2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске
Сообщение14.10.2017, 12:48 
Заслуженный участник


22/05/11
3350
Australia
Munin

Есть вектор на плоскости. В некоторой системе координат его компоненты $x$ и $y$. Комплексное число $x+iy$ я и называю "комплексное число, представляющее вектор в данной системе координат".

 Профиль  
                  
 
 Re: Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске
Сообщение14.10.2017, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске
Сообщение14.10.2017, 20:42 


22/11/13
142
Рассмотрим движение бруска с системе диска.
Изображение
Sergey from Sydney не все понимают моё нововведение. Вы второй человек в моей практике. Первый это Дробышев Николай Александрович.
Я возвращаюсь к форме записи векторов с применением j.
В принципе разницы нет. Но если математики видят i, то считают что речь идёт о комплексном исчислении.
В котором определено деление комплексных чисел, как и в электротехнике (ТОЭ).
В механике деление векторов не определено.
Применение записи векторов в форме Эйлера в механике ограничено. Только в плоскости. Деление не определено. Все операции записи являются не комплексными числами, а векторами.
Я надеюсь, что для моего рисунка уже не требуются формулы.
Но приведу коротко формулы, которые требуются для вывода траектории движения бруска в ИСО.
Из рисунка, в системе диска:
Вектор скорости $\mathbf{V'}=\mathbf{\dot{r'}}=(\dot{r}-j\omega 'r)e^{-j\varphi '}=\mathbf{V'_r}+\mathbf{V'_\tau} =V'e^{j\alpha }
$
Кинематический вектор ускорения бруска:
$\mathbf{w'}=\mathbf{\ddot{r'}}=\mathbf{\dot{V'}}=\left [ \left ( \ddot{r}-\omega '^{2}r \right )-j\left ( 2\omega '\dot{r}+\dot{\omega }'r \right ) \right ]e^{-j\varphi '}=\mathbf{w'_r}+\mathbf{w'_\tau }$
Этому вектору противостоит вектор ускорения, создаваемый силой трения скольжения.
Направление вектора силы трения скольжения противонаправлено вектору скорости в системе диска.
Динамическое равновесие $\frac{F}{m}e^{j\alpha }+\mathbf{w'}=0$
$\alpha =-(\varphi '+\arctg\frac{\omega 'r}{\dot{r}})$
Для перехода в ИСО:
$\varphi =\omega t-\varphi '$
$\mathbf{r}=re^{j\varphi }$
Жирным шрифтом обозначены вектора.
Обычным шрифтом - скаляры.

В данном примере дифференциальное уравнение не решаемо в аналитическом виде. То есть нельзя получить аналитическую зависимость $r=f(\varphi)$.
В задаче двух тел или задаче Кеплера это возможно.
Но с применением моего метода в форме Эйлера эта задача проще.
Если модераторы не против, то я приведу это простое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске
Сообщение14.10.2017, 21:34 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):
не все понимают моё нововведение.

Очень смешно. Ваше 'нововведение" на самом деле ни что иное как тривиальный прием, давно и хорошо всем известный. А то, что , как вы говорите, его не все понимают, это просто характеризует ваш круг общения. И лучше бы вам этот круг и не покидать дабы людей не смешить.

Уравнения движения в данной задаче выписываются за 5 минут хош с комплексными числами--хош нет:
$$\ddot x-x\omega^2-2\omega \dot y=-\gamma g\frac{\dot x}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}};\quad \ddot y-y\omega^2+2\omega\dot x=-\gamma g\frac{\dot y}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}},$$
где $x,y$ -- декартовы координаты бруска системы координат связанной с вращающемся диском, начало системы -- центр диска; $\omega=const$ -- угловая скорость диска; $\gamma$ -- коэффициент трения скольжения; уравнения написаны для скользящего бруска $\dot x^2+\dot y^2\ne 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске
Сообщение15.10.2017, 02:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):
не все понимают моё нововведение.

Опишите его внятно, все поймут.

Кстати, это требование игнорировать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске
Сообщение15.10.2017, 04:51 
Заслуженный участник


22/05/11
3350
Australia
ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):
не все понимают моё нововведение
Вынужден, вслед за pogulyat_vyshel, вас разочаровать: это действительно тривиальный и хорошо известный прием.

ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):
Но если математики видят i, то считают что речь идёт о комплексном исчислении.
И правильно делают. Потому что у вас именно комплексные числа (представляющие векторы в той или иной системе координат).

