Математический марафон

[VAL]

Традиционный график Математического марафона "один тур зимой, другой - летом" потихоньку скатился к системе "весна-осень". Зато теперь для очередного тура можно с полным основанием использовать раскрученный бренд "Осенний марафон".

Особенностью XIX тура является отсутствие тематического конкурса. Не то, чтобы это осознанное решение ведущего, но как-то не сложилось. Хотя в предлагаемых задачах участники без труда заметят следы попыток сохранить тематический конкурс. Как будет дальше, ответить пока не готов. Но всегда готов выслушать (а иногда даже учесть ) пожелания участников.

Познакомиться с решениями задач XIX-го тура и обсудить их можно здесь.

========= ММ181 ==========

Разминка

ММ181 (3 балла)

Существует ли натуральное число n, среди остатков от деления которого на все натуральные числа меньшие n чаще всего встречается остаток 2013?


========= ММ182 ==========

Продолжаем разминаться

ММ182 (3 балла)

Назовем натуральное число n суперделимым, если:
1) в каноническом разложении n имеется более двух простых делителей;
2) для любого нетривиального подмножества множества простых делителей n число n кратно сумме элементов этого подмножества.
Доказать, что существует бесконечно много суперделимых чисел.


========= ММ183 ==========

Легкая задача с очевидным неочевидным обобщением

ММ183 (3 балла)

Про пять чисел $a,b,c,d,e$ известно, что $a<b<c<d<e$. Попарные суммы этих чисел выписали в порядке неубывания. Найти число вариантов расположения сумм в этом списке в зависимости от конкретных значений исходных чисел.

========= ММ184 ==========

Как же без графов?

ММ184 (7 баллов)

Компания из 30 отдыхающих собралась для 10-дневного рафтинга. Некоторые их туристов были знакомы между собой. График дежурств (по три человека на каждый день, чтобы каждый отдежурил ровно один раз) составили с помощью жребия. Получилось, что в каждой тройке дежурных ровно двое знакомы между собой. Недовольный такой ситуацией командор предложил свой график, такой что в каждой тройке была ровно одна пара незнакомых. Этот график тоже не всем понравился. Покумекав, туристы смогли совместными усилиями составить такой график, что в каждой тройке дежурных все были знакомы между собой.
Какое наименьшее и наибольшее число пар знакомых могло быть в данной группе?


========= ММ185 ==========

Очередной раз режем квадрат

ММ185 (5 баллов)

Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P.

========= ММ186 ==========

Еще в школе, решая задачи типа "Из пунктов A и B навстречу друг другу...", грезил предлагаемой задачей. И вот...

ММ186 (7 баллов)

В 12:00 расстояние от маяка до сухогруза "Альфа" составляло $12$ км, а до буксира "Омега" - $4\sqrt{13}$.
В 13:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались такими же как 12:00. А в 14:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались равны по $12\sqrt5$
Найти минимальное расстояние от "Альфы" до "Омеги", учитывая, что в 13:45 смотритель маяка не видел "Омегу" за "Альфой".

Примечание: Сухогруз и буксир движутся прямолинейно и равномерно. Все плавсредства и маяк - материальные точки.

========= ММ187 ==========

Можно обойтись без эллиптических кривых

ММ187 (6 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $(a,b)$, таких что $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ является натуральным числом.
Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1}= 1369$.
Существуют ли пары, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1} = 2013$?

========= ММ188 ==========

Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного

ММ188 (9 баллов)

1. Пусть $M = \{\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}\}$. Подмножество множества $M$ назовем хорошим, если существуют такие векторы $a,b,c,d$ трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные), что все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у $M$?
2. Тот же вопрос для случая, когда $M$ - множество сочетаний множества $\{a,b,c,d,e\}$ по 4, и четырехмерного пространства.
3. Тот же вопрос для случая, когда $M$ - множество сочетаний множества $\{a,b,c,d,e\}$ по 3, и трехмерного пространства.

