Попробую пояснить, что такое функторы и естественные преобразования, на примере.
Рассмотрим совокупность всех конечных множеств и всех отображений между ними. По множеству можно строить разные другие множества, например можно образовать его декартов квадрат (совокупность всех упорядоченных пар элементов данного множества), множество всех его подмножеств этого множества, множество всех отображений из данного множества в его декартов куб, и т.д. Короче, есть совокупность разных
способов из одних множеств конструировать другие.
Более того, обычно "конструкция для множеств" определяет, совершенно естественным способом, и "конструкцию для отображений". Скажем, пусть мы уговорились каждому множеству
сопоставлять его декартов квадрат
. Тогда каждому отображению
естественно сопоставить отображение
, определяемое как
. Эти сопоставления согласованы с операцией композиции отображений. А именно, пусть у нас есть три множества
,
, и
, и два отображения
,
, и пусть
--- композиция этих отображений. Сопоставим им отображения
,
,
, по правилу, описанному выше. Тогда легко проверить, оставим это читателю, что
, т.е.
. Также несложно проверить (собственно, это ясно), что если
--- тождественное отображение на множестве
, то
--- тождественное отображение на
.
Говоря научным языком, вышесказанное означает, что правило
--- это
функтор из категории конечных множеств в себя. Более точно, если
и
--- две категории, то функтор
--- это правило, которое относит каждому объекту
некоторый объект
, а каждому морфизму
--- некоторый морфизм
, причем для любых трех объектов
,
,
и двух
-морфизмов
,
выполнено равенство
, а также
для любого объекта
из
.
Разумеется, может быть много функторов из одной категории в другую. Вот еще один функтор из категории всех конечных множеств и их отображений в себя. Для конечного множества
пусть
--- это множество всех непустых подмножеств, состоящих из
элементов. Если
--- отображение двух множеств, а
--- подмножество из
элементов, то ясно, что и
тоже содержит не более двух элементов. Поэтому
индуцирует отображение
, которое обозначим
.
Упражнение. Проверить, что правило
,
--- функтор.
(По-видимому, это упражнение очевидно... все же оставим.)
Как соотносятся между собой различные функторы из одной категории в другую? Пусть опять
--- конечное множество. Есть некий совершенно естественный способ отобразить
в
, а именно, упорядоченная пара
переходит во множество
; последнее содержит один элемент, если
, и два иначе, так что действительно получается отображение из
в
. Обозначим это отображение
. Легко видеть, что отображения
для различных множеств
согласованы между собой, в следующем смысле:
для любого отображения
(в последнем равенстве, заметим, и левая, и правая части являются отображениями из
в
). Иначе говоря, диаграмма
коммутативна.
Дадим общее определение.
Определение. Пусть
и
--- две категории,
и
--- функторы из
в
.
Естественное преобразование функтора
в
--- это правило, сопоставляющее каждому объекту
морфизм
так, что для любых
и
диаграмма
коммутативна.
Если
и
--- две категории, то множество всех функторов из
в
и всех их естественных преобразований само образует категорию (объекты этой категории --- функторы, а морфизмы ---
естественные преобразования функторов).
Теперь, для закрепления пройденного, предлагается задача.
Задача. Пусть
--- категория всех конечных множеств,
--- тождественный функтор на
, а
и
---- функторы из
в себя, описанные выше.
Найти все естественные преобразования между каждыми двумя из трех функторов
,
,
, и доказать (!!!), что
других нет. (Их всего конечное число, в пределах двух десятков). (Т.е., описать "полную подкатегорию в категории всех
функторов из
в себя, порожденную объектами
,
,
.")
Следует сказать, что задача эта довольно сложная, думать над ней надо долго. Но ничего сверхъестественного, олимпиадного, в ней нет решительно. Ничего не требуется, окромя длительного размышления. Зато, как ее решите, у вас в голове должно улучшиться понимание того, что такое категория, функтор, и естественное преобразование. (Просьба, однако, к тем, кто будет решать эту задачу и захочет (если), чтоб их решения проверили (я имею в виду не только
Anton_Peplov, но и вообще и в будущем), не писать прямо здесь, а завести отдельную тему или прятать решения под ярлычок (кажется, он называется спойлер, я в этой терминологии не силен?), чтоб других пользователей не лишать возможности решить задачу самостоятельно.)