Брусок на вращающемся диске (нововведение)

[Munin]

arseniiv в сообщении #1256185 писал(а):

но «вектор не зависит от систем координат» как раз к радиус-вектору-то и не относится, потому что это вещь, по построению зависящая от системы координат, как её ни зови.

Не совсем.

[arseniiv]

pogulyat_vyshel
Ну я тогда только спрошу, какой учебник открыть, чтобы найти согласное с вашим мнением определение пространства аксиальных векторов. (Вообще вы в этой теме уже долго писали, но сразу меня почему-то не поправили. И почему? )

Munin в сообщении #1256191 писал(а):

Не совсем.

Ну прекрасно, после этого сразу понятно, что именно вы хотели написать. Радиус-вектор точки — это вектор, на который надо перенести начало координат, чтобы её получить. Начало координат зависит от системы координат. К чему относится «не совсем»?

[Munin]

arseniiv в сообщении #1256196 писал(а):

Ну прекрасно, после этого сразу понятно, что именно вы хотели написать.

Слова "система координат" употребляются в нескольких разных смыслах. Сравните некоторый класс с.к., отличающихся координатными функциями, но имеющих совпадающие начала координат. Радиус-векторы в них различаются, или нет?

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1256196 писал(а):

Ну я тогда только спрошу, какой учебник открыть, чтобы найти согласное с вашим мнением определение пространства аксиальных векторов.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_star_operator
читать со слов Applied to three dimensions, the Hodge dual provides an isomorphism between axial vectors and bivectors, so each axial vector a is associated with a bivector A and vice versa, that is:[2]

[arseniiv]

Munin
Понятно, что раз от системы нужно только начало координат, в системах с совпадающими началами координат радиус-вектор будет одной и той же функцией точки.

pogulyat_vyshel
Несерьёзно. Ни там, ни в книге по ссылке [2] нет определения пространства аксиальных векторов.

-- Вт окт 17, 2017 00:56:36 --

Кстати говоря, где вы видели угловую скорость вращение в не евклидовом линейном пространстве? Это я про то, что раз мы говорим об изоморфизмах, тут они становятся, во-первых, естественными и, во-вторых, наоборот, бивектор в трёхмерии задаёт направление и плоскость вращения однозначно, а обычный вектор — только если зафиксировать ориентацию. Чем бы там в конце концов ни оказались таинственные аксиальные векторы, о которых вы говорите.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1256218 писал(а):

Понятно, что раз от системы нужно только начало координат, в системах с совпадающими началами координат радиус-вектор будет одной и той же функцией точки.

Ну вот, а в механике это один из самых часто встречающихся случаев.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):

$\vec{R}$ радиус вектор бруска в неподвижной системе.
$\vec{r}$ радиус вектор бруска в системе диска.

Радиус-вектор у бруска один, поскольку начала неподвижной и связанной систем координат совпадают. А вот координаты бруска разные: в неподвижной системе $X$ и $Y$, а в связанной $x$ и $y$. Поэтому комплексное представление радиус-вектора в неподвижной системе (в ваших буквах) - это $R=X+iY$ , а в связанной - это $r=x+iy$, причем

$R=re^{i\omega t}\qquad(1)$

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):

Почему обозначение со стрелкой?
Без стрелки это комплексное число на комплексной плоскости.
А мы имеем дело с векторами.

$R$ и $r$- это комплексные числа (даже со стрелкой, которая здесь не нужна). Я понимаю, вам очень хочется, чтобы это были не комплексные числа, а что-то другое. Нет, это обычные комплексные числа.

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):

Вектор ускорения в системе диска:
$\ddot{r}=-\gamma g\frac{\dot{r}}{\mid \dot{r}\mid }$

Неправильно. Связанная с диском система отсчета неинерциальная, поэтому в уравнении движения должны быть центробежная и кориолисова сила.

