Брусок на вращающемся диске (нововведение)

[ludwig51]

Someone в сообщении #1253913 писал(а):

И вообще, Вы напрасно используете комплексную форму записи уравнений. Потому что в ней сила $F$ тоже должна быть комплексной.

Вектор силы трения и есть вектор, противоположный направлению радиус вектору.
В векторной форме записи $\bar{F}=-F\frac{\bar{r}}{r}$
Учитывая, что радиус вектор в комплексной форме или в форме Эйлера:
$\bar{r}=re^{j\varphi }$,
получим вектор силы в комплексной форме:
$\bar{F}=-Fe^{j\varphi }$
А модуль силы трения покоя или скольжения $F=F_{\text{тр.}}=k_{\text{тр.}}mg$
Задачу можно решить и без применения комплексной формы записи. По старинке, через орты. Результат будет одинаков.
Затраты на выводы сложнее.

-- 08.10.2017, 17:23 --

Someone в сообщении #1253913 писал(а):

Я сам в детстве на "чёртовом колесе
" крутился, так что выяснил это на собственном опыте (когда я учился в школе, в Москве, в Парке культуры и отдыха имени Горького такой аттракцион был).

А я крутился на карусели. И на меня давила сила ограждения, направленная к центру карусели и равная по модулю $mw^2R$. По отношению к зрителям я двигался по окружности. А как двигался человек по отношению к зрителям , который сидел в середине карусели без верёвки и ограждения?

-- 08.10.2017, 17:32 --

Sergey from Sydney в сообщении #1253926 писал(а):

В вашем соотношении (2): $R=re^{i\varphi}$ $R$ и $r$ - это комплексные числа

Нет у меня такого.
У меня:

$\bar{r}=re^{j\varphi}$
r модуль
$\bar{r}$ вектор или комплекс.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1254097 писал(а):

Вектор силы трения и есть вектор, противоположный направлению радиус вектору.
В векторной форме записи $\bar{F}=-F\frac{\bar{r}}{r}$

Это неверно. Сила трения покоя, когда брусок неподвижен относительно диска, действительно будет противонаправлена его радиусу-вектору. А сила трения скольжения, когда брусок движется относительно диска, будет противонаправлена его относительной скорости, а не радиусу-вектору, т.е. у нее будет составляющая, перпендикулярная радиусу-вектору.

ludwig51 в сообщении #1254097 писал(а):

У меня:

$\bar{r}=re^{j\varphi}$
r модуль
$\bar{r}$ вектор или комплекс.

Если у вас $\varphi=\omega t$, где $\omega$ - угловая скорость вращения диска, то в формуле $R=re^{i\varphi}$ $R$ и $r$ комплексные. Действительным $r$ будет, только если брусок неподвижен относительно диска.

Если же $\varphi$ - угол между радиусом-вектором и некоторым фиксированном направлением (например, осью $X$ лабораторной системы координат), то $r$ (обобщенная координата) будет действительным. И ваше решение было бы верным, если бы сила трения в самом деле всегда была противонаправлена радиусу-вектору бруска. Тогда и момент импульса сохранялся бы, поскольку на брусок действовала бы центральная сила притяжения. Но сила трения - не центральная.

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1254170 писал(а):

А сила трения скольжения, когда брусок движется относительно диска, будет противонаправлена его относительной скорости

Относительно чего?

[StaticZero]

ludwig51 в сообщении #1254273 писал(а):

Относительно чего?

Диска.

[ludwig51]

Учтём замечания специалистов.

Радиус вектор в лабораторной СО (далее ИСО)
$\bar{r}=re^{j\varphi }\,(1)$
$\varphi $ угол между направлением на брусок и осью OX.
r расстояние от центра диска до бруска или модуль радиус вектора (скаляр).
Вектор ускорения в ИСО.
два раза продифференцируем (1), учитывая, что $w=\operatorname{const}$ - скорость вращения диска.
$\ddot{\bar{r}}=(\ddot{r}-w^2r+2jw\dot{r})e^{j\varphi }\,(2)$
В ИСО на брусок действует одна сила - сила трения скольжения, которая вызывает ускорение бруска:
$\ddot{\bar{r}}=\frac{\bar{F}}{m}\,(3)$
Сравним модули из (2) и (3) и получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:
$(\ddot{r}-w^2r)^2+(2w\dot{r})^2=\left ( \frac{F}{m} \right )^2$
Решая это уравнение численными методами, получим зависимость $r=f(\varphi )$
И в заключение направление действия силы трения скольжения от оси OX:
$\alpha=\[\frac{\bar{F}}{F}=\varphi +\arctg\frac{2w\dot{r}}{\ddot{r}-w^2r}\]$

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1254573 писал(а):

$\varphi $ угол между направлением на брусок и осью OX. [лабораторной системы координат]

Тогда при чем здесь

ludwig51 в сообщении #1254573 писал(а):

учитывая, что $w=\operatorname{const}$ - скорость вращения диска

У вас $\varphi\neq\omega t$. И при дифференцировании не будет вылезать $\omega$, а будут $\dot\varphi$ и $\ddot\varphi$.

-- Ср окт 11, 2017 09:29:18 --

ludwig51 в сообщении #1254573 писал(а):

И в заключение направление действия силы трения скольжения от оси OX:
$\alpha=\[\frac{\bar{F}}{F}=\varphi +\arctg\frac{2w\dot{r}}{\ddot{r}-w^2r}\]$

Сила трения скольжения направлена против вектора относительной скорости бруска (относительно диска) $\vec v_r$. Относительная скорость - это векторная разность абсолютной скорости $\vec v_a$ и переносной скорости $\vec v_t$. У вас

$v_a=\dot R$
$v_t=i\omega R$,

где $R$ (вместо вашего $\bar r$) - комплексное число, представляющее радиус-вектор бруска в лабораторной системe координат. $\bar r$ - обозначение неудачное, поскольку чертой обозначают комплексное сопряжение.

Используя (1), получаем:

$v_r=\dot r e^{i\varphi} + ir\dot\varphi e^{i\varphi} - i\omega r e^{i\varphi}$

Поэтому компонента $\vec v_r$ вдоль радиуса-вектора бруска - это $\dot r$, а перпендикулярно ему - это $r(\dot \varphi - \omega)$.

PS. Почему вы упорно используете для угловой скорости диска $w$ вместо $\omega$, а для мнимой единицы $j$ вместо $i$?

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1254668 писал(а):

$\bar r$ - обозначение неудачное, поскольку чертой обозначают комплексное сопряжение.

$\bar r$ это вектор-комплекс. Можно обозначать и со стрелкой. По любому в механие это вектор. А форма Эйлера упрощает математическое операции с векторами в одной плоскости.
В ТОЭ комплекс обозначают с точкой. В механике с точкой это производная.
Если обозначать вектор-комплекс просто как R, то это может привести к заблуждению. Для меня R - это модуль (скаляр).

Мои обозначения круговой скорости $w$, вместо $\omega$ это ошибка набора.
В качестве мнимой единицы я использую j.
В векторной механике координаты X, Y, Z соответственно связаны с ортами i, j, k.
Я связываю в плоскости координату Y c ортом j, а X - без орта.
j это не мнимая единица, а орт.
Но правила такие же как и в ТОЭ. $j^2=-1$, $\frac{1}{j}=-j$

Отличие от ТОЭ, нет деления комплексов-векторов.
Остальное завтра. У меня уже поздно.

[ludwig51]

Sergey from Sydney
Чтобы продолжить тему, мы должны прийти к договорённости в обозначениях.
Мои предложения:
1) Комплекс-вектор (в дальнешем просто вектор, а не комплексное число) обозначаем жирным шрифтом.
Вектор совпадающий по направлению с осью ординат обозначаем:
$\mathbf{r}=jr=re^{j\frac{\pi }{2}}$
Вектор совпадающий по направлению с осью абсцис обозначаем:
$\mathbf{r}=r=re^{j0}$
Если угол между вектором $\mathbf{r}$ и осью абсцис - $\varphi $
$\mathbf{r}=re^{j\varphi}=r\cos \varphi +jr\sin \varphi$
Где r - модуль вектора $\mathbf{r}$

2) $\omega =\dot{\varphi}$ - круговая частота вращения радиус вектора $\mathbf{r}$ в ИСО
$\omega_0$ - круговая частота вращения диска в ИСО.
$\omega' =\omega_0 -\omega$ - круговая частота вращения радиус вектора $\mathbf{r'}$ в системе диска.
В системе диска вращение бруска по часовой стрелке.
$\mathbf{r'} $ и $\mathbf{r}$ это один и тот же вектор.
Только в разных системах отсчёта вращаются по разному и поэтому разные формы записи.
$\mathbf{r}=re^{j\varphi}=re^{j\omega\,t}$
$\mathbf{r'}=re^{j\varphi'}=re^{j(\omega_0-\omega)t}$

Для ясности привожу рисунок.

Я готов выслушать и ваши предложения в обозначениях.
И к Вам вопрос.
Вы были уже знакомы с таким методом в механике?
То есть представление векторов в плоскости с применением формы записи Эйлера.

[Munin]

ludwig51 в сообщении #1255150 писал(а):

Чтобы продолжить тему, мы должны прийти к договорённости в обозначениях.
Мои предложения:
1) Комплекс-вектор (в дальнешем просто вектор, а не комплексное число) обозначаем жирным шрифтом.

Для начала, что это за объект такой.
Дайте определение, в терминах $\mathbb{R},\mathbb{C},V(K)$ и декартова произведения множеств.

[arseniiv]

Как я понимаю, человек просто рассматривает плоскость, которой принадлежат векторы, как $\mathbb C$. Проблемы такого рассмотрения в том, что перемешиваются векторы из этой плоскости, изоморфной $\mathbb C$ как вещественное линейное пространство, и элементы спинорной группы, представлением которой является $\mathbb C$. Если так хочется укорачивать выкладки, используя выражения с экспонентами, следует рассматривать алгебру Клиффорда; ну а вообще можно просто дать оператору поворота в данной плоскости имя, скажем, $R(\varphi)$, и всё тоже будет вполне коротко. Хотя угловая скорость хоть так, хоть так всё равно бивектор. Короче, обычное смешение и придумывание названий от незнания нужных структур.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1255150 писал(а):

Чтобы продолжить тему, мы должны прийти к договорённости в обозначениях.

А есть, что продолжать? Вам еще что-то неясно в выводе уравнений движения?

ludwig51 в сообщении #1255150 писал(а):

То есть представление векторов в плоскости с применением формы записи Эйлера.

Мне известны комплексная плоскость и показательная форма комплексного числа.

-- Пт окт 13, 2017 10:29:39 --

arseniiv в сообщении #1255179 писал(а):

человек просто рассматривает плоскость, которой принадлежат векторы, как $\mathbb C$. Проблемы такого рассмотрения в том, что перемешиваются векторы из этой плоскости, изоморфной $\mathbb C$ как вещественное линейное пространство, и элементы спинорной группы, представлением которой является $\mathbb C$.

Но при выводе уравнений движения такая вольность допустима? Вроде бы, все получается правильно.

[arseniiv]

Всё допустимо, что даёт верный результат. Но не всё одинаково полезно и одинаково красиво (что ещё и субъективно отчасти).

[ludwig51]

Sergey from Sydney в сообщении #1255274 писал(а):

А есть, что продолжать? Вам еще что-то неясно в выводе уравнений движения?

Да, неясно.
Вы писали:

Sergey from Sydney в сообщении #1254668 писал(а):

Сила трения скольжения направлена против вектора относительной скорости бруска (относительно диска) $\vec v_r$. Относительная скорость - это векторная разность абсолютной скорости $\vec v_a$ и переносной скорости $\vec v_t$.
$v_r=\dot r e^{i\varphi} + ir\dot\varphi e^{i\varphi} - i\omega r e^{i\varphi}\,(1)$

Я понимаю ваши обозначения так:
$v_r$ вектор скорости бруска в системе диска.
$\varphi$ угол поворота бруска в неподвижной системе (ИСО), отсчитанный от оси OX.
$\omega$ круговая скорость вращения диска.
$\dot\varphi $ круговая скорость вращения радиус вектора бруска в ИСО.
$\dot r$ радиальная скорость бруска (скаляр). Она одинакова в ИСО и системе диска.
$r$ модуль радиус векторов (скаляр). Одинаков в ИСО и системе диска.

Используя мой рисунок и ваши обозначения найдем вектор скорости в системе диска:
Радиус вектор в систе диска:
$\mathbf{r'}=re^{i(\dot{\varphi}-\omega )t}$
Вектор скорости в сисме диска:
$\mathbf{\dot{r'}}=\dot{r}e^{i(\dot{\varphi}-\omega )t}+ir(\dot{\varphi}-\omega )e^{i(\dot{\varphi}-\omega )t}$
Иначе:
$\mathbf{V_r}=\mathbf{\dot{r'}}=\left [ \dot{r}+ir(\dot{\varphi}-\omega ) \right ]e^{i(\varphi-\omega t})\,(2)$
У нас с вами небольшие разногласия в формулах. (1) не соответствует (2).

Наша цель - найти траекторию движения бруска в ИСО в полярных координатах $r=f(\varphi)$.


Я с вами согласен, что вектор силы трения-скольжения противонаправлен вектору скорости в системе диска.

Из (2) найдём угол $\alpha '$ между вектором силы трения-скольжения и осью OX' в системе диска.
$\alpha '=-\left [( \dot{\varphi }-\omega )+\arctg\frac{r(\dot{\varphi }-\omega)}{\dot{r}} \right ]\,(3)$
Из (2) так же найдём вектор ускорения в системе диска.
$\mathbf{w'}=\mathbf{\ddot{r'}}\,(4)$
При дифференцировании учитываем, что $\omega = \operatorname{const}$
Используя (3) получим:
$\frac{F}{m}e^{i\alpha }=\mathbf{\ddot{r'}}$
Из этого векторного дифференциального уравнения получаем два скалярных уравнения, без векторов и комплексов.
Неизвестные в этом уравнении $\varphi$ и r.
То есть мы получили уравнение движения бруска в ИСО.
А брать производные и решать дифференциальное уравнение это дело математики.

[Sergey from Sydney]

ludwig51 в сообщении #1255432 писал(а):

Я понимаю ваши обозначения так:
$v_r$ вектор скорости бруска в системе диска.

Вы неправильно поняли. $v_r$ - это (комплексное число, представляющее) вектор относительной скорости бруска (относительно диска) в неподвижной системе координат. Это легко видеть из формул для $v_a$ и $v_t$. Чтобы перевести этот вектор в связанную с диском систему координат, $v_r$ нужно умножить на $e^{-i\omega t}$. И тогда получится почти ваша формула. Почти - потому что в показателе экспоненты должно быть $i(\varphi - \omega t)$, a нe $i(\dot\varphi - \omega)t$. Поскольку $\varphi\neq\dot\varphi t$, т.к. $\dot\varphi\neq\operatorname{const}$.

Остальные обозначения вы поняли правильно. С одним уточнением: $\varphi$ - это угол поворота не бруска, а его радиус-вектора.

-- Сб окт 14, 2017 12:22:26 --

arseniiv

Надеюсь, формулировкой "комплексное число, представляющее вектор" я не слишком сильно погрешил против математической строгости.

[Munin]

Sergey from Sydney в сообщении #1255582 писал(а):

Надеюсь, формулировкой "комплексное число, представляющее вектор" я не слишком сильно погрешил против математической строгости.

Сильно. Поэтому, прошу расшифровать.