========= ММ189 ==========

Псевдогеометрия

ММ189 (6 баллов)

Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m?
Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону.

========= ММ190 ==========

Настоящая геометрия

ММ190 (12 баллов)

Найти наименьшее возможное число прямых, равноудаленных от всех вершин тетраэдра?

Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.
==========================

[VAL]

20-й тур Математического марафона.

Наконец-то стартует юбилейный, 20-й тур Математического марафона.
С одной стороны, в рамках этого тура не проводится никакого дополнительного тематического конкурса.
С другой стороны, сам тур тематический - треугольный. Конечно, лучше было бы сделать треугольным 21-й тур. Но, боюсь, в этом случае, инкубационный период 20-го пришлось бы отложить еще на несколько месяцев. А марафонцы и без того (хочется верить) заждались. Поэтому треугольным будет 20-й.

Публикую задачи прямо сейчас, дабы желающим было чем заняться во время отпусков и каникул. В то же время, учитывая, что не у всех в летние месяцы есть регулярный доступ к Интернету (например, ведущий проводит часть лета без инета), прием решений начинается лишь в сентябре.

Познакомиться с решениями задач XX-го тура и обсудить их можно здесь.

===========ММ191===============

ММ191 (4 балла)

Рассматриваются тройки чисел $a \le b \le c$, не превосходящих данного натурального числа n. Каких троек больше, тех, которые могут быть длинами сторон некоторого треугольника, или остальных?


===========ММ192===============

ММ192 (5 баллов)

Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами, не превосходящими данного натурального числа n.
Каких треугольников больше: остроугольных или тупоугольных?


===========ММ193===============

ММ193 (6 баллов)

Игроки Вася, Федя и Коля сыграли несколько паркий в настольный теннис навылет. Сколько партий мог сыграть Коля, если Вася сыграл a партий, а Федя - b?
Примечания:
участники первой партии определяются жребием;
для определенности будем считать, что $b \le a$.


===========ММ194===============

ММ194 (6 баллов)

Из n натуральных чисел, идущих подряд, выбрали 6 и разбили их на две тройки. При этом оказалось, что площади треугольников, стороны которых равны числам из этих троек, равны. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?


===========ММ195===============

ММ195 (7 баллов)

Доказать, что для любого натурального числа n, найдется натуральное m, такое что существует не менее n треугольников с целочисленными сторонами и медианой m.


===========ММ196===============

Задача ММ 196 составлена Олегом Полубасовым по мотивам ММ186

ММ196 (9 баллов)

1. Три корабля A, B, и C движутся равномерно и прямолинейно.
2. Когда корабль A находился ближе всего к маяку, расстояние между B и C было 30 миль.
3. Когда корабль B находился ближе всего к маяку, расстояние между A и C было 40 миль.
4. Когда корабль C находился ближе всего к маяку, расстояние между A и B было 14 миль.
5. В 12:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
6. В 13:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
7. В 14:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
8. В 15:00 корабль B пересек маршрут корабля A.
9. В 16:00 корабль A пересек маршрут корабля B.
Найти скорость каждого корабля.
Примечание: Все корабли и маяк - материальные точки.

Последние задачи тура посвящены триангуляции многоугольников


==========================

В задачах ММ197 и ММ198 так же, как в задачах ММ145,146,147,150, под многоугольником понимается фигура, ограниченная плоской несамопересекающейся замкнутой ломаной, никакие три последовательные вершины которой не лежат на одной прямой.

===========ММ197===============

ММ197 (5 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу k, если его можно разрезать на k треугольников, одной прямой. Найти все возможные значения k для $n = 2014$.


===========ММ198===============

ММ198 (8 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу s, если его можно триангулировать на n-2 треугольника внутренними диагоналями в точности s различными способами. Найти три наименьших и три наибольших значения s для $n = 20$.


