2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 15  След.
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение15.01.2018, 23:54 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
svv
Да, решил не ту задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение16.01.2018, 21:30 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
спойлер

(Оффтоп)

геометрия

Свяжем с твердым телом декартову систему координат $Oxyz$ так, что точка $O$ это центр масс (точка соединения дисков) один из дисков лежит в плоскости $yz$; другой в плоскости $xy$. Центры дисков лежат на оси $y$. Эти оси главные для оператора инерции относительно точки $O$.
Через $\boldsymbol r_i,\quad i=1,2$ обозначим радиус-векторы точек касания дисков и плоскости:
$$\boldsymbol r_1=r(\boldsymbol e_y+\cos\psi\boldsymbol  e_y+\sin\psi\boldsymbol e_z);$$
$$\boldsymbol r_2=r(-\boldsymbol e_y+\cos\varphi\boldsymbol  e_x+\sin\varphi\boldsymbol e_y);$$
Вектор нормали к плоскости вычисляется по формуле
$$\boldsymbol N=[\frac{d\boldsymbol r_1}{d\psi},\frac{d\boldsymbol r_2}{d\varphi}]$$
Углами $\psi,\varphi$ положение тела определяется однозначно, однако эти углы связаны между собой. Связь находится из уравнения
$$(\boldsymbol N,\boldsymbol u)=0,\quad \boldsymbol u=\boldsymbol r_1-\boldsymbol r_2.$$
Угловая скорость тела направлена вдоль мгновенной оси вращения: $\boldsymbol \omega=\lambda\boldsymbol u$.
Коэффициент $\lambda$ находится из уравнения
$$(\frac{d}{dt}\Big|_{\mbox{relative the frame Oxyz}}\boldsymbol N+[\boldsymbol \omega,\boldsymbol N],\frac{d\boldsymbol r_2}{d\varphi})=0$$
высота центра масс находится по формуле
$$\frac{|(\boldsymbol r_1,\boldsymbol N)|}{|\boldsymbol N|}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение17.01.2018, 23:21 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
pogulyat_vyshel
Спасибо. Очень полезная задачка. :appl: Особенно в плане связи механики с аналитической геометрии. Сразу стало ясно, как решать целый класс такого сорта задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение23.01.2018, 18:33 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
pogulyat_vyshel
А вы не могли бы так-же доступно расписать уравнение движения ЦТ, при движении этой колобашки по столу? Что-то мои аналитические способности опять пришли в тупик. А у вас это так красиво получается. Ну или уравнение траектории следа. Например как функции от $\varphi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение23.01.2018, 18:37 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fred1996 в сообщении #1286851 писал(а):
расписать уравнение движения ЦТ, при движении этой колобашки по столу

$\boldsymbol v_O=-[\boldsymbol \omega,\boldsymbol r_1]$

-- 23.01.2018, 20:16 --

А, сперва невнимательно прочитал. Уравнения движения нужны. Они теперь получаются просто из интеграла энергии
$$\frac{1}{2}m|\boldsymbol v_O|^2+\frac{1}{2}(\boldsymbol \omega,J_O\boldsymbol\omega)+V=const$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение24.01.2018, 17:41 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Представим себя Ньютоном :)

Путем эксперимента в поле центральной силы обнаружена частица, которая двигается по логарифмической спирали: $r=ae^{b \varphi}$ и приближается к центру.
1. Найти потенциал.
2. Найти время, за которое частица упадет в центр

Задача решается почти что устно, чем мне и понравилась :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение27.01.2018, 22:59 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
EUgeneUS
Продифференцируем разок предложенную спираль по времени:
$v_r=bae^{b\varphi}\omega=bv_t$
То есть радиальная скорость все время пропорциональна трансверсальной.
Кроме того, поскольку сила центральная, имеем сохранение углового момента: $L=mrv_t=\frac{m}{b}rv_r$
Как видно, это полная производная по времени.
То есть проинтегрировав это выражение по времени, получим $Lt=\frac{m}{2b}(r^2-r_0^2)$
Откуда сразу находится время падения на центр притяжения: $T=\frac{m}{2bL}r_0^2$
Теперь вернемся к полной энергии системы. Видно, что на бесконечности скорость частицы стремится к нулю. Поэтому полная энергия системы ноль.
Запишем кинетическую энергию:
$\frac12 m(v_r^2+r_t^2)=\frac12 m(1+b^2)v_t^2=\frac{L^2}{2m}(1+b^2)\frac{1}{r^2}$
То есть потенциал получается:
$P=-\frac{L^2}{2m}(1+b^2)\frac{1}{r^2}$

Пусть у нас движение началось в момент, когда $\varphi=0$. Тогда $r_0=a$
Как видно, в задаче недостаточно задать форму спирали. Нужно еще знать угловой момент и массу частицы

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение28.01.2018, 10:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
из чего вытекает, что данная сила не обладает потенциалом

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение28.01.2018, 15:30 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
fred1996 в сообщении #1287857 писал(а):
Пусть у нас движение началось в момент, когда $\varphi=0$. Тогда $r_0=a$
Как видно, в задаче недостаточно задать форму спирали. Нужно еще знать угловой момент и массу частицы


Из вида траектории (логарифическая спираль, даже не нужно знать параметры спирали $a$ и $b$) сразу получается вид потенциальной энергии: $U(r)=-\frac{\alpha}{r^2}$, где $\alpha$ не зависит от координат. Чтобы найти $\alpha$, да, нужно знать что-то про скорость или момент импульса частицы.

-- 28.01.2018, 15:31 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1287955 писал(а):
из чего вытекает, что данная сила не обладает потенциалом


Не могли бы пояснить? Насколько помню, все центральные силы потенциальны :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение28.01.2018, 15:59 


05/09/16
11468
pogulyat_vyshel в сообщении #1287955 писал(а):
из чего вытекает, что данная сила не обладает потенциалом

Тогда она не центральная, т.к. по определению центральные силы это такие, которые направлены параллельно ннаправлению на центр и зависят только от расстояния до центра (и не зависят от величины или направления скорости и т.п.) а такие силы все потенциальные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение28.01.2018, 16:37 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
fred1996 в сообщении #1287857 писал(а):
Откуда сразу находится время падения на центр притяжения: $T=\frac{m}{2bL}r_0^2$


БТВ, если знаем скорость частицы (модуль и направление), то можно переписать без массы: $T=\frac{r_0}{2v_{r0}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение28.01.2018, 19:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
wrest в сообщении #1288047 писал(а):
Тогда она не центральная, т.к. по определению центральные силы это такие, которые направлены параллельно ннаправлению на центр и зависят только от расстояния до центра (и не зависят от величины или направления скорости и т.п.


это как вам будет угодно, определения центральной силы бывают разными. Важно, что сила, зависящая от скорости не может быть потенциальной

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение29.01.2018, 07:06 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
pogulyat_vyshel в сообщении #1288107 писал(а):
Важно, что сила, зависящая от скорости не может быть потенциальной


Конечно.
Но она и не зависит от скорости.
Обратите внимание: в задаче говорится, что обнаружили одну какую-то частицу, которая движется по логарифмической спирали, а не о том, что все частицы (с любыми скоростями) движутся так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение29.01.2018, 09:31 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Понял. Странная постановка задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение30.01.2018, 08:42 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Не сочтите за занудство, но мне кажется необходимо еще доказать корректность задачи, т. е. доказать, что логарифмическая спираль (факт, которым мы пользуемся) это не обман.
Доказательство, конечно, элементарное, но все-таки мне кажется это необходимый шаг.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 224 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 15  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group