2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.
 
 Задачки для Фреда
Сообщение06.12.2017, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3271
ФТИ им. Иоффе СПб
Legal note: Фред - собирательный образ человека, знающего физику, но не занимающегося ей профессионально. К fred1996 это имя прямого отношения не имеет. Предполагается, что в этой теме будут задачки, не тянущие на настоящие олимпиадные, но забавные с разных точек зрения.

Одна такая задачка пришла в голову в связи с темой про вращательный двигатель, которая, видимо, скоро отправится в Пургаторий. Итак, маленький шарик (материальная точка) массы $m$ движется со скоростью $v$ по горизонтальному проволочному колечку радиуса $r$ (сила тяжести перпендикулярна плоскости колечка и направлена вдоль оси $z$). Центр колечка находится на оси $z.$ Кроме того, шарик соединен невесомым нерастяжимым стержнем длиной $l$ с началом координат (естественно, $l\ge r$). Стержень свободно вращается вокруг начала координат по всем направлениям. В момент времени $t=0$ колечко мгновенно испаряется. Опишите дальнейшее движение шарика.

IMHO, задачка на олимпиадную не тянет, поскольку для школьника она слишком сложная, а для студента - простая, поскольку решается стандартными средствами. В некоторых комбинациях радиуса и скорости она имеет простое приближенное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение06.12.2017, 17:05 


05/09/16
3571
amon
При скорости $v=v_0$, продолжит вращение как будто колечко не испарилось.
При $v=v_0+\Delta v$, где $\Delta v \ll v_0$ будет продолжать вращаться, плоскость вращения немного приподнимется и будет колебаться по высоте. При $v=v_0- \Delta v$, где $\Delta v \ll v_0$ будет вращаться, плоскость вращения немного опустится и будет колебаться по высоте.
Если отличие большие, то мне кажется предсказать трудно. По крайней мере, если $r \ll l$ и $v \gg v_0$ то плоскость вращения станет почти вертикальной (а если $r \to 0$, то просто вертикальной, если хватит запаса энергии. а если не хватит -- ну будет маятник обычный). При $v=0$ будет опять же маятник обычный, а если при этом $r \ll l$ -- то математический. То есть вариантов, как мне кажется, много.
Совершенно точно можно сказать, что при $v=0$ и $r=0$, двигаться не будет.
Везде предполагаем место крепления стержня выше чем шарик в нулевой момент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение06.12.2017, 18:11 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
Похожую задачу я всегда предлагаю своим олимпиадникам.
У нас имеется конус, поставленный на вершину. И внутри конуса вращается маленький шарик без трения.
Различие только в форме поверхности. В предлагаемой задаче это будет не конус, а шар. Что принципиального значения не имеет. Задача из серии центральных сил (потенциала).
Имеет стандартное решение в виде применения ЗСЭ и ЗСМИ. Что дает нам как и в случае гравитационной задачи значение минимального и максимального расстояния до оси вращения (а значит и по высоте), а так же скорости в этих точках. Действительно, Состояние шарика в начальный момент и будет одним из этих двух положений. При определенных соотношениях начальных параметров возможны замкнутые траектории. А при движении, мало отличающимся от кругового, даже посчитать частоту колебаний, поскольку ввиду квазилинейности это просто будут гармонические колебания.

-- 06.12.2017, 07:19 --

wrest в сообщении #1272622 писал(а):
Везде предполагаем место крепления стержня выше чем шарик в нулевой момент.

Это требование совсем не обязательно. Ведь с помощью проволоки мы просто задали начальные условия в задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение07.12.2017, 16:42 


05/09/16
3571
fred1996 в сообщении #1272639 писал(а):
В предлагаемой задаче это будет не конус, а шар. Что принципиального значения не имеет.

Принципиальное значение имеет другое: в большом шаре маленький шарик может упасть сверху если его скорость недостаточна, а в случае со стержнем - не может.
fred1996 в сообщении #1272639 писал(а):
Это требование совсем не обязательно.

Ну это и не требования, просто мои рассуждения мне кажутся справедливыми именно в этом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение07.12.2017, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3271
ФТИ им. Иоффе СПб
Есть два "хороших" предельных случая: скорость равна первой космической и скорость - один оборот за 5 лет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение07.12.2017, 21:02 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
wrest
Ну это вы уже придираетесь. У нас вращение происходит по поверхности воображаемого шара. Что и обеспечивает невесомый стержень.

