Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[vego]

Dragon27 в сообщении #1295076 писал(а):

Рудин-Шмудин. Ничего хорошего в этом вашем Рудине нет :)
Ну не спорю, люди разные, если кому-то учебник Рудина, стиль изложения Рудина хорошо идёт - то и карты в руки. Но как учебник по умолчанию для всех, на мой взгляд, он совершенно не подходит. Конечно, если где-то требуют знать именно Рудина - то тут уж никуда не денешься. Но если не требуют, то зачем себя им мучить?

Конечно, Рудин не подходит для самостоятельного изучения, но к нему хотя бы решебник имеется. А Зорич мне очень понравился, но к нему нет ни ответов на задачи, ни сопутствующего задачника.

[vpb]

irod
как говорится, спасибо за спасибо. Однако, насчет того, что я смогу Вам быстро предложить список годных книжек, я был излишне оптимистичен. Я должен буду над этим вопросом некоторое время (возможно, несколько дней )предварительно поработать.

vego
Интересный список книжек! Некоторые названия многообещающие. Спасибо!

[irod]

vego в сообщении #1295072 писал(а):

Я напишу про англоязычные учебники, поскольку несколько лет назад готовился к поступлению в одно учебное заведение, где требовали знание математического анализа на уровне "принципов" Рудина.
Может кому-то пригодится. :)

Спасибо! Я обязательно скачаю эти книги и посмотрю, особенно по методам доказательств.

vpb в сообщении #1295102 писал(а):

Я должен буду над этим вопросом некоторое время (возможно, несколько дней )предварительно поработать.

Не смею Вас торопить. Буду очень ждать.

-- 02.03.2018, 17:05 --

Открыл сейчас Зорича, главы про пределы и непрерывность. Вроде бы все понятно, также как и "лекции..." Архипова, Садовничего, Чубарикова. В общем, мои аннотации к этим учебникам из первого поста этой темы, которые я написал по старой памяти, явно устарели. Теперь я могу нормально все эти книги воспринимать. Прошу прощения, что сбил всех с толку.
Еще нашел старую рекомендацию из первой моей темы на этом форуме:

tolstopuz в сообщении #1102424 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1102372 писал(а):

А как задачник на доказательство мне понравилась книжка

Ю. С. Очан. Сборник задач по математическому анализу.

Первый раз в жизни о ней услышал. Сейчас просматриваю - замечательная книга. Естественно, лучше брать издание 1981 года :)

Я тогда от нее отмахнулся из-за своей усталости от переключения между учебниками, а сейчас посмотрел внимательней - кажется, отличный задачник, есть все решения в конце. Может, из этой книги задачи брать? Вопрос только (касаемо любого задачника), как мне выбрать какое-то адекватное подмножество задач, не все же подряд решать..

[irod]

Я прошу прощения что вновь тут пишу, но мне правда очень нужна ваша помощь. Вот на этот вопрос мне так никто ничего и не ответил:

irod в сообщении #1294457 писал(а):

Как бы вы посоветовали мне построить дальнейшую подготовку, сбалансировав практику и теорию?

Добавлю, что в первую очередь меня интересует матан. Времени у меня полтора года, за это время надо добить одномерный, осилить многомерный, и хотя бы немного въехать в функан.
Мне очень нужен какой-то более-менее конкретный план занятий или хотя бы просто советы от знающего человека (не просто списки учебников с аннотациями), а то сам я боюсь опять много времени потерять, занимаясь не так и не тем. Сейчас, когда Давидович отвалился, мои занятия по матану буксуют, я не очень понимаю чем мне заниматься кроме проработки теории по учебникам. Не могу себе задачи подобрать, короче говоря, глаза от обилия рекомендованных задачников и задач в них разбегаются.
Помогите мне пожалуйста.

-- 05.03.2018, 16:53 --

Конечно, у меня задачи со вступительных экзаменов в ШАД. Но их мало. Еще мне советовали сборник олимпиадных задач Садовничего и задачи с олимпиад Патнема, вроде как все это очень похоже на ШАДовские экзамены. Но наверное решать эти задачи имеет смысл только после усвоения всей теории, а какие задачи мне делать сейчас, параллельно с теорией?

[vpb]

Я, извините, еще не проработал вопрос относительно того, какую Вам литературу рекомендовать. А можете Вы прямо сейчас привести примеры задач на вычисление пределов, производных и интегралов, штук 5, которые Вы уже умеете решать ? (если пустое множество, так и пишите, не стесняясь).