===========ММ199===============

В задаче ММ199 рассматриваются многоугольники, которые могут иметь многоугольные "дыры". Будем говорить, что данный многоугольник имеет род m, если у него m многоугольных дыр. (В частности, в ММ197 и ММ198 рассматриваются многоугольники рода 0.)

ММ199 (5 баллов)

Сколькими внутренними диагоналями и на сколько треугольников триангулируется n-угольник рода m?


===========ММ200===============

ММ200 (8 баллов)

Обозначим через $T(m)$ максимально возможное количество треугольников, на которые можно разрезать треугольник m прямыми. (Никаких других фигур, при разрезании возникать не должно.)
При каком наименьшем m значение отношения $\frac{T(m)}m$ достигает 4?

Примечание:
13 баллов - это условная цена задачи. Такие баллы будут начисляться за результат (и его обоснование) не хуже, чем у ведущего.

==========================

[VAL]

21-й тур Математического марафона

После затянувшейся паузы стартует очередной тур Марафона
Впрочем, активная фаза, как и в прошлом году, начнется осенью.

Особенностью 21-го тура ориентированность (не всех, но большинства задач) на использование компьютера.
Я пытался сделать так, чтобы компьютерные вычисления были лишь вспомогательным инструментом решения.
Получилось ли это у меня - судить вам.

Познакомиться с решениями задач XX-го тура и обсудить их можно здесь.

===========ММ201===============

ММ201 (3 балла)

Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса.

===========ММ202===============

ММ202 (5 баллов)

При каких значениях параметра a разрешимо уравнение $x^2 - a = \lfloor x \rfloor \{x\}$?

===========ММ203===============

ММ203 (5 баллов)

Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.

===========ММ204===============

ММ204 (5 баллов)

Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.

===========ММ205===============

ММ205 (7 баллов)

Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016?

===========ММ206===============

Задачи ММ205 и ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77

ММ206 (11 баллов)

Каждое из $n$ натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно $k$ натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если
1) $k = 18$;
2) $k = 20$;
3) $k = 22$;
4) $k = 202$.

Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении.
Полагаю, эти результаты давно усилены. Но найти в сети сведения об этом я не смог.

===========ММ207===============

ММ207 (13 баллов)

Обозначим через $A(a,d)$ максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно $a$ натуральных делителей, второе - $a+d$, третье - $a+2d$ и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и знаменателем $d$).
1) найти наибольшее возможное значение $A(n,1)$;
2) найти наибольшее возможное значение $A(n,3)$;
3) найти $A(2,2)$;
4) найти $A(4,2)$;
5) доказать, что при подходящем n $A(n,2) \ge 8$.

===========ММ208===============

ММ208 (7 баллов)
От двух до пяти.

Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,.

===========ММ209===============

ММ209 (9 баллов)
Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

===========ММ210===============

ММ210 (13 баллов)

1. Пусть $М = \{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC $(a < b < c)$ и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел $\{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем $a \le b \le c$ и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание.
Получить ответ для каждого из случаев:
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).

==========================

[VAL]

22-й конкурс в рамках Математического марафона

Старожилы Марафона, наверняка, обратили внимание, что привычное слово "тур" заменено на "конкурс". Это сделано, чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования.

В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в ПРАВИЛА МАРАФОНА внесены некоторые уточнения.

22-й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках.
Во всех задачах, где речь идет о многогранниках, под словом "многогранник" подразумевается выпуклый многогранник.

Решения задач XX-го тура можно посмотреть и обсудить здесь.

===========ММ211===============

ММ211 (3 балла)

Доказать, что при любом четном $f > 4$ существует многогранник, имеющий $f$ граней, все грани которого четырехугольники.

===========ММ212===============

ММ212 (4 балла)

Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров.

===========ММ213===============

ММ213 (4 балла)

1. Пусть $H = \{h_1, h_2, \dots h_f\}$, где $f$ - количество граней, а $h_i$ - число сторон i-й грани. Какое наименьшее значение может принимать $f-|H|$ ?
2. Пусть $g_i$ означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения $i$ . Могут ли все $g_i$ не превышать 2?