Я же написал вам уравнение движения в неподвижной системе координат. Хорошо, напишу еще раз, в ваших буквах:

$\ddot R = -g\gamma\frac{\dot R-i\omega R}{|\dot R-i\omega R|}$

На всякий случай повторю: $R$ - это комплексное число. Подставьте в это уравнение соотношение (1) и получите уравнение движения в связанной системе координат ("системе диска"), для $r=x+iy$.

[pogulyat_vyshel]

Было бы неплохо расписать уравнения движения бруска относительно диска по реперу Френе траектории так как это делается тут topic121573.html
не исключено , что уравнения проинтегрировались бы

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1256268 писал(а):

Связанная с диском система отсчета неинерциальная, поэтому в уравнении движения должны быть центробежная и кориолисова сила.

Логично.
Значит запись радиус вектора $\vec{r'}=x'+jy'$ в системе диска не вполне корректна.
Попытаемся скорректрировать по классике с ортами.
Имеем координаты диска x' и y'.
Эти координаты связаны с ортами $e'_x$ и $e'_y$.
Радиус вектор в системе диска:
$\vec{r'}=x'\mathbf{e'}_x+y'\boldsymbol{e'}_y$
В системе диска орты неподвижны, значит при дифференцировании они являются константами.
Тот же самый радиус вектор в неподвижной системе через координаты диска :
$\vec{r}=x'\mathbf{e'}_x+y'\boldsymbol{e'}_y$
В неподвижной системе орты вращаются с угловой скоростью $\omega$ , значит при дифференцировании они являются функциями времени.
Перед тем как начать дифференцирование, отходим от классического представления векторов.
Для упрощения дифференцирования, избежания векторного умножения, и более наглядного представления векторов на плоскости, заменим орты в системе диска:
$\mathbf{e'}_x=e^{j\omega t}$
$\mathbf{e'}_y=je^{j\omega t}$

$\vec{r'}=(x'+jy')e^{j\omega t}\,(1)$
$\vec{r}=(x'+jy')e^{j\omega t}\,(2)$
Вектора скорости и ускорения в системе диска:
$\vec{v'}=(\dot{x}'+j\dot{y}')e^{j\omega t}\,(3)$
$\vec{w'}=(\ddot{x}'+j\ddot{y}')e^{j\omega t}\,(4)$
Вектора скорости и ускорения в неподвижной системе через вектора и скорости в системе диска:
$\vec{v}=\vec{v'}+j\omega \vec{r'}\,(5)$
составляющая с j - это не мнимая часть, она показывает, что эта составляющая вектора скорости опережает радиус вектор $\vec{r'}$ на $\frac{\pi }{2}$
$\vec{w}=\vec{w'}+2j\omega \vec{v'}-\omega ^2\vec{r'}\,(6)$
$\vec{w}=\frac{\vec{F}}{m}$

Из (6) найдём вектор ускорения в системе диска (неинерциальная система)
$\vec{w'}=\frac{\vec{F}}{m}-2j\omega \vec{v'}+\omega ^2\vec{r'}\,(7)$
$\omega ^2\vec{r'}$ - центробежное ускорение.
$-2j\omega \vec{v'}$ - ускорение Кориолиса.
-j показывает, что вектор ускорения Кориолиса отстаёт от вектора скорости в системе диска на $\frac{\pi }{2}$.
Подставляем в (7) формулы (1, 3, 4) и получаем векторное дифференциальное уравнение.
И вопрос. Как вывести аргумент вектора $\vec{F}$ для формулы (7).
Прошу помощи. Не готовую формулу. Я её видел ($\frac{\vec{V}_r}{V_r}$ ). А вывод этой формулы.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1256415 писал(а):

Значит запись радиус вектора $\vec{r'}=x'+jy'$ в системе диска не вполне корректна.

Смешались в кучу кони, люди...

Запись действительно некорректна. Но не потому, что связанная с диском система отсчета неинерциальна. А потому, что слева у вас вектор, а справа комплексное число.