-- 07.12.2017, 10:12 --

amon
Ну насчет одного оборота за 5 лет вы загнули. Такого в этой задаче в принципе быть не может. В крайнем случае мы имеем малые колебания в районе точки равновесия. Которые сводятся к квазиэллиптическим орбитами. Квазигармонические колебания с одинаковой частотой и разной амплитудой в двух перпендикулярных направлениях.
Ну а первая космическая скорость дает нам вращение в плоскости, почти проходящей через центр. Интерес представляет скорость прецессии этой плоскости, поскольку в общем случае орбита не замкнута, а при каждом обороте чуток сдвигается. Пожалуй это самый интересный момент в этой задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение07.12.2017, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3271
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1272959 писал(а):
Ну насчет одного оборота за 5 лет вы загнули.
Имеется в виду скорость шарика по ещё не испарившемуся кольцу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение08.12.2017, 00:01 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
А, тогда это будет второй тип интересной прецессии.
Надо частоту качаний со средней угловой скоростью. Без формул пока сложно оценить.
В первом приближении похоже, что эти угловые частоты относятся как частота колебания математического маятника для малых амплитуд с частотой с амплитудой заданного начального отклонения. По-моему для $\pi/2$ это порядка 5%. Хотя, очевидно это грубая оценка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение08.12.2017, 22:15 
Аватара пользователя


31/08/17
716
Однородный диск массы $M$ радиуса $r$ ставят вертикально на горизонтальную совершенно шероховатую плоскость. На вершину диска кладут точечную массу $m$, которая начинает соскальзывать без трения с диска с малой начальной скоростью. Через $\varphi$ обозначим угол между вертикалью, проходящей через центр диска и радиусом диска, направленным на массу. При каком угле $\varphi$ масса оторвется от поверхности диска?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение08.12.2017, 23:57 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
pogulyat_vyshel
Не поверите, только в эту субботу задал эту задачку своему олимпиаднику. Правд в чуток более простом варианте с гладкой поверхностью.
Ну да теперь мы умеем решать и с негладкими.
Здесь процедура такая.
Находим следующие величины: скорость диска, горизонтальные и вертикальные составляющие скорости точки из 3-х уравнений (от угловой скорости я уже избавился):
1. $\frac12 mv_x^2+\frac12 mv_y^2+\frac34 Mv^2=mgr(1-\cos\alpha)$
2. ЗС "обобщенного импульса" дает нам несколько другое уравнение:
$\frac32 Mv=mv_x$
3. Уравнение кинематической связи
$\tg\alpha=\frac{v_y}{v+v_x}$
Все эти функции зависят явным образом от $\alpha$
Дифференцируем разок по времени и вспоминаем, что $\frac{d\alpha}{dt}=\frac{v}{r}$
Получаем все ускорения как функции только $\alpha$

Остается по известным векторам скоростей и ускорений в декартовой системе вычислить тангенциальное и нормальное ускорение тела. И вспомнить, что нормальное ускорение есть сумма прекции ускорения гравитации на нормаль скорости и реакции опоры. В точке отрыва реакция опоры равна нулю. То есть $a_n=\left\lvert\vec{a}\times\vec{v}\right\rvert=gv_x$

Это я изложил что называется шаг за шагом, как бы я решал.
Красивая задачка. Обязательно возьму на вооружение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение09.12.2017, 21:42 
Аватара пользователя


31/08/17
716
fred1996 в сообщении #1273332 писал(а):
ЗС "обобщенного импульса" дает нам несколько другое уравнение:
$\frac32 Mv=mv_x$


и как вы своим ученикам объясняете откуда взялся такого сорта интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение10.12.2017, 04:14 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
Взаимодействие точки с диском только по нормали.
Поэтому диск может закручиватья только силой трения $F$
Пусть горизонтальная сила между диском и точкой $F_x$
Тогда имеем следующие динамические уравнения и уравнения связи:
$$\begin{cases}
mdv_x=F_xdt\\
Mdv=-F_xdt+Fdt\\
Id\omega=-Frdt\\
d\omega=\frac1r dv\\
I=\frac12 Mr^2\\
\end{cases}$$
Что после подстановок дает:
$$\begin{cases}
mdv_x=F_xdt\\
Mdv=-F_xdt+Fdt\\
\frac12 Mdv=-Fdt\\
\end{cases}$$

Подставляем 1. и 3. В 2.:
$\frac32 Mdv+mdv_x=0$
Проинтегрируем и, подставляя начальные условия, получим $\frac32 Mv+mv_x=0$
Здесь везде учитывается положительное направление вправо и положительное вращение по часовой стрелке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение13.12.2017, 22:42 
Аватара пользователя


31/08/17
716
Монету (однородный тонкий диск массы $m$ радиуса $r$) закручивают в невесомости (в космосе) вокруг неподвижной оси, проходящей через центр монеты, перпендикулярно ее плоскости до угловой скорости $\omega\ne 0$ и слегка возмущают данное вращательное движение. Найти частоту малых колебаний угла между плоскостью монеты и исходной неподвижной осью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение14.12.2017, 03:11 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
У меня вышло $\sqrt{2}\omega}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки для Фреда
Сообщение14.12.2017, 09:05 
Аватара пользователя


31/08/17
716
$2\omega$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 141 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group