EUgeneUSПродифференцируем разок предложенную спираль по времени:

То есть радиальная скорость все время пропорциональна трансверсальной.
Кроме того, поскольку сила центральная, имеем сохранение углового момента:

Как видно, это полная производная по времени.
То есть проинтегрировав это выражение по времени, получим

Откуда сразу находится время падения на центр притяжения:

Теперь вернемся к полной энергии системы. Видно, что на бесконечности скорость частицы стремится к нулю. Поэтому полная энергия системы ноль.
Запишем кинетическую энергию:

То есть потенциал получается:

Пусть у нас движение началось в момент, когда

. Тогда

Как видно, в задаче недостаточно задать форму спирали. Нужно еще знать угловой момент и массу частицы