Кстати, уравнения, приведенные выше pogulyat_vyshel, легко можно вывести, исходя из соотношения:

$Z=ze^{i\omega t}$

где $Z$ и $z$ - это комплексные числа, представляющие радиус-вектор бруска в неподвижной и связанной системах координат соответственно (т.е., $z=x+iy$, где $x$ и $y$ - координаты бруска в связанной системе координат); $\omega=\operatorname{const}$ - угловая скорость вращения диска (не $\dot\varphi$ , которое здесь вообще не используется). Я специально использовал $Z$ и $z$ , поскольку использование в этом качестве $R$ и $r$ вы категорически не приемлете. Тогда относительная скорость бруска в связанной системе координат - это просто $\dot z$, сила трения скольжения в связанной системе координат равна $-mg\gamma \dot z/|\dot z|$, и дальше все тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске
Сообщение15.10.2017, 20:17 


22/11/13
142
Sergey from Sydney в сообщении #1255749 писал(а):
$Z=ze^{i\omega t}$

Я понимаю ваши обозначения.
Ваша формула это уравнение окружности в неподвижной системе, в котором радиус окружности является вектором(комплексом).
В моих обозначениях эта формула:
$\mathbf{r}=\mathbr{\mathbf{r'}}e^{i\omega t}$
Где, $\mathbf{r} $ радиус вектор бруска в неподвижной системе, $\mathbf{r'}$ радиус вектор бруска в системе диска.

В координатах:
$\mathbf{r}=x+iy$ в неподвижной системе.
$\mathbf{r'}=x'+iy'$ в системе диска.
Использую вашу формулировку так.
Вектор силы трения скольжения в неподвижной системе противоположен вектору скорости бруска в системе диска.
Самая сложная вещь, которая была мне непонятна. И вашу формулировку, я, похоже неправильно понял.
То есть для вывода формулы траектории движения бруска в неподвижной системе я буду использовать:
$\mathbf{\ddot{r}}=-\frac{F}{m}e^{i\arctg\frac{\dot{y}'}{\dot{x}'}}$
Сегодня у меня опять поздно. Продолжу завтра.
Но если у вас есть замечания, то прошу их привести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 02:19 
Заслуженный участник


22/05/11
3350
Australia
ludwig51 в сообщении #1255894 писал(а):
Ваша формула это уравнение окружности в неподвижной системе, в котором радиус окружности является вектором(комплексом).
Нет, это никакое не уравнение окружности. Формула

$Z=ze^{i\omega t}\qquad(1)$

- это формула перехода из связанной системы координат в неподвижную: $z=x+iy$, где $x$ и $y$ - координаты бруска в связанной системе координат в момент времени $t$. Тогда $Z=X+iY$, где $X$ и $Y$ - координаты бруска в неподвижной системе координат в тот же момент времени, вычисляется по формуле (1).

ludwig51 в сообщении #1255894 писал(а):
Вектор силы трения скольжения в неподвижной системе противоположен вектору скорости бруска в системе диска.
Самая сложная вещь, которая была мне непонятна. И вашу формулировку, я, похоже неправильно понял.
Вы поняли очень неправильно. Вектор силы трения скольжения противонаправлен вектору относительной скорости бруска (относительно диска):

$\vec F = -mg\gamma\vec v_r/|\vec v_r|$

Это векторное равенство. А вот расписать его покомпонентно вы можете в разных системах координат. Но при этом компоненты обоих векторов нужно брать в одной и той же системе координат.

ludwig51 в сообщении #1255894 писал(а):
То есть для вывода формулы траектории движения бруска в неподвижной системе я буду использовать:
$\mathbf{\ddot{r}}=-\frac{F}{m}e^{i\arctg\frac{\dot{y}'}{\dot{x}'}}$
Зачем вам этот арктангенс? Относительная скорость бруска (относительно диска) в неподвижной системе координат:

$v_a=\dot Z$
$v_t=i\omega Z$
$v_r = v_a-v_t=\dot Z-i\omega Z$

Здесь все $v$ - это комплексные числа, представляющие соответствующие векторы в неподвижной системе координат. Тогда уравнение движения в неподвижной системе координат:

$\ddot Z = -g\gamma\frac{\dot Z-i\omega Z}{|\dot Z-i\omega Z|}$

Чтобы перейти к $X$ и $Y$, подставьте в это уравнение $Z=X+iY$ и приравняйте слева и справа действительные и мнимые части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 16:14 


22/11/13
142
Sergey from Sydney в сообщении #1255960 писал(а):
Вектор силы трения скольжения противонаправлен вектору относительной скорости бруска (относительно диска):

$\vec F = -mg\gamma\vec v_r/|\vec v_r|$


Спасибо.
Придётся мне кое что переделать.
В моей форме записи $\vec v_r=\mathbf{\dot{r}'}$.
Связанную систему координат я называю системой диска или штрихованной системой координат, или неинерциальной системой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 19:03 


22/11/13
142
Sergey from Sydney
Продолжим.
Чтобы не использовать штрихи, применяю ваши обозначения координат.
X, Y - координаты неподвижной системы.
x, y - координаты системы диска.
$\vec{R}$ радиус вектор бруска в неподвижной системе.
$\vec{r}$ радиус вектор бруска в системе диска.
Почему обозначение со стрелкой?
Без стрелки это комплексное число на комплексной плоскости.
А мы имеем дело с векторами.
Ось Ox поворачивается относительно оси OX с угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки. Так же и для осей ординат.