===========ММ214===============

ММ214 (4 балла)

1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?
2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны?

===========ММ215===============

ММ215 (4 балла)

На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?

===========ММ216===============

ММ216 (10 баллов)

Назовем натуральное число $n$ красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно $n$ натуральных делителей, кратно $n$.
1. Доказать, что все праймориалы красивы.
2. Верно ли, что все факториалы красивы?
3. Сколько существует красивых чисел вида $k^7$, где $k$ - некоторое натуральное число?
4. Сколько существует красивых чисел вида $7^k$, где $k$ - некоторое натуральное число?

===========ММ217===============

ММ217 (6 баллов)

Диагонали $AC_1$ и $BD_1$ шестигранника $ABCDA_1B_1C_1D_1$, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке $O$. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?

===========ММ218===============

ММ218 (5 баллов)

Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер.

===========ММ219===============

ММ219 (8 баллов)

Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник?

===========ММ220===============

ММ220 (15 баллов)

Найти наименьшее $v$ такое, что существует многогранник, имеющий $v$ вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего $v+1$ вершину и 2016 диагоналей, не существует.

==========================

Познакомиться с решениями задач XXII-го тура и обсудить их можно здесь.

[VAL]

23-й конкурс в рамках Математического марафона

Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим арифметике и комбинаторной геометрии. Третью можно условно озаглавить "Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ". Окажется ли этот сон кошмарным, узнаем осенью.

Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача).

Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится.

Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.

Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ221===============

ММ221 (4 балла)

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $3x^4 + 2y^3 = 37^z$ ?


===========ММ222===============

ММ222 (5 баллов)

На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.
Пусть $n$ – наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.
Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом $n+1$?


===========ММ223===============

ММ223 (6 баллов)

Рассмотрим две задачки.

1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?

Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5


===========ММ224===============

ММ224 (6 баллов)

В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи — 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.


===========ММ225===============

ММ225 (6 баллов)

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $(2a+3)x^2 + xa + 3a - 1 = 0$ имеет два целых корня.


===========ММ226===============

ММ226 (5 баллов)

Назовем натуральное число $n$ счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель $n$ равен количеству натуральных делителей $n$.
А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?


===========ММ227===============

ММ227 (7 баллов)

Пусть $n = \prod_{i=1}^s p_i^{a_i}$ - каноническое разложение $n$. Обозначим через $sopf(n)$ число $p_1+p_2+...p_s$.
Назовем натуральное число $k$ слабым, если уравнение $x = k\cdot sopf(x)$ неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.
Найти наименьшее слабое число.
Доказать, что слабых чисел бесконечно много.


===========Терминология ММ228-230===============

Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются прямыми общего положения, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.



Внешним контуром конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.
Внешним циклом конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: $(1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2)$.
Выпуклыми вершинами внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.
Обратными вершинами назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.
Элементарными отрезками назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.
Элементарными многоугольниками назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.
Впадиной назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.
Вектором граней конфигурации назовем упорядоченный набор из $n-2$ чисел (где $n$ – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – $[6, 8, 1, 0, 0]$.


===========ММ228===============

ММ228 (4 балла)
От двух до пяти.

Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?


===========ММ229===============

ММ229 (7 баллов)

Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж. Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:
1) количество прямых;
2) количество элементарных многоугольников:
3) количество выпуклых вершин;
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;
7) количество обратных вершин;
8) количество впадин;
9) количество сторон внешнего контура?

Примечание: Вася – умный.


===========ММ230===============

ММ230 (15 баллов)

Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?

==========================

Посмотреть решения задач XXIII конкурса можно здесь

[VAL]

24-й конкурс в рамках Математического марафона

Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ231===============

ММ231 (4 балла)

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ египетского треугольника $ABC$ выбрали точки $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно. Оказалось, что треугольники $AB_1C_1, BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ равновелики. Какую часть площади $ABC$ составляет