(a+r)^2)\\ \end{cases}$$

Пусть сила трения $F$. Тогда уравнения вращения вокруг штрихованных осей выглядят так:

$$\begin{cases} I_x\alpha_x=F(a+r)\cos\theta \sin\theta\\ I_z\alpha_z=F(a+r)\cos^2\theta\\ \end{cases}$$

Ну и кинематические связи из условия непроскальзывания (точка касания покоится относительно вращающейся плоскости) и синхронизации угловых ускорений дают еще два уравнения:

$\alpha(a+r)\cos\theta=\varepsilon(a+r)\cos\theta-\alpha_x(a+r)\cos\theta\sin\theta$
$\alpha_z(a+r)=\alpha(a+r)\cos\theta $

Кстати, ость $x$ у нас вращается с возрастающей угловой скоростью. Это вращение обеспечивается моментом сил реакции опоры $N_1, N_2$ в точках O и касания шара по оси $y'$
Их можно найти из уравнений:

$$\begin{cases} N_1+N_2=(m+M)\\ (I_x\omega_x\cos\theta-I_z\omega_z\sin\theta)\omega=N_2(a+r)\cos\theta - (mg\frac{l}{2}-Mg(a+r))\cos\theta\\ \end{cases}$$

Тоесть даже если вначале и было проскальзывание, то потом с увеличением $N_2$ оно исчезнет, а $N_1$ вообще станет отрицательной.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1302608 писал(а):

Итак плоскость вращается с угловым ускорением $\varepsilon$ вокруг оси $x$.

вокруг оси $z$

[fred1996]

pogulyat_vyshel в сообщении #1302717 писал(а):

fred1996 в сообщении #1302608 писал(а):

Итак плоскость вращается с угловым ускорением $\varepsilon$ вокруг оси $x$.

вокруг оси $z$

Ну да. Естественно.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1302608 писал(а):

выглядят так:

$$\begin{cases} I_x\alpha_x=F(a+r)\cos\theta \sin\theta\\ I_z\alpha_z=F(a+r)\cos^2\theta\\ \end{cases}$$

у меня есть сомнения в этих уравнениях. теорема об изменении кин момента для твердого тела пишется так $J_O\boldsymbol {\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O$ У вас член $[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]$ учтен?

-- 09.04.2018, 19:25 --

Что бы не спутать ваши координаты с моими, свою систему координат я обозначу большими буквами $OXYZ$. Ось $Y$ проходит через стержень, ось $X$ лежит в горизонтальной плоскости, ось $Z$ направлена вверх. Вектор $\boldsymbol e=\cos\theta \boldsymbol e_Y-\sin\theta \boldsymbol e_Z$ лежит на прямой, соединяющей точку закрепления $O$ с точкой касания шара и плоскости, вектор $\boldsymbol n=\cos\theta \boldsymbol e_Z+\sin\theta \boldsymbol e_Y$ направлен вертикально вверх (вдоль вашей оси $z$)

По теореме о сложении угловых скоростей ,угловая скорость твердого тела есть сумма угловой скорости плоскости и угловой скорости твердого тела относительно плоскости: $\boldsymbol \omega=\varepsilon t\boldsymbol n+\nu\boldsymbol e.$
Оператор инерции твердого тела в данных осях относительно точки $O$ имеет вид
$J_O=\mathrm{diag}\,(A,B,A).$ Кинетическая энергия: $T=\frac{1}{2}(\boldsymbol \omega,J_O\boldsymbol \omega)$.

Из уравнения Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \nu}=0$ получаем
$\dot\nu(B\cos^2\theta+A\sin^2\theta)=\varepsilon\cos\theta\sin\theta (A-B)$. Остальное кинематика

[fred1996]

pogulyat_vyshel в сообщении #1302818 писал(а):

fred1996 в сообщении #1302608 писал(а):

выглядят так:

$$\begin{cases} I_x\alpha_x=F(a+r)\cos\theta \sin\theta\\ I_z\alpha_z=F(a+r)\cos^2\theta\\ \end{cases}$$

у меня есть сомнения в этих уравнениях. теорема об изменении кин момента для твердого тела пишется так $J_O\boldsymbol {\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O$ У вас член $[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]$ учтен?

Как нетрудно догадаться, я рассматривал только мгновенное вращение по осям $x', z'$. Член $[\omega,J_0\omega]$ перпендикулярен этим осям. Поэтому отвечает за изменение направления вращения, что в данной задаче несущественно. Там я в конце приписал, что за это отвечают силы реакции опоры, создающие момент в направлении оси $y'$.
Я прекрасно понимаю, что ваш формализованный подход эффективнее моего школьного, поскольку мне все время приходиться напрягать моск и воображение, чтобы представить как там все крутится на самом деле. Но никак не могу от него избавиться. Каждый раз хочется пощупать ручками.
Ну и потом есть внутреннее желание соответствовать вектору, заданному amonом в данной ветке. Так что предложенные вами блюда продолжу есть руками, а не изящными китайскими палочками.

[pogulyat_vyshel]

Формулировка задачи вместе с неверным решением тутhttps://www.youtube.com/watch?time_continue=15&v=Zf_BVs8V4JM
Говорят, чт о задача из иродова, интересно у Иродова тоже наврано?