Либо работайте в ортах - и тогда не засовывайте в уравнения мнимую единицу (замаскированную как $j$) и $e^{i\omega t}$, а используйте матрицу поворота. Либо используйте комплексные представления векторов - и тогда $R$ и $r$ у вас комплексные числа, поворот представлен как $e^{i\omega t}$ (тоже комплексное число), и запись $r=x+iy$ вполне корректна. Именно это я делаю всю дорогу в этой теме. Зачем нужен ваш очередной вывод уравнений движения? Я написал вам уравнение движения в неподвижной системе координат. Чтобы вывести уравнение в связанной системе, достаточно подставить в него $R=re^{i\omega t}$.

ludwig51 в сообщении #1256415 писал(а):

Как вывести аргумент вектора $\vec{F}$ для формулы (7).

Что такое "аргумент вектора"?

ludwig51 в сообщении #1256415 писал(а):

Прошу помощи. Не готовую формулу. Я её видел ($\frac{\vec{V}_r}{V_r}$ ). А вывод этой формулы.

А что вам непонятно? $\frac{\vec{V}_r}{V_r}$ - это единичный вектор относительной скорости. Сила трения скольжения противонаправлена этому вектору.

[Sergey from Sydney]

pogulyat_vyshel в сообщении #1256350 писал(а):

расписать уравнения движения бруска относительно диска по реперу Френе траектории

В связанной системе координат: пусть $\varphi$ - угол между $\vec r$ и $\vec{v_r}=\dot\vec r$. Проецируем силы (деленные на $m$) на касательную и нормаль к траектории, т.е. на $\vec{v_r}$ и перпендикуляр к нему:

$F_{\parallel}= \omega^2 (\vec r, \dot\vec r)/v-\gamma g=\omega^2 r\cos \varphi-\gamma g$
$F_\bot=-2\omega v+\omega^2 r\sin\varphi$,

где $v=|\dot\vec r|$.

Похоже на правду? Тогда $\dot v = F_{\parallel}$.

А вот со вторым уравнением я пока не разобрался. $v\dot\varphi=F_\bot$ - это, видимо, неверно, поскольку направление $\vec r$ не фиксировано в связанной системе координат.

Может быть, вот так: $v(\dot\varphi+\dot\psi)=F_{\bot}$, где $\psi$ - угол между $\vec r$ и осью $Ox$ связанной системы координат?

[Munin]

Куда подевалась традиция, что если ЗУ задаёт вопрос, то выступающий должен на него ответить?

[Someone]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1256459 писал(а):

Куда подевалась традиция

Насколько я помню, это не традиция, а специальное правило для дискуссионных разделов. Причём, речь идёт не только о вопросах заслуженных участников, но и о вопросах, заданных представителями администрации или более чем одним участником. И за его нарушение модератор может применить санкции. Вплоть до закрытия темы или переноса её в Пургаторий.

Но, вероятно, следовало напомнить вопрос.

[ludwig51]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1256478 писал(а):

речь идёт не только о вопросах заслуженных участников, но и о вопросах, заданных представителями администрации или более чем одним участником.

Если это сообщение для меня, то на чьи вопросы я не ответил?

[Munin]

Someone в сообщении #1256478 писал(а):

Насколько я помню, это не традиция, а специальное правило

Вот именно. Однако его игнорируют в данном случае как ТС, так и модераторы.

ludwig51 в сообщении #1256510 писал(а):

Если это сообщение для меня, то на чьи вопросы я не ответил?

Повторяю:

Munin в сообщении #1255164 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1255150 писал(а):

Чтобы продолжить тему, мы должны прийти к договорённости в обозначениях.
Мои предложения:
1) Комплекс-вектор (в дальнешем просто вектор, а не комплексное число) обозначаем жирным шрифтом.


Для начала, что это за объект такой.
Дайте определение, в терминах $\mathbb{R},\mathbb{C},V(K)$ и декартова произведения множеств.



Munin в сообщении #1255742 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):

не все понимают моё нововведение.


Опишите его внятно, все поймут.

Кстати, это требование игнорировать нельзя.

Надеюсь, в третий раз мой вопрос не будет проигнорирован.