А комплексных чисел в моём нововведении нет. Это только похожесть.
В общем, как ни считайте, всё равно велосипед получается. Всё хорошее в данном случае уже придумано.
Например возьмём
произвольное евклидово пространство. Возьмём пару линейно независимых векторов
в нём. Мы можем рассмотреть описать многие вещи насчёт плоскости
с помощью
разложимого бивектора
(см. внешняя алгебра / алгебра Грассмана, и тут евклидовость никак не задействована), в том числе и вращение в этой плоскости — тут на внешней алгебре добавляется ещё одна операция, произведение Клиффорда, с помощью которого мы можем, например, определить экспоненту (как ряд). Квадрат
получается отрицателен, и
. Можно показать, что если
,
— это поворот
в плоскости
в направлении от
к
на угол
. Дальше можно брать производные и прочее, учитывая только некоммутативность клиффордового умножения. (Комментарий: подпространство элементов вида
, где
— скаляры, вместе с таким умножением изоморфно
, и вот тут то, что вы пытались сделать. Если линейно отображать векторы
(если
— ортонормированная система, достаточно умножить слева на
, т. к. тогда
) в такие элементы
, поворот даже сведётся к обычному для комплексных чисел умножению того и сего, но для произвольного вектора и вращения, которое может иметь не одну инвариантную плоскость, так не сделать, потому надо сразу привыкнуть к общей формуле и не злоупотреблять указанным представлением, как делается, когда и векторы плоскости, и операторы поворота в ней засовываются в одно и то же
.)
Однако в простых случаях мы можем просто обозначить оператор поворота в какой угодно интересующей нас ориентированной плоскости на угол
как
и, постулировав пару очевидных вещей типа
,
и
, обойтись без всяких хитрых алгебраических структур (как и недопиленных велосипедов с привязкой к базису!).