Задачки для Фреда

[EUgeneUS]

AnatolyBa
не могли бы пояснить?
ИМХО: если нам удалось найти центрально симметричный потенциал для\по данной траектории, то это означает, что в этом потенциале частица (с выбранными начальными условиями) будет двигаться по этой траектории. Если не удалось, значит такой траектории в поле центральной силы существовать не может.

[AnatolyBa]

Мне это не кажется самоочевидным. Давайте возьмем какой-нибудь другой закон, например $r=a \varphi$.
Из закона сохранения момента и энергии можно формально найти потенциал. Но получим ли после этого заданное движение?
Неочевидно.

[EUgeneUS]

AnatolyBa

1. Формально найдем потенциал $U(r)$.
2. Из него также формально найдем силу $F(r)$.
3. Воспользуемся уравнением Бине, подставим туда силу.
4. Получим дифф. ур.
5. Решать его не будем, а подставим в него известное уравнение траектории (от которого плясали), убедимся, что оно является решением.

Для архимедовой спирали это проделал, никаких неожиданностей.

[AnatolyBa]

Я достаточно далек от теормеха. У меня нет сомнений в правильности решения.
Я также проверил (иным способом) случай $r=a \varphi$, тоже все сошлось.
Однако, мне кажется удивительным и не очевидным факт, что фактически для любого разумного $r(\varphi)$ существует центральный потенциал, который обеспечивает данное движение (ведь найти потенциал из закона сохранения момента и энергии можно для любого $r(\varphi)$)
Буду думать

[fred1996]

AnatolyBa
Мне кажется, что ваши сомнения связаны вот с какой штукой.
Обычно при изучении потенциалов центральных сил останавливаются на потенциалах $-\alpha r^n$
Или каких-нибудь других простых монотонных функциях. Для таких потенциалов траектории движения относительно просты. Но ведь никто на не мешает забабахать потенциал вообще какого угодно вида. И тогда в решении получим все что угодно. Если у нас задана достаточно гладкая функция $r(\varphi)$, то в принципе никто на не мешает локально придумать такой потенциал, который обеспечит данное поведение кривой. По крайней мере мы можем написать дифур для потенциала, который удовлетворяет такому поведению функции $r(\varphi)$ Спасибо EUgeneUS за уравнение Бине. Первый раз вижу. С его помощью можно придумать еще всякоразные забавные потенциалы и траектории. Есть поле порезвиться. Потенциал же в принципе не обязан быть везде монотонным к примеру.

[EUgeneUS]

fred1996 в сообщении #1288650 писал(а):

С его помощью можно придумать еще всякоразные забавные потенциалы и траектории. Есть поле порезвиться. Потенциал же в принципе не обязан быть везде монотонным к примеру.

Даже монотонные функционалы могут приводить к забавностям.
В английской вики, например, есть случай кругового неосевого движения: когда траектория окружность, но центр окружности не совпадает с центром силы.

[pogulyat_vyshel]

просто вот в такой ситуации:

EUgeneUS в сообщении #1288176 писал(а):

в задаче говорится, что обнаружили одну какую-то частицу, которая движется по логарифмической спирали, а не о том, что все частицы (с любыми скоростями) движутся так.

некорректно вообще говорить о потенциале

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel
Поясните, пожалуйста, в чем некорректность?
1. В том, что сила может оказаться непотенциальной? Это требует другое условие задачи: сила центральная. Да, Вы выше совершенно справедливо отметили, что существуют разные определения центральных сил, и не любое приводит к тому, что сила потенциальна. С этим замечанием согласен.
2. Или в том, что рассматривая одну частицу мы можем найти потенциальную энергию для неё, но не потенциал?
3. Или в чём-то другом?

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1288736 писал(а):

Вы выше совершенно справедливо отметили, что существуют разные определения центральных сил,

А можно ознакомиться с парочкой определений? В английской Вики центральная сила однозначно определяется как зависящая только от расстояния до центра (и направленная от/к центру).

[pogulyat_vyshel]

EUgeneUS в сообщении #1288736 писал(а):

Поясните, пожалуйста, в чем некорректность?

Потенциал (потенциальная энергия), по определению, задается в некоторой области конфигурационного пространства и определяет там силовое поле. У вас есть только одна единственная траектория, как вы сами говорите, в области у вас ни чего не определено и никакого силового поля нет.

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel в сообщении #1288739 писал(а):

в области у вас ни чего не определено и никакого силового поля нет.

Определено, что сила - центральная, а для неё потенциал существует. (Про варианты определения ц.с. обсудили выше).

-- 31.01.2018, 10:20 --

То есть, если расписать условия подробно:

1. Известно, что частица двигается под действием силы, которая:
а. Зависит (для данной частицы, да) только от радиуса (функциональная зависимость неизвестная).
б. Направлена всегда к центру\от центра.

2. Известна траектория этой частицы.

(1) обеспечивает существование потенциала.
(2 ) обеспечивает, что для данной частицы мы можем найти её потенциальную энергию во всей области пространства, где определена траектория.

Нет?

[pogulyat_vyshel]

Я, пожалуй с вами соглашусь. Вот там выше был выписан потенциал, он определен корректно во всей плоскости. В выражение для потенциала входит константа $L$. Если в этом силовом поле запустить частицу с кин моментом равным $L$ и другие нач условия выбрать правильно, то мы получим ровно эту спираль. Ok

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel в сообщении #1288756 писал(а):

Если в этом силовом поле запустить частицу с кин моментом равным $L$ и другие нач условия выбрать правильно, то мы получим ровно эту спираль.

Не просто частицу, а ровно такую же частицу. Так как мы так ничего и не знаем откуда берется сила, то не знаем от каких свойств частицы она зависит. Это, конечно, отличает найденный потенциал от, например, привычного электростатического потенциала, который дает потенциальную энергию для любых частиц, если знать их заряд.

Однако, для частицы, не отличимой от "пробной", найдя потенциал, мы можем найти траектории уже для любых начальных условий.

[pogulyat_vyshel]

Ну-с запилим еще что-нибуТь

По горизонтальному совершенно шероховатому полу катится с постоянной скоростью вдоль прямой однородный тонкий обруч массы $m$ радиуса $r$. При какой минимальной скорости центра обруча данное движение устойчиво?

[fred1996]

У меня получилось $v=\sqrt{\frac{gr}{8}}$
Решал практически школьными методами.