Максимальная дальность прыжка с качелей

[Aritaborian]

(wrest, про ТеХ)

\gg: $\gg$.

[realeugene]

wrest в сообщении #1233540 писал(а):

Мне почему-то кажется, что в общем виде решения в элементарных функциях не получить

Заменой $y=\cos\alpha$ и несложными алгебраическими манипуляциями равенство производной нулю можно свести к алгебраическому уравнению восьмой степени. Ну а дальше можно ставить вопрос о том, при каких $a/h$ аналитическое решение существует.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1233557 писал(а):

Ну а дальше можно ставить вопрос о том, при каких $a/h$ аналитическое решение существует.

Наиболее интересны случаи:
1. $a/h$ - много больше единицы (прыгаем с качелей в овраг). Тут все просто.
2. $a/h$ - ноль или почти ноль. Качели проходят над поверхностью, прыгун плоский.
3. $a/h$ - порядка половины. Именно этот случай а) наиболее приближен к реальности (прыгаем на ровную поверхность, прыгун неплоский и его ц.м. выше поверхности), б) наиболее сложный.

Rusit8800
А можно все таки привести точное условие задачи? Это вот к чему. Если задача окажется оценочной, то для случая три может быть получится подобрать удобное $a/h$...

-- 14.07.2017, 18:06 --

UPD: Rusit8800, И откуда взята задача. Может быть уровень задачника такой, что вполне устроит "плоский прыгун" и можно считать $a/h = 0$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1233559 писал(а):

3. $a/h$ - порядка половины.

Если по совету realeugene заменить $x=\cos \alpha$, но до взятия производной, то для $\dfrac ah=\dfrac12$ в предположении что уравнение верное, из вольфрама выходит такая дичь:

$\cos \alpha =-\dfrac12 + \dfrac16 \sqrt[3]{135 - 54 \sqrt{6}} + \dfrac12 \sqrt[3]{5 + 2 \sqrt{6}}$

$\alpha \approx 36^{\circ}\,15'$

Для нуля, кстати, решение тоже точное, в радикалах.

[EUgeneUS]

wrest

А почему дичь? Из общих соображений:
1. при $a/h = 0$, $\alpha$ должна быть между нулем и 45 градусами. Интуитивно - ближе 45 градусам.
2. при росте $a/h $, $\alpha$ должна сдвигаться к нулю.
Так и есть.

[Dmitriy40]

(Упрощение за вольфрамом)

wrest в сообщении #1233564 писал(а):

$\cos \alpha =-\dfrac12 + \dfrac16 \sqrt[3]{135 - 54 \sqrt{6}} + \dfrac12 \sqrt[3]{5 + 2 \sqrt{6}}$

которое упрощается до $=(-1+\sqrt[3]{5-2\sqrt{6}}+\sqrt[3]{5+2\sqrt{6}})/2$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1233565 писал(а):

А почему дичь?

Я имел в виду -- не очень-то школьный результат.

EUgeneUS в сообщении #1233565 писал(а):

1. при $a/h = 0$, $\alpha$ должна быть между нулем и 45 градусами. Интуитивно - ближе 45 градусам.

Да, при нуле -- 41 градус.

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1233559 писал(а):

А можно все таки привести точное условие задачи?

Найти угол, с которого надо прыгать с качелей, чтобы улететь на максимальное расстояние. Плечо качелей - $h$, высота от земли до точки подвеса качелей - $a+h$. Качели первоначально находятся в горизонтальном положении.

SomePupil в сообщении #1233536 писал(а):

Как я понял, дифференцировать будет ТС?

Пока не умею.

SomePupil в сообщении #1233536 писал(а):

Как я понял, дифференцировать будет ТС?

wrest в сообщении #1233540 писал(а):

Остальное численно

EUgeneUS в сообщении #1233559 писал(а):

Если задача окажется оценочной,

Мда, вроде на вид задача не сложная, но, по ходу, она не имеет точного решения в общем случае.

EUgeneUS в сообщении #1233559 писал(а):

И откуда взята задача.

Ну, я придумал эту задачу, после того, как упал с качелей...

-- 14.07.2017, 19:14 --

Ну что ж, я хотя бы получил ответ с помощью GeoGebra для моих качелей: $a=0.5$ м , $h=1,5$ м; $\[{x_{dal\max }} \approx 4\]$ м, $\[{\alpha _{\max }} \approx 37.24^\circ \]$

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1233568 писал(а):

Ну, я придумал эту задачу, после того, как упал с качелей...

С чем Вас и поздравляю. Серьезно. Задача оказалась довольно таки интересной.

Rusit8800 в сообщении #1233568 писал(а):

Мда, вроде на вид задача не сложная, но, по ходу, она не имеет точного решения в общем случае.

Она имеет точное решение в общем случае. Как минимум, в рамках той модели, которую Вы описали в стартовом посте. И всё, что нужно для точного решения, Вы записали (после исправления досадных ошибок в стартовом посте).

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1233570 писал(а):

Она имеет точное решение в общем случае.

Зачем тогда искать численное решение? Зачем оно нужно, если его можно получить из точного?

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1233568 писал(а):

Ну что ж, я хотя бы получил ответ с помощью GeoGebra для моих качелей: $a=0.5$ м

Ваш рост меньше одного метра? Или Вы сидите на качелях?

(спойлер)

Центр масс стоящего человека - "в районе пупка, минус ширина двух пальцев". То есть около половины роста.

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1233576 писал(а):

Или Вы сидите на качелях?

Ну не стою же? Я думал, что на них все сидят

-- 14.07.2017, 19:52 --

EUgeneUS в сообщении #1233576 писал(а):

Центр масс стоящего человека

А при чем здесь?

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1233575 писал(а):

Зачем тогда искать численное решение? Зачем оно нужно, если его можно получить из точного?

1. Вам в любом случае нужно численное решение. То есть какое-то число. Да еще и оценка ошибок. Такова селява.
2. Число, Вы можете получить
2.1. из точного решения. (В рамках примененной модели, которая сама является некоторым приближением (sic!)). Если получится решить.
2.2. из оценок, применяя правильные приближения (это мощный метод (sic!))
2.3. Записать точное решение в виде какого-то уравнения (опять же, в рамках примененной модели, которая сама является некоторым приближением (sic!)), и решать его численно. Но иногда (часто) - это единственный вариант.

-- 14.07.2017, 19:57 --

Rusit8800 в сообщении #1233577 писал(а):

Ну не стою же? Я думал, что на них все сидят

Вы ошибались

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1233580 писал(а):

Вам в любом случае нужно численное решение.

Меня вообще формула интересовала. Численное я и так могу из графиков получить.

-- 14.07.2017, 20:02 --

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1233580 писал(а):

Вы ошибались

Кто ж так качается?
Со стороны это выглядит очень странно

[Dmitriy40]

Формула интересна тогда, когда интересно от чего (каких параметров модели) и как именно зависит результат. Т.е. анализ полученной формулы. Чтобы просто посчитать одно-два числа универсальная формула не обязательна.