-- 05.03.2018, 16:38 --

P.S. Задачи на доказательство, всякие олимпиадные задачи --- это хорошо, но сначала бы хотелось увидеть своими глазами, умеете ли Вы решать стандартные.

[root721]

irod в сообщении #1295548 писал(а):

Я прошу прощения что вновь тут пишу, но мне правда очень нужна ваша помощь

Лично мне очень интересно что вы тут пишите, так что пишите больше, чаще и детальней.

irod в сообщении #1295548 писал(а):

Как бы вы посоветовали мне построить дальнейшую подготовку, сбалансировав практику и теорию?

Согласно ссылке которую я привел, чтобы сдать экзамен нужно обладать уровнем програмы мат/физ факультета. Лично у меня баланса тоже нет, я просто хожу из стороны в сторону и переодически бываю по середине, мне хватает.

[irod]

vpb в сообщении #1295564 писал(а):

А можете Вы прямо сейчас привести примеры задач на вычисление пределов, производных и интегралов, штук 5, которые Вы уже умеете решать ? (если пустое множество, так и пишите, не стесняясь).

По пределу последовательности - например задача 6 листка 12 из Давидовича:

Цитата:

Задача 6.
Найти пределы следующих последовательностей при $n\to\infty$:
а) $x_n=\frac{2n-2}{7n+3}$
б) $x_n=\frac{5n^2-4n+3}{6n^2+10n-1}$
в) $x_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$
г) $x_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
д) $x_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}$

По остальным перечисленным темам отвечу чуть позже, надо посмотреть свои записи.
Вообще я почти 4 года назад успешно прошел курс Calculus: Single variable на курсере, там я этих примеров на вычисление прорешал целое море. Но я их научился решать без особого понимания почему так можно делать, т.е. просто технику освоил. Там были в т.ч. всякие страшные интегралы, на шадовских экзаменах такие часто бывают. Сейчас я уже подзабыл все про производные и интегралы, но думаю это я легко и быстро вспомню (я имею в виду техники).

-- 05.03.2018, 18:38 --

root721 в сообщении #1295567 писал(а):

Лично мне очень интересно что вы тут пишите, так что пишите больше, чаще и детальней.

Что ж, буду писать, если модераторы а-та-та не сделают Думаю, мне самому в будущем будет интересно себя перечитать.

Я сейчас понял, что мое изучение матана получилось ровно по западному образцу:

tolstopuz в сообщении #1197938 писал(а):

Calculus и analysis - два уровня объяснения того, что у нас называют "математическим анализом". Просто у нас в сильных вузах объясняют одновременно и технику (calculus), и теорию (analysis), а в западном образовании на первом-втором курсе идет calculus, а на третьем, уже не для всех, analysis.

Еще у них для способных студентов бывает calculus with proofs - это уже близко к нашему изложению анализа первокурсникам.

Вот calculus со всеми этими задачками-вычислениями где нужна техника, я неплохо (субъективно) умею, а analysis - только до непрерывности включительно. Знание калькулуса не дает мне почти никакого понимания. Благодаря калькулусу (в том числе) я смог сдать экзамен и поступить в магистратуру ВШЭ пару лет назад, а из-за отсутствия понимания я не смог там учиться. Не хочется, чтобы это повторилось с ШАДом.
Собственно почему я был так зациклен на Давидовиче - там почти нет калькулуса, и я чувствовал что нарабатываю себе именно понимание.

[vpb]

irod в сообщении #1295571 писал(а):

Но я их научился решать без особого понимания почему так можно делать, т.е. просто технику освоил.

Знаете, я сейчас вообще-то много писать не могу, возможно напишу завтра. Если у Вас одна из проблем, состоит в том, что Вы не понимаете смысла производимых действий, когда "считаете" производные и интегралы, то тут можно помочь так. Есть такая книжка Я.Б.Зельдович, Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике, 2-е изд., 1963. Книжка эта, в некотором роде, спорная, там никакой строгости нет. Учебником матана она не является. Но там на пальцах и очень понятно объясняется, что такое производная и интеграл, с чем и зачем их едят. Это, так сказать, "пред-матан". В таком качестве эта книга, что называется, пользуется заслуженной популярностью. В юности мне эта книга была очень полезна. Возьмите и почитайте ее, неторопливо и обстоятельно.

-- 05.03.2018, 17:44 --

(Я вижу, Вы написали еще одно сообщение, но я его сейчас читать уже не могу).

[vpb]

Чтоб дать Вам советы, что дальше изучать и как, надо узнать, что Вы знаете и понимаете. Давайте я Вам дам несколько простых вопросов, а пока Вы будете отвечать, поизучаю Ваши темы.