Вектор ускорения в системе диска:
$\ddot{r}=-\gamma g\frac{\dot{r}}{\mid \dot{r}\mid }$
В коориднатах:
$\ddot{x}+i\ddot{y}=-\frac{\gamma g}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\dot{x}+i\dot{y})\,(1)$
Формулы перехода из системы диска в неподвижную систему.
Используем вашу формулу перехода в неподвижную систему из системы диска:
$X+iY=(x+iy)e^{i\omega t}$
Решая это векторное алгебраическое уравнение, находим:
$x=Xcos\omega t+Ysin\omega t, \,
y=Ycos\omega t-Xsin\omega t$
Продолжение следует...

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 20:26 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):
$\vec{R}$ радиус вектор бруска в неподвижной системе.
$\vec{r}$ радиус вектор бруска в системе диска.

Фразы бессмысленные. Вектор не зависит от систем координат.
ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):
Без стрелки это комплексное число на комплексной плоскости.

вам бы хоть векторную алгебру освоить, комплексные числа вас только путают еще больше
ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):
В коориднатах:
$\ddot{x}+i\ddot{y}=-\frac{\gamma g}{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\dot{x}+i\dot{y})\,(1)$

ага, а теперь сравните это с тем, что у меня написано
ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):
Продолжение следует...

а может пора пойти учиться уже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 20:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
pogulyat_vyshel в сообщении #1256173 писал(а):
Фразы бессмысленные. Вектор не зависит от систем координат.
Радиус-то-вектор зависит от положения начала координат. Это ведь не нормальный вектор — вместо него должна в идеале использоваться точка аффинного пространства или многообразия (в котором случае уж точно никакого радиус-вектора не нарисуешь изначально).

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 20:42 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
arseniiv в сообщении #1256176 писал(а):
Радиус-то-вектор зависит от положения начала координат.

какое это имеет отношение к обсуждаемому вопросу? где вы видите в тексте системы с разными началами?

-- 16.10.2017, 21:46 --

arseniiv в сообщении #1256176 писал(а):
вместо него должна в идеале использоваться точка аффинного пространства или многообразия (в котором случае уж точно никакого радиус-вектора не нарисуешь изначально).


да, да, это замечание про многообразия особенно уместно в этом треде, еще ченьть вспомните -- обязательно напишите

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 20:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
pogulyat_vyshel в сообщении #1256177 писал(а):
какое это имеет отношение к обсуждаемому вопросу? где вы видите в тексте системы с разными началами?
Нигде я их здесь не вижу, но «вектор не зависит от систем координат» как раз к радиус-вектору-то и не относится, потому что это вещь, по построению зависящая от системы координат, как её ни зови.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 21:03 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
arseniiv в сообщении #1256185 писал(а):
Нигде я их здесь не вижу, но «вектор не зависит от систем координат» как раз к радиус-вектору-то и не относится, потому что это вещь, по построению зависящая от системы координат, как её ни зови.


Понятно, т. е. даже после того, как я вам указал на то, что тут речь идет о системах с общим началом, вы продолжаете настаивать на том, что радиус-вектор зависит от систем координат. Вы начали лепить ошибки, либо в лучшем случае оффтоп

-- 16.10.2017, 22:17 --

arseniiv в сообщении #1255179 писал(а):
Как я понимаю, человек просто рассматривает плоскость, которой принадлежат векторы, как $\mathbb C$. Проблемы такого рассмотрения в том, что перемешиваются векторы из этой плоскости, изоморфной $\mathbb C$ как вещественное линейное пространство, и элементы спинорной группы, представлением которой является $\mathbb C$. Если так хочется укорачивать выкладки, используя выражения с экспонентами, следует рассматривать алгебру Клиффорда; ну а вообще можно просто дать оператору поворота в данной плоскости имя, скажем, $R(\varphi)$, и всё тоже будет вполне коротко. Хотя угловая скорость хоть так, хоть так всё равно бивектор. Короче, обычное смешение и придумывание названий от незнания нужных структур.

Вот эти высказывания, кстати, тоже абсолютно не по делу, причем все. Угловая скорость это по определению не бивектор, а аксиальный вектор, учебник просто надо сперва открыть, а потом эрудицией блистать. Другое дело, что при наличии метрики есть изоморфизм между пространством бивекторов, и пространством аксиальных векторов. Однако, в стандартных формулах (кинетические моменты, моменты сил, формула Эйлера) используют аксиальный вектор угловой скорости, а ни разу не бивектор. Ну не по делу высказываетесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group