2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
arseniiv в сообщении #1256185 писал(а):
но «вектор не зависит от систем координат» как раз к радиус-вектору-то и не относится, потому что это вещь, по построению зависящая от системы координат, как её ни зови.

Не совсем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21649
Уфа
pogulyat_vyshel
Ну я тогда только спрошу, какой учебник открыть, чтобы найти согласное с вашим мнением определение пространства аксиальных векторов. (Вообще вы в этой теме уже долго писали, но сразу меня почему-то не поправили. И почему? :wink:)

Munin в сообщении #1256191 писал(а):
Не совсем.
Ну прекрасно, после этого сразу понятно, что именно вы хотели написать. Радиус-вектор точки — это вектор, на который надо перенести начало координат, чтобы её получить. Начало координат зависит от системы координат. К чему относится «не совсем»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
arseniiv в сообщении #1256196 писал(а):
Ну прекрасно, после этого сразу понятно, что именно вы хотели написать.

Слова "система координат" употребляются в нескольких разных смыслах. Сравните некоторый класс с.к., отличающихся координатными функциями, но имеющих совпадающие начала координат. Радиус-векторы в них различаются, или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 22:37 


31/08/17
300
arseniiv в сообщении #1256196 писал(а):
Ну я тогда только спрошу, какой учебник открыть, чтобы найти согласное с вашим мнением определение пространства аксиальных векторов.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_star_operator
читать со слов Applied to three dimensions, the Hodge dual provides an isomorphism between axial vectors and bivectors, so each axial vector a is associated with a bivector A and vice versa, that is:[2]

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21649
Уфа
Munin
Понятно, что раз от системы нужно только начало координат, в системах с совпадающими началами координат радиус-вектор будет одной и той же функцией точки.

pogulyat_vyshel
Несерьёзно. Ни там, ни в книге по ссылке [2] нет определения пространства аксиальных векторов.

-- Вт окт 17, 2017 00:56:36 --

Кстати говоря, где вы видели угловую скорость вращение в не евклидовом линейном пространстве? Это я про то, что раз мы говорим об изоморфизмах, тут они становятся, во-первых, естественными и, во-вторых, наоборот, бивектор в трёхмерии задаёт направление и плоскость вращения однозначно, а обычный вектор — только если зафиксировать ориентацию. Чем бы там в конце концов ни оказались таинственные аксиальные векторы, о которых вы говорите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение16.10.2017, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
arseniiv в сообщении #1256218 писал(а):
Понятно, что раз от системы нужно только начало координат, в системах с совпадающими началами координат радиус-вектор будет одной и той же функцией точки.

Ну вот, а в механике это один из самых часто встречающихся случаев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение17.10.2017, 01:28 
Заслуженный участник


22/05/11
2580
Australia
ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):
$\vec{R}$ радиус вектор бруска в неподвижной системе.
$\vec{r}$ радиус вектор бруска в системе диска.
Радиус-вектор у бруска один, поскольку начала неподвижной и связанной систем координат совпадают. А вот координаты бруска разные: в неподвижной системе $X$ и $Y$, а в связанной $x$ и $y$. Поэтому комплексное представление радиус-вектора в неподвижной системе (в ваших буквах) - это $R=X+iY$ , а в связанной - это $r=x+iy$, причем

$R=re^{i\omega t}\qquad(1)$

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):
Почему обозначение со стрелкой?
Без стрелки это комплексное число на комплексной плоскости.
А мы имеем дело с векторами.
$R$ и $r$- это комплексные числа (даже со стрелкой, которая здесь не нужна). Я понимаю, вам очень хочется, чтобы это были не комплексные числа, а что-то другое. Нет, это обычные комплексные числа.

ludwig51 в сообщении #1256139 писал(а):
Вектор ускорения в системе диска:
$\ddot{r}=-\gamma g\frac{\dot{r}}{\mid \dot{r}\mid }$
Неправильно. Связанная с диском система отсчета неинерциальная, поэтому в уравнении движения должны быть центробежная и кориолисова сила.

