Задачки для Фреда

[fred1996]

Пусть у нас вначале монетка вращалась по оси под малым углом $\alpha$ относительно центральной оси.
Тогда можно записать угловой момент в виде:
$L=(\frac12 mr^2\cos^2\alpha+\frac14 mr^2\sin^2\alpha)\omega$
А кинетическая энергия будет:
$K=\frac12(\frac12 mr^2\cos^2\alpha+\frac14 mr^2\sin^2\alpha)\omega^2$
Здесь в скобках записан $I=I_1\cos^2\alpha+I_2\sin^2\alpha$

Заметим, что это положение вращения при максимальном угле нутации $\alpha$. То есть будем считать, что это амплитуда нутации.
Соответственно в этом положении угловая скорость нутации равна нулю.

Теперь посмотрим, что у нас будет при нулевом угле нутации, так сказать в положении равновесия.

Теперь у нас вращение происходит по главной оси, но перпендикулярно ей угловая скорость нутации принимает максимальное значение.
Обозначим эти две угловые скорости за $\omega_1$ и $\omega_2$
Тогда угловой момент можно вычислить по формуле:
$L^2=L_1^2+L_2^2= (\frac12 mr^2)^2\omega_1^2+(\frac14 mr^2)^2\omega_2^2$
А кинетическую энергию:
$K=\frac12 (\frac12 mr^2\omega_1^2+\frac14 mr^2\omega_2^2)$

Поскольку у нас оба закона сохранения работают, а углы малы, можно составить два уравнения:
$(2-\alpha^2)^2\omega^2=4\omega_1^2+\omega_2^2$
$(2-\alpha^2)\omega2=2\omega_1^2+\omega_2^2$
Исключаем ненужную $\omega_1$, получаем:
$((4-2\alpha^2)-(2-\alpha^2)^2)\omega^2=\omega_1^2$
Или с учетом малости $\alpha$ получаем $\omega_2=\sqrt{2}\omega\alpha$
Отсюда угловая частота нутаций (малых колебаний) $\Omega=\sqrt{2}\omega$

[pogulyat_vyshel]

первое, что приходит в голову, это то, что в вашем решении не учтена прецессия

[fred1996]

pogulyat_vyshel в сообщении #1274782 писал(а):

первое, что приходит в голову, это то, что в вашем решении не учтена прецессия

Я как раз об этом и думаю. Просто не знаю, как ее учесть.

[pogulyat_vyshel]

у меня элементарного решения нет

спойлер:

(Оффтоп)

Пусть $S$ -- центр диска и $Sxyz$ -- связанная с ним система координат (ось $Sz$ перпендикулярна плоскости диска), а $SXYZ$ -- неподвижная система координат. $\theta,\varphi,\psi$ -- углы Эйлера: угол нутации, угол собственного вращения, угол прецессии соответственно.

Кинетическая энергия (она же лагранжиан) имеет вид

$$T=\frac{A}{2}\Big(\dot\psi^2\sin^2\theta+\dot\theta^2\Big)+\frac{B}{2}\Big(\dot\psi \cos\theta+\dot\varphi\Big)^2,\quad A=mr^2/4,\quad B=mr^2/2.$$

И еще два циклических первых интеграла:

$$\frac{\partial T}{\partial \dot\psi}=A\dot\psi\sin^2\theta+B(\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi)\cos\theta =k,$$

$$\frac{\partial T}{\partial \dot\varphi}=B(\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi)=c.$$

Функция Рауса:

$$R=\frac{A}{2}\dot\theta^2-W,\quad W=\frac{(k-c\cos\theta)^2}{2A\sin^2\theta}.$$

Невозмущенное вращение:

$$\theta=\pi/2,\quad \dot\varphi=\omega,\quad\dot\psi=0\Longrightarrow k=0,\quad c=B\omega.$$

Остается линеризовать систему с лагранжианом $R$ в окрестности $\theta=\pi/2$

[fred1996]

pogulyat_vyshel
А углы Эйлера - это всегда собственное вращение, прецессия и нутация? Или только в случае определенных симметрий?
Когда симметрии нет, мы можем ведь наблюдать эффект Джанибекова, который выглядит посложнее. Я видел тут его обсуждение, но так до конца не разобрался.

