Задачки для Фреда

[fred1996]

svv
Да, решил не ту задачу.

[pogulyat_vyshel]

спойлер

(Оффтоп)

геометрия

Свяжем с твердым телом декартову систему координат $Oxyz$ так, что точка $O$ это центр масс (точка соединения дисков) один из дисков лежит в плоскости $yz$; другой в плоскости $xy$. Центры дисков лежат на оси $y$. Эти оси главные для оператора инерции относительно точки $O$.
Через $\boldsymbol r_i,\quad i=1,2$ обозначим радиус-векторы точек касания дисков и плоскости:

$$\boldsymbol r_1=r(\boldsymbol e_y+\cos\psi\boldsymbol e_y+\sin\psi\boldsymbol e_z);$$

$$\boldsymbol r_2=r(-\boldsymbol e_y+\cos\varphi\boldsymbol e_x+\sin\varphi\boldsymbol e_y);$$

Вектор нормали к плоскости вычисляется по формуле

$$\boldsymbol N=[\frac{d\boldsymbol r_1}{d\psi},\frac{d\boldsymbol r_2}{d\varphi}]$$

Углами $\psi,\varphi$ положение тела определяется однозначно, однако эти углы связаны между собой. Связь находится из уравнения

$$(\boldsymbol N,\boldsymbol u)=0,\quad \boldsymbol u=\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2.$$

Угловая скорость тела направлена вдоль мгновенной оси вращения: $\boldsymbol \omega=\lambda\boldsymbol u$.
Коэффициент $\lambda$ находится из уравнения

$$(\frac{d}{dt}\Big|_{\mbox{relative the frame Oxyz}}\boldsymbol N+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol N],\frac{d\boldsymbol r_2}{d\varphi})=0$$

высота центра масс находится по формуле

$$\frac{|(\boldsymbol r_1,\boldsymbol N)|}{|\boldsymbol N|}$$

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Спасибо. Очень полезная задачка. Особенно в плане связи механики с аналитической геометрии. Сразу стало ясно, как решать целый класс такого сорта задач.

[fred1996]

pogulyat_vyshel
А вы не могли бы так-же доступно расписать уравнение движения ЦТ, при движении этой колобашки по столу? Что-то мои аналитические способности опять пришли в тупик. А у вас это так красиво получается. Ну или уравнение траектории следа. Например как функции от $\varphi$

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1286851 писал(а):

расписать уравнение движения ЦТ, при движении этой колобашки по столу

$\boldsymbol v_O=-[\boldsymbol \omega,\boldsymbol r_1]$

-- 23.01.2018, 20:16 --

А, сперва невнимательно прочитал. Уравнения движения нужны. Они теперь получаются просто из интеграла энергии

$$\frac{1}{2}m|\boldsymbol v_O|^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol \omega,J_O\boldsymbol\omega)+V=const$$

[EUgeneUS]

Представим себя Ньютоном :)

Путем эксперимента в поле центральной силы обнаружена частица, которая двигается по логарифмической спирали: $r=ae^{b \varphi}$ и приближается к центру.
1. Найти потенциал.
2. Найти время, за которое частица упадет в центр

Задача решается почти что устно, чем мне и понравилась

[fred1996]

EUgeneUS
Продифференцируем разок предложенную спираль по времени:
$v_r=bae^{b\varphi}\omega=bv_t$
То есть радиальная скорость все время пропорциональна трансверсальной.
Кроме того, поскольку сила центральная, имеем сохранение углового момента: $L=mrv_t=\frac{m}{b}rv_r$
Как видно, это полная производная по времени.
То есть проинтегрировав это выражение по времени, получим $Lt=\frac{m}{2b}(r^2-r_0^2)$
Откуда сразу находится время падения на центр притяжения: $T=\frac{m}{2bL}r_0^2$
Теперь вернемся к полной энергии системы. Видно, что на бесконечности скорость частицы стремится к нулю. Поэтому полная энергия системы ноль.
Запишем кинетическую энергию:
$\frac12 m(v_r^2+r_t^2)=\frac12 m(1+b^2)v_t^2=\frac{L^2}{2m}(1+b^2)\frac{1}{r^2}$
То есть потенциал получается:
$P=-\frac{L^2}{2m}(1+b^2)\frac{1}{r^2}$

Пусть у нас движение началось в момент, когда $\varphi=0$. Тогда $r_0=a$
Как видно, в задаче недостаточно задать форму спирали. Нужно еще знать угловой момент и массу частицы

[pogulyat_vyshel]

из чего вытекает, что данная сила не обладает потенциалом

[EUgeneUS]

fred1996 в сообщении #1287857 писал(а):

Пусть у нас движение началось в момент, когда $\varphi=0$. Тогда $r_0=a$
Как видно, в задаче недостаточно задать форму спирали. Нужно еще знать угловой момент и массу частицы

Из вида траектории (логарифическая спираль, даже не нужно знать параметры спирали $a$ и $b$) сразу получается вид потенциальной энергии: $U(r)=-\frac{\alpha}{r^2}$, где $\alpha$ не зависит от координат. Чтобы найти $\alpha$, да, нужно знать что-то про скорость или момент импульса частицы.

-- 28.01.2018, 15:31 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1287955 писал(а):

из чего вытекает, что данная сила не обладает потенциалом

Не могли бы пояснить? Насколько помню, все центральные силы потенциальны

[wrest]

pogulyat_vyshel в сообщении #1287955 писал(а):

из чего вытекает, что данная сила не обладает потенциалом

Тогда она не центральная, т.к. по определению центральные силы это такие, которые направлены параллельно ннаправлению на центр и зависят только от расстояния до центра (и не зависят от величины или направления скорости и т.п.) а такие силы все потенциальные.

[EUgeneUS]

fred1996 в сообщении #1287857 писал(а):

Откуда сразу находится время падения на центр притяжения: $T=\frac{m}{2bL}r_0^2$

БТВ, если знаем скорость частицы (модуль и направление), то можно переписать без массы: $T=\frac{r_0}{2v_{r0}}$

[pogulyat_vyshel]

wrest в сообщении #1288047 писал(а):

Тогда она не центральная, т.к. по определению центральные силы это такие, которые направлены параллельно ннаправлению на центр и зависят только от расстояния до центра (и не зависят от величины или направления скорости и т.п.

это как вам будет угодно, определения центральной силы бывают разными. Важно, что сила, зависящая от скорости не может быть потенциальной

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel в сообщении #1288107 писал(а):

Важно, что сила, зависящая от скорости не может быть потенциальной

Конечно.
Но она и не зависит от скорости.
Обратите внимание: в задаче говорится, что обнаружили одну какую-то частицу, которая движется по логарифмической спирали, а не о том, что все частицы (с любыми скоростями) движутся так.

[pogulyat_vyshel]

Понял. Странная постановка задачи.

[AnatolyBa]

Не сочтите за занудство, но мне кажется необходимо еще доказать корректность задачи, т. е. доказать, что логарифмическая спираль (факт, которым мы пользуемся) это не обман.
Доказательство, конечно, элементарное, но все-таки мне кажется это необходимый шаг.