Буду постепенно отвечать на Ваши вопросы.
1) Книжку Зельдовича скачал и начал читать. Пока ничего не могу про нее сказать, читаю только первую главу.
2) Решение примеров выше. Начну со второго.
2) Длина окружности, как известно,
. Как отсюда вывести, что площадь круга
, объем шара
, а площадь сферы
? (Аналогично, на пальцах. А можете не на пальцах, если сумеете).
Расчехлю-ка я свой калькулус. Хоть я и писал выше что понимания у меня нет, но все ж я знаю что определенный интеграл - это в принципе сумма, его можно интерпретировать как площадь под кривой, причем если фигура выше
, то интеграл-площадь положительна, если ниже - отрицательна. Мою догадку по использованию интеграла тут подтверждает тот факт, что производная от площади круга по радиусу как раз равна длине окружности:
, а дифференцирование есть действие обратное интегрированию. Уравнение кривой в этом случае есть уравнение окружности
, надо выразить из него
. Стало быть, площадь полукруга над
(вычислю вначале ее) равна:
Попробую, особо не пускаясь в повторение изученных мною когда-то формул и техник нахождения производных, интегралов и всего такого, чисто механически зарешать это дело, нагло подсматривая формулы в интернете (без особого понимания). В упомянутом мною выше курсе Calculus: Single variable были очень удобные таблички стандартных подстановок для разных видов интегралов. В данном случае мне понадобятся формулы вот отсюда:
http://calculus.seas.upenn.edu/?n=Main. ... bstitution,
http://calculus.seas.upenn.edu/?n=Main. ... bstitution.
Ага, это у меня trigonometric substitution, тут нужна замена переменной
и основная формула тригонометрии
(как вывести последнюю формулу я знаю - через теорему Пифагора). Тогда
. Далее,
Используем еще одну формулу из тригонометрии (это я не помню как выводится, но подозреваю что довольно просто, как обычно отталкиваясь от рисунка с единичной окружностью):
Значит,
Снова тригонометрия:
Из нашей замены переменной ранее следует, что:
Итак, наш интеграл равен:
Раз это площадь полукруга, то площадь всего круга равна
.
Да, у меня где-то потерялся квадрат
, но я пока не могу найти ошибку в своих выкладках (да и Ваш вопрос ведь был чтобы проверить мое понимание).
Как дальше отсюда вывести объем шара и площадь сферы, я не знаю, но подозреваю что аналогично, только с использованием многомерного калькулуса.
Пусть это также будет примером того, какие интегралы я в принципе могу решать.
-- 06.03.2018, 17:16 --1) Почему бесконечная сумма
--- бесконечное число
Неограниченность этой штуки я доказывал как задачу 13 листка 8 из Давидовича, мое старое решение под катом.
(Оффтоп)
13. Пусть
. Доказать, что
а)
; б) множество
неограничено в
.
Вспомогательная лемма 1.
.
Доказательство вспомогательной леммы 1.
Значит,
.
Суммируя два этих неравенства, получим что
, т.е.
.
Вспомогательная лемма 2:
.
Доказательство вспомогательной леммы 2 (по индукции).
База.
.
Индуктивный переход. Пусть
для
. По вспомогательной лемме 1 и по предположению индукции,
.
Доказательства основных утверждений.
а) Согласно вспомогательной лемме 1,
. Следовательно, и
.
б) Рассмотрим подмножество
(это подмножество
, потому что, очевидно,
).
Т.к.
неограничено сверху, мы можем взять
неограниченно большим, тогда
(по вспомогательной лемме 2) также будет неограниченно большим. Значит, подмножество
неограничено сверху. Из неограниченности сверху подмножества следует неограниченность сверху всего множества
.
-- 06.03.2018, 17:17 --По второй части Вашего первого примера отвечу позже.