[amon]

Хотел прикопаться к предыдущей задаче pogulyat_vyshel, дескать, тут два осциллятора с одинаковой частотой, но перечитал условие, и понял, что так поставленная задача действительно имеет только приведенное решение. Посему пожертвую экзаменационной задачкой. Всё равно, ее слишком математической объявили и она частично потырена из какого-то задачника.

В начальный момент углах квадрата со стороной $a$ находятся четыре точечных абсолютно голодных крокодила. Каждый из них собирается съесть своего соседа справа и бежит к нему с постоянной по модулю скоростью $v$ в направлении текущего положения соседа.
Вопрос для детей: какое расстояние пробежит каждый крокодил до того, как начнётся взаимное поедание.
Вопрос для первокурсников: сколько времени будут бежать крокодилы.
Вопрос для аспирантов: пусть крокодил имеет массу $m$ и коэффициент трения о поверхность $k$. Какое расстояние пробегут крокодилы до того, как сорвутся в занос.
Дополнительный вопрос. Решить задачу для восьми крокодилов, расположенных в вершинах правильного восьмиугольника.

[EtCetera]

amon в сообщении #1274995 писал(а):

В начальный момент углах квадрата со стороной $a$ находятся четыре точечных абсолютно голодных крокодила. Каждый из них собирается съесть своего соседа справа и бежит к нему с постоянной по модулю скоростью $v$ в направлении текущего положения соседа.
Вопрос для детей: какое расстояние пробежит каждый крокодил до того, как начнётся взаимное поедание.
Вопрос для первокурсников: сколько времени будут бежать крокодилы.

Обобщение для начальной конфигурации в виде правильного $n$-угольника рассмотрено в теме «Задачка а ля "линия погони"».

amon в сообщении #1274995 писал(а):

Вопрос для аспирантов: пусть крокодил имеет массу $m$ и коэффициент трения о поверхность $k$. Какое расстояние пробегут крокодилы до того, как сорвутся в занос.

Интересно и эту задачу решить для правильного $n$-угольника.

[amon]

EtCetera в сообщении #1274996 писал(а):

Обобщение для начальной конфигурации в виде правильного $n$-угольника рассмотрено в теме «Задачка а ля "линия погони"» .

Мы, физики, такое решение бы не зачли (по крайней мере, сразу), и долго мучили бы решившего разными ехидными вопросами. Очень уж в лоб, не элегантно и "картины мира" (не люблю выражение "физический смысл") не видно.

[fred1996]

Я эту задачку тоже даю по кинематике на обычных занятиях по физике. А сам с ней столкнулся 6 классе в виде 4-х черепах, преследующих друг друга. Задачка была дана по телевизору вместе с другой задачкой подсилу шестиклассникам. Задачку я решил методом соображения.
Ну а для аспирантов у меня ответ такой.
Пусть у нас радиус описанной вокруг правильного n-угольника $r_0$, а скорость крокодилов $V_0$. Тогда нетрудно посчитать в полярных координатах $(r,\alpha)$ траекторию одного из крокодилов. На самом деле для ответа нам потребуется его расстояние до центра окружности:
$r=r_0-v_0\cos\beta$, и его угловая скорость $\omega=\frac{v_0\sin\beta}{r_0-v_0\sin\beta t}$
После несложных вычислений получаем полное ускорение $a=\frac{v_0^2\cos\beta}{r_0-v_0\sin\beta t}=kg$

Здесь $\beta=2\pi/n$

[amon]

fred1996 в сообщении #1275193 писал(а):

А сам с ней столкнулся 6 классе в виде 4-х черепах, преследующих друг друга. Задачка была дана по телевизору вместе с другой задачкой подсилу шестиклассникам. Задачку я решил методом соображения.

Такое впечатление, что Вы наступили на все грабли, заботливо припасённые в этой задачке для несчастных кандидатов в аспиранты. Дело в том, что в шестом классе её решить невозможно (если, конечно, Вы к шестому классу не постигли основы дифференциального исчисления). Можно только угадать правильный ответ из неправильных соображений. Начнем с простого. Какое расстояние пробежали то ли черепахи, то ли крокодилы, стоявшие в вершинах квадрата? А в вершинах треугольника?

[fred1996]

amon
Послушайто, то что я спросоня неправильно набрал формулы, ни о чем не говорит.
Просто набирал их не считая.
Я просто поправлю формулы:
$\beta=\pi/n$
$r=r_0-v_0\sin \beta t$
$\omega=\frac{v_0\cos \beta}{r-v_0\sin \beta t}$
Ускорение вроде правильно набрал.
Для четырех черепах мне и в 6 классе хватило соображалки понять, что только преследующая черепаха сокращает расстояние, а преследуемая нет. Хотя я тогда не имел понятия о бесконечно малых. Может быть решение я и выдал математически не строгое, но интуитивно верное.
Ну а считать проекции скоростей на направления - это то, чему я и учу школьников сразу в кинематике.

[amon]

fred1996 в сообщении #1275237 писал(а):

Для четырех черепах мне и в 6 классе хватило соображалки понять, что только преследующая черепаха сокращает расстояние, а преследуемая нет.

Это почему? Преследуемая черепаха увеличивает расстояние в случае квадрата, и уменьшает в случае треугольника. Почему в первом случае это не учитывается, а во втором - учитывается.

fred1996 в сообщении #1275193 писал(а):

На самом деле для ответа нам потребуется его расстояние до центра окружности

А с чего Вы решили, что это расстояние равно радиусу кривизны траектории? Ведь в формулу $\frac{v^2}{R}$ входит не полярный радиус, а радиус кривизны.

[fred1996]

amon в сообщении #1275245 писал(а):

fred1996 в сообщении #1275237 писал(а):

Для четырех черепах мне и в 6 классе хватило соображалки понять, что только преследующая черепаха сокращает расстояние, а преследуемая нет.

Это почему? Преследуемая черепаха увеличивает расстояние в случае квадрата, и уменьшает в случае треугольника. Почему в первом случае это не учитывается, а во втором - учитывается.

В случае четырех черепах предследуемая черепаха никак не меняет расстояние, потому что всегда двигается перпендикулярно радиус- вектору между черепахами. В остальных случаях проекция ее скорости на этот вектор не нулевая. Если черепах 3, она отрицательная, если больше пяти, положительная. Но еще проще рассматривать проекцию этой скорости на вектор, исходящий из центра симметрии. Тогда длина этого вектора уменьшается с постоянной скоростью, что и отображено в формуле в полярных координатах.

fred1996 в сообщении #1275193 писал(а):

На самом деле для ответа нам потребуется его расстояние до центра окружности

Цитата:

А с чего Вы решили, что это расстояние равно радиусу кривизны траектории? Ведь в формулу $\frac{v^2}{R}$ входит не полярный радиус, а радиус кривизны.

Посмотрите повнимаетльнее на формулу ускорения. Она не содержит то, о чем вы говорите.
Грубо говоря пераметры собственных ускорений можно сосчитать следующим образом, если пользоваться декартовыми координатами:
$a_x=\ddot{x}$, $a_y=\ddot{y}$
$a^2=\ddot{x}^2+\ddot{y}^2$
Решение у нас уже есть в полярных координатах, поэтому мы можем в явном виде написать его через
$x=r\cos \alpha$ и $y=r\sin \alpha$

А можно через чуть более сложную формулу ускорения в полярных координатах:
$a^2= \ddot{r}^2+r^2\omega^4+r^2\dot{\omega}^2+4\dot{r}^2\omega^2+4r\dot{r}\omega\dot{\omega}-4r\ddot{r}\omega^2$
Эту формулу можно и самому вывести в качестве упражнения.
Короче, после подстановок и упрощений я и получил
$a=\frac{v_0^2\cos\alpha}{r_0-v_0\sin\alpha t}$

Ну и радиус кривизны всегда можно вычислить например из уравнения:
$\ddot{x}^2+\ddot{y}^2=(\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2}{R})^2+\frac{(\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y})^2}{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$

[amon]

fred1996 в сообщении #1275283 писал(а):

Но еще проще рассматривать проекцию этой скорости на вектор, исходящий из центра симметрии.

Который из векторов? Видимо, имеется в виду перпендикуляр к середине стороны? С $a=\frac{v_0^2}{r_0-v_0t\sin\alpha}$ согласен (с точностью до коэффициента в числителе и для квадрата), но спрашивали не это, а какое расстояние пробежит черепаха.

[fred1996]

amon
Все то вам разжуй и в рот положи.
$d=\frac{a}{1-\cos(2\pi/n)}$
И чем вам мое ускорение не угодило?
$a=\frac{v^2\cos \beta}{r_0-v\sin \beta t}, \beta=\pi/n$
Я его честно посчитал.