1) Почему бесконечная сумма

$$ \frac11+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1{n}+\ldots $$

--- бесконечное число, а

$$ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{n^2}+\ldots$$

--- конечное?
Тут собственно для ответа не матан нужен, а некоторая сообразительность. Матан --- он же, в сущности, про понимание
бесконечности, т.е. бесконечно большого и бесконечно малого. Пытаться строго обосновать ответ не надо, объясните на пальцах.

2) Длина окружности, как известно, $2\pi r$. Как отсюда вывести, что площадь круга $\pi r^2$, объем шара
$4\pi r^3/3$, а площадь сферы $4\pi r^2$? (Аналогично, на пальцах. А можете не на пальцах, если сумеете).

-- 06.03.2018, 00:50 --

Прочитал сейчас первую из Ваших тем. Попали Вы тогда в руки (или может в клюв ?) какому-то дятлу, зацикленному на формализме, и месяц просто потеряли. И смех и грех.

[vpb]

Изучение Ваших тем оказалось довольно небыстрым делом. В общем, займитесь пока этими тремя делами (Зельдович; 2 задачи; примеры того, что умеете). Зельдовича почитайте до половины, скажем. Думаю, на месяц Вам этого хватит.
(Сначала напишите примеры, потом, возможно параллельно, Зельдович и задачи). Если же не хватит или это для Вас вообще пройденный этап, тем лучше.

-- 06.03.2018, 03:26 --

И еще: все остальные книжки по матану пока что закройте.

[vpb]

Я как-то чересчур категоричен был в последнем сообщении. Скажем более мягко: лучше было бы, если бы Вы пока что других книжек по матану не читали. А то в голове перепутается из разных книжек. Таково мое личное мнение. Но если очень хочется, то почему бы нет.

[vpb]

Хочу на всякий случай уточнить : следует использовать именно указанное издание книжки. Позже выходила другая книжка, значительно толще (Зельдович, Яглом, Высшая математика для начинающих физиков и техников), а также современные переработанные переиздания исходной книжки. Их использовать не надо, в них напихано больше материала, с большей плотностью и гораздо менее подробно. А старое издание вполне доступно и школьнику 7 класса.

[irod]

Буду постепенно отвечать на Ваши вопросы.
1) Книжку Зельдовича скачал и начал читать. Пока ничего не могу про нее сказать, читаю только первую главу.
2) Решение примеров выше. Начну со второго.

vpb в сообщении #1295632 писал(а):

2) Длина окружности, как известно, $2\pi r$. Как отсюда вывести, что площадь круга $\pi r^2$, объем шара
$4\pi r^3/3$, а площадь сферы $4\pi r^2$? (Аналогично, на пальцах. А можете не на пальцах, если сумеете).

Расчехлю-ка я свой калькулус. Хоть я и писал выше что понимания у меня нет, но все ж я знаю что определенный интеграл - это в принципе сумма, его можно интерпретировать как площадь под кривой, причем если фигура выше $Ox$, то интеграл-площадь положительна, если ниже - отрицательна. Мою догадку по использованию интеграла тут подтверждает тот факт, что производная от площади круга по радиусу как раз равна длине окружности: $(\pi r^2)'=2\pi r$, а дифференцирование есть действие обратное интегрированию. Уравнение кривой в этом случае есть уравнение окружности $x^2+y^2=r^2$, надо выразить из него $y$. Стало быть, площадь полукруга над $Ox$ (вычислю вначале ее) равна:

$$ \int\limits^r_{-r}\sqrt{r^2-x^2}dx. $$

Попробую, особо не пускаясь в повторение изученных мною когда-то формул и техник нахождения производных, интегралов и всего такого, чисто механически зарешать это дело, нагло подсматривая формулы в интернете (без особого понимания). В упомянутом мною выше курсе Calculus: Single variable были очень удобные таблички стандартных подстановок для разных видов интегралов. В данном случае мне понадобятся формулы вот отсюда:
http://calculus.seas.upenn.edu/?n=Main. ... bstitution,
http://calculus.seas.upenn.edu/?n=Main. ... bstitution.
Ага, это у меня trigonometric substitution, тут нужна замена переменной $x=r\sin\theta$ и основная формула тригонометрии $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ (как вывести последнюю формулу я знаю - через теорему Пифагора). Тогда $dx=r\cos\theta d\theta$. Далее,

$$ \int\limits^r_{-r}\sqrt{r^2-x^2}dx= \int\limits^r_{x=-r}\sqrt{r^2-r^2\sin^2\theta}\cos\theta d\theta= r\int\limits^r_{x=-r}\cos^2\theta d\theta. $$

Используем еще одну формулу из тригонометрии (это я не помню как выводится, но подозреваю что довольно просто, как обычно отталкиваясь от рисунка с единичной окружностью):

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}. $$

Значит,

$$ \int\limits^r_{x=-r}\cos^2\theta d\theta= \frac{1}{2}\int\limits^r_{x=-r}(1+\cos 2\theta)d\theta=\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]\bigg\vert_{x=-r}^{r}. $$

Снова тригонометрия:

$$ \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=\frac{x}{r}\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right). $$

Из нашей замены переменной ранее следует, что:

$$ \theta=\arcsin(x/r). $$

Итак, наш интеграл равен:

$$ \frac{r}{2}\left[\arcsin(x/r)+\frac{x}{2r}\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)\right]\bigg\vert_{x=-r}^{r}=\frac{r}{2}(\arcsin(1)-\arcsin(-1))= $$

$$ =\frac{r}{2}(\pi/2+\pi/2)=\frac{\pi r}{2}. $$

Раз это площадь полукруга, то площадь всего круга равна $\pi r$.
Да, у меня где-то потерялся квадрат $r$, но я пока не могу найти ошибку в своих выкладках (да и Ваш вопрос ведь был чтобы проверить мое понимание).
Как дальше отсюда вывести объем шара и площадь сферы, я не знаю, но подозреваю что аналогично, только с использованием многомерного калькулуса.

Пусть это также будет примером того, какие интегралы я в принципе могу решать.

-- 06.03.2018, 17:16 --

vpb в сообщении #1295632 писал(а):

1) Почему бесконечная сумма

$$ \frac11+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1{n}+\ldots $$

--- бесконечное число

Неограниченность этой штуки я доказывал как задачу 13 листка 8 из Давидовича, мое старое решение под катом.

(Оффтоп)

13. Пусть $P_k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{k}$. Доказать, что

а) $P_{500}>5$; б) множество $M=\{P_k\mid k\in\mathbb{N}\}$ неограничено в $\mathbb{R}$.

Вспомогательная лемма 1. $\forall k\in\mathbb{N}$ $P_{4k}>P_k+1$.

Доказательство вспомогательной леммы 1.

$$ P_{2k}-P_k=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots+\frac{1}{2k}>\underbrace{\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}+\ldots+\frac{1}{2k}}_{k\ \text{раз}}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}. $$

Значит, $P_{4k}-P_{2k}>\frac{1}{2}$.
Суммируя два этих неравенства, получим что $P_{4k}-P_{k}>1$, т.е. $P_{4k}>P_k+1$.

Вспомогательная лемма 2: $P_{4^k}>k$.

Доказательство вспомогательной леммы 2 (по индукции).
База. $P_4>P_1+1>1$.
Индуктивный переход. Пусть $P_{4^{k-1}}>k-1$ для $k>1$. По вспомогательной лемме 1 и по предположению индукции, $P_{4^k}>P_{4^{k-1}}+1>k-1+1=k$.

Доказательства основных утверждений.

а) Согласно вспомогательной лемме 1, $P_{256}>P_{64}+1>P_{16}+2>P_{4}+3>P_{1}+4=5$. Следовательно, и $P_{500}>5$.

б) Рассмотрим подмножество $K=\{P_{4^k}\mid k\in\mathbb{N}\}\subset M$ (это подмножество $M$, потому что, очевидно, $4^k\in\mathbb{N}$).
Т.к. $\mathbb{N}$ неограничено сверху, мы можем взять $k$ неограниченно большим, тогда $P_{4^k}>k$ (по вспомогательной лемме 2) также будет неограниченно большим. Значит, подмножество $K\subset M$ неограничено сверху. Из неограниченности сверху подмножества следует неограниченность сверху всего множества $M$.

-- 06.03.2018, 17:17 --

По второй части Вашего первого примера отвечу позже.

[пианист]

Вклинюсь.
Извиняюсь за, наверное, глупый вопрос.
Я не знаю, что это за ШАД Яндекс и зачем он нужен, но: быстрый поиск выдает программу экзамена и список литературы.
Так почему бы по этому списку и не готовиться? Для чего усложнять?

[Yuri Gendelman]

пианист в сообщении #1295737 писал(а):

Так почему бы по этому списку и не готовиться? Для чего усложнять?

Еще древние греки знали: "В науке нет царской дороги".
Но ... хочется же!!!... А вдруг уже есть?...