Я же написал вам уравнение движения в неподвижной системе координат. Хорошо, напишу еще раз, в ваших буквах:

$\ddot R = -g\gamma\frac{\dot R-i\omega R}{|\dot R-i\omega R|}$

На всякий случай повторю: $R$ - это комплексное число. Подставьте в это уравнение соотношение (1) и получите уравнение движения в связанной системе координат ("системе диска"), для $r=x+iy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение17.10.2017, 15:10 


31/08/17
300
Было бы неплохо расписать уравнения движения бруска относительно диска по реперу Френе траектории так как это делается тут topic121573.html
не исключено , что уравнения проинтегрировались бы

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение17.10.2017, 20:15 


22/11/13
139
Sergey from Sydney в сообщении #1256268 писал(а):
Связанная с диском система отсчета неинерциальная, поэтому в уравнении движения должны быть центробежная и кориолисова сила.

Логично.
Значит запись радиус вектора $\vec{r'}=x'+jy'$ в системе диска не вполне корректна.
Попытаемся скорректрировать по классике с ортами.
Имеем координаты диска x' и y'.
Эти координаты связаны с ортами $e'_x$ и $e'_y$.
Радиус вектор в системе диска:
$\vec{r'}=x'\mathbf{e'}_x+y'\boldsymbol{e'}_y$
В системе диска орты неподвижны, значит при дифференцировании они являются константами.
Тот же самый радиус вектор в неподвижной системе через координаты диска :
$\vec{r}=x'\mathbf{e'}_x+y'\boldsymbol{e'}_y$
В неподвижной системе орты вращаются с угловой скоростью $\omega$ , значит при дифференцировании они являются функциями времени.
Перед тем как начать дифференцирование, отходим от классического представления векторов.
Для упрощения дифференцирования, избежания векторного умножения, и более наглядного представления векторов на плоскости, заменим орты в системе диска:
$\mathbf{e'}_x=e^{j\omega t}$
$\mathbf{e'}_y=je^{j\omega t}$

$\vec{r'}=(x'+jy')e^{j\omega t}\,(1)$
$\vec{r}=(x'+jy')e^{j\omega t}\,(2)$
Вектора скорости и ускорения в системе диска:
$\vec{v'}=(\dot{x}'+j\dot{y}')e^{j\omega t}\,(3)$
$\vec{w'}=(\ddot{x}'+j\ddot{y}')e^{j\omega t}\,(4)$
Вектора скорости и ускорения в неподвижной системе через вектора и скорости в системе диска:
$\vec{v}=\vec{v'}+j\omega \vec{r'}\,(5)$
составляющая с j - это не мнимая часть, она показывает, что эта составляющая вектора скорости опережает радиус вектор $\vec{r'}$ на $\frac{\pi }{2}$
$\vec{w}=\vec{w'}+2j\omega \vec{v'}-\omega ^2\vec{r'}\,(6)$
$\vec{w}=\frac{\vec{F}}{m}$

Из (6) найдём вектор ускорения в системе диска (неинерциальная система)
$\vec{w'}=\frac{\vec{F}}{m}-2j\omega \vec{v'}+\omega ^2\vec{r'}\,(7)$
$\omega ^2\vec{r'}$ - центробежное ускорение.
$-2j\omega \vec{v'}$ - ускорение Кориолиса.
-j показывает, что вектор ускорения Кориолиса отстаёт от вектора скорости в системе диска на $\frac{\pi }{2}$.
Подставляем в (7) формулы (1, 3, 4) и получаем векторное дифференциальное уравнение.
И вопрос. Как вывести аргумент вектора $\vec{F}$ для формулы (7).
Прошу помощи. Не готовую формулу. Я её видел ($\frac{\vec{V}_r}{V_r}$ ). А вывод этой формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение18.10.2017, 01:44 
Заслуженный участник


22/05/11
2580
Australia
ludwig51 в сообщении #1256415 писал(а):
Значит запись радиус вектора $\vec{r'}=x'+jy'$ в системе диска не вполне корректна.
Смешались в кучу кони, люди...

Запись действительно некорректна. Но не потому, что связанная с диском система отсчета неинерциальна. А потому, что слева у вас вектор, а справа комплексное число.

Либо работайте в ортах - и тогда не засовывайте в уравнения мнимую единицу (замаскированную как $j$) и $e^{i\omega t}$, а используйте матрицу поворота. Либо используйте комплексные представления векторов - и тогда $R$ и $r$ у вас комплексные числа, поворот представлен как $e^{i\omega t}$ (тоже комплексное число), и запись $r=x+iy$ вполне корректна. Именно это я делаю всю дорогу в этой теме. Зачем нужен ваш очередной вывод уравнений движения? Я написал вам уравнение движения в неподвижной системе координат. Чтобы вывести уравнение в связанной системе, достаточно подставить в него $R=re^{i\omega t}$.

ludwig51 в сообщении #1256415 писал(а):
Как вывести аргумент вектора $\vec{F}$ для формулы (7).
Что такое "аргумент вектора"?

ludwig51 в сообщении #1256415 писал(а):
Прошу помощи. Не готовую формулу. Я её видел ($\frac{\vec{V}_r}{V_r}$ ). А вывод этой формулы.
А что вам непонятно? $\frac{\vec{V}_r}{V_r}$ - это единичный вектор относительной скорости. Сила трения скольжения противонаправлена этому вектору.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение18.10.2017, 04:06 
Заслуженный участник


22/05/11
2580
Australia
pogulyat_vyshel в сообщении #1256350 писал(а):
расписать уравнения движения бруска относительно диска по реперу Френе траектории
В связанной системе координат: пусть $\varphi$ - угол между $\vec r$ и $\vec{v_r}=\dot\vec r$. Проецируем силы (деленные на $m$) на касательную и нормаль к траектории, т.е. на $\vec{v_r}$ и перпендикуляр к нему:

$F_{\parallel}= \omega^2 (\vec r, \dot\vec r)/v-\gamma g=\omega^2 r\cos \varphi-\gamma g$
$F_\bot=-2\omega v+\omega^2 r\sin\varphi$,

где $v=|\dot\vec r|$.

Похоже на правду? Тогда $\dot v = F_{\parallel}$.

А вот со вторым уравнением я пока не разобрался. $v\dot\varphi=F_\bot$ - это, видимо, неверно, поскольку направление $\vec r$ не фиксировано в связанной системе координат.

Может быть, вот так: $v(\dot\varphi+\dot\psi)=F_{\bot}$, где $\psi$ - угол между $\vec r$ и осью $Ox$ связанной системы координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение18.10.2017, 04:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
Куда подевалась традиция, что если ЗУ задаёт вопрос, то выступающий должен на него ответить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение18.10.2017, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15168
Новомосковск

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1256459 писал(а):
Куда подевалась традиция
Насколько я помню, это не традиция, а специальное правило для дискуссионных разделов. Причём, речь идёт не только о вопросах заслуженных участников, но и о вопросах, заданных представителями администрации или более чем одним участником. И за его нарушение модератор может применить санкции. Вплоть до закрытия темы или переноса её в Пургаторий.

Но, вероятно, следовало напомнить вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение18.10.2017, 13:35 


22/11/13
139

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1256478 писал(а):
речь идёт не только о вопросах заслуженных участников, но и о вопросах, заданных представителями администрации или более чем одним участником.

Если это сообщение для меня, то на чьи вопросы я не ответил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Брусок на вращающемся диске (нововведение)
Сообщение18.10.2017, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
Someone в сообщении #1256478 писал(а):
Насколько я помню, это не традиция, а специальное правило

Вот именно. Однако его игнорируют в данном случае как ТС, так и модераторы.

ludwig51 в сообщении #1256510 писал(а):
Если это сообщение для меня, то на чьи вопросы я не ответил?

Повторяю:
    Munin в сообщении #1255164 писал(а):
    ludwig51 в сообщении #1255150 писал(а):
    Чтобы продолжить тему, мы должны прийти к договорённости в обозначениях.
    Мои предложения:
    1) Комплекс-вектор (в дальнешем просто вектор, а не комплексное число) обозначаем жирным шрифтом.

    Для начала, что это за объект такой.
    Дайте определение, в терминах $\mathbb{R},\mathbb{C},V(K)$ и декартова произведения множеств.

    Munin в сообщении #1255742 писал(а):
    ludwig51 в сообщении #1255669 писал(а):
    не все понимают моё нововведение.

    Опишите его внятно, все поймут.

    Кстати, это требование игнорировать нельзя.

Надеюсь, в третий раз мой вопрос не будет проигнорирован.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group