Задачки для Фреда

[amon]

Legal note: Фред - собирательный образ человека, знающего физику, но не занимающегося ей профессионально. К fred1996 это имя прямого отношения не имеет. Предполагается, что в этой теме будут задачки, не тянущие на настоящие олимпиадные, но забавные с разных точек зрения.

Одна такая задачка пришла в голову в связи с темой про вращательный двигатель, которая, видимо, скоро отправится в Пургаторий. Итак, маленький шарик (материальная точка) массы $m$ движется со скоростью $v$ по горизонтальному проволочному колечку радиуса $r$ (сила тяжести перпендикулярна плоскости колечка и направлена вдоль оси $z$). Центр колечка находится на оси $z.$ Кроме того, шарик соединен невесомым нерастяжимым стержнем длиной $l$ с началом координат (естественно, $l\ge r$). Стержень свободно вращается вокруг начала координат по всем направлениям. В момент времени $t=0$ колечко мгновенно испаряется. Опишите дальнейшее движение шарика.

IMHO, задачка на олимпиадную не тянет, поскольку для школьника она слишком сложная, а для студента - простая, поскольку решается стандартными средствами. В некоторых комбинациях радиуса и скорости она имеет простое приближенное решение.

[wrest]

amon
При скорости $v=v_0$, продолжит вращение как будто колечко не испарилось.
При $v=v_0+\Delta v$, где $\Delta v \ll v_0$ будет продолжать вращаться, плоскость вращения немного приподнимется и будет колебаться по высоте. При $v=v_0- \Delta v$, где $\Delta v \ll v_0$ будет вращаться, плоскость вращения немного опустится и будет колебаться по высоте.
Если отличие большие, то мне кажется предсказать трудно. По крайней мере, если $r \ll l$ и $v \gg v_0$ то плоскость вращения станет почти вертикальной (а если $r \to 0$, то просто вертикальной, если хватит запаса энергии. а если не хватит -- ну будет маятник обычный). При $v=0$ будет опять же маятник обычный, а если при этом $r \ll l$ -- то математический. То есть вариантов, как мне кажется, много.
Совершенно точно можно сказать, что при $v=0$ и $r=0$, двигаться не будет.
Везде предполагаем место крепления стержня выше чем шарик в нулевой момент.

[fred1996]

Похожую задачу я всегда предлагаю своим олимпиадникам.
У нас имеется конус, поставленный на вершину. И внутри конуса вращается маленький шарик без трения.
Различие только в форме поверхности. В предлагаемой задаче это будет не конус, а шар. Что принципиального значения не имеет. Задача из серии центральных сил (потенциала).
Имеет стандартное решение в виде применения ЗСЭ и ЗСМИ. Что дает нам как и в случае гравитационной задачи значение минимального и максимального расстояния до оси вращения (а значит и по высоте), а так же скорости в этих точках. Действительно, Состояние шарика в начальный момент и будет одним из этих двух положений. При определенных соотношениях начальных параметров возможны замкнутые траектории. А при движении, мало отличающимся от кругового, даже посчитать частоту колебаний, поскольку ввиду квазилинейности это просто будут гармонические колебания.

-- 06.12.2017, 07:19 --

wrest в сообщении #1272622 писал(а):

Везде предполагаем место крепления стержня выше чем шарик в нулевой момент.

Это требование совсем не обязательно. Ведь с помощью проволоки мы просто задали начальные условия в задаче.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1272639 писал(а):

В предлагаемой задаче это будет не конус, а шар. Что принципиального значения не имеет.

Принципиальное значение имеет другое: в большом шаре маленький шарик может упасть сверху если его скорость недостаточна, а в случае со стержнем - не может.

fred1996 в сообщении #1272639 писал(а):

Это требование совсем не обязательно.

Ну это и не требования, просто мои рассуждения мне кажутся справедливыми именно в этом случае.

[amon]

Есть два "хороших" предельных случая: скорость равна первой космической и скорость - один оборот за 5 лет.

[fred1996]

wrest
Ну это вы уже придираетесь. У нас вращение происходит по поверхности воображаемого шара. Что и обеспечивает невесомый стержень.

-- 07.12.2017, 10:12 --

amon
Ну насчет одного оборота за 5 лет вы загнули. Такого в этой задаче в принципе быть не может. В крайнем случае мы имеем малые колебания в районе точки равновесия. Которые сводятся к квазиэллиптическим орбитами. Квазигармонические колебания с одинаковой частотой и разной амплитудой в двух перпендикулярных направлениях.
Ну а первая космическая скорость дает нам вращение в плоскости, почти проходящей через центр. Интерес представляет скорость прецессии этой плоскости, поскольку в общем случае орбита не замкнута, а при каждом обороте чуток сдвигается. Пожалуй это самый интересный момент в этой задаче.

[amon]

fred1996 в сообщении #1272959 писал(а):

Ну насчет одного оборота за 5 лет вы загнули.

Имеется в виду скорость шарика по ещё не испарившемуся кольцу.

[fred1996]

А, тогда это будет второй тип интересной прецессии.
Надо частоту качаний со средней угловой скоростью. Без формул пока сложно оценить.
В первом приближении похоже, что эти угловые частоты относятся как частота колебания математического маятника для малых амплитуд с частотой с амплитудой заданного начального отклонения. По-моему для $\pi/2$ это порядка 5%. Хотя, очевидно это грубая оценка.

[pogulyat_vyshel]

Однородный диск массы $M$ радиуса $r$ ставят вертикально на горизонтальную совершенно шероховатую плоскость. На вершину диска кладут точечную массу $m$, которая начинает соскальзывать без трения с диска с малой начальной скоростью. Через $\varphi$ обозначим угол между вертикалью, проходящей через центр диска и радиусом диска, направленным на массу. При каком угле $\varphi$ масса оторвется от поверхности диска?

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Не поверите, только в эту субботу задал эту задачку своему олимпиаднику. Правд в чуток более простом варианте с гладкой поверхностью.
Ну да теперь мы умеем решать и с негладкими.
Здесь процедура такая.
Находим следующие величины: скорость диска, горизонтальные и вертикальные составляющие скорости точки из 3-х уравнений (от угловой скорости я уже избавился):
1. $\frac12 mv_x^2+\frac12 mv_y^2+\frac34 Mv^2=mgr(1-\cos\alpha)$
2. ЗС "обобщенного импульса" дает нам несколько другое уравнение:
$\frac32 Mv=mv_x$
3. Уравнение кинематической связи
$\tg\alpha=\frac{v_y}{v+v_x}$
Все эти функции зависят явным образом от $\alpha$
Дифференцируем разок по времени и вспоминаем, что $\frac{d\alpha}{dt}=\frac{v}{r}$
Получаем все ускорения как функции только $\alpha$

Остается по известным векторам скоростей и ускорений в декартовой системе вычислить тангенциальное и нормальное ускорение тела. И вспомнить, что нормальное ускорение есть сумма прекции ускорения гравитации на нормаль скорости и реакции опоры. В точке отрыва реакция опоры равна нулю. То есть $a_n=\left\lvert\vec{a}\times\vec{v}\right\rvert=gv_x$

Это я изложил что называется шаг за шагом, как бы я решал.
Красивая задачка. Обязательно возьму на вооружение.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1273332 писал(а):

ЗС "обобщенного импульса" дает нам несколько другое уравнение:
$\frac32 Mv=mv_x$

и как вы своим ученикам объясняете откуда взялся такого сорта интеграл?

[fred1996]

Взаимодействие точки с диском только по нормали.
Поэтому диск может закручиватья только силой трения $F$
Пусть горизонтальная сила между диском и точкой $F_x$
Тогда имеем следующие динамические уравнения и уравнения связи:

$$\begin{cases} mdv_x=F_xdt\\ Mdv=-F_xdt+Fdt\\ Id\omega=-Frdt\\ d\omega=\frac1r dv\\ I=\frac12 Mr^2\\ \end{cases}$$

Что после подстановок дает:

$$\begin{cases} mdv_x=F_xdt\\ Mdv=-F_xdt+Fdt\\ \frac12 Mdv=-Fdt\\ \end{cases}$$

Подставляем 1. и 3. В 2.:
$\frac32 Mdv+mdv_x=0$
Проинтегрируем и, подставляя начальные условия, получим $\frac32 Mv+mv_x=0$
Здесь везде учитывается положительное направление вправо и положительное вращение по часовой стрелке.

[pogulyat_vyshel]

Монету (однородный тонкий диск массы $m$ радиуса $r$) закручивают в невесомости (в космосе) вокруг неподвижной оси, проходящей через центр монеты, перпендикулярно ее плоскости до угловой скорости $\omega\ne 0$ и слегка возмущают данное вращательное движение. Найти частоту малых колебаний угла между плоскостью монеты и исходной неподвижной осью.

[fred1996]

У меня вышло $\sqrt{2}\omega}$

[pogulyat_vyshel]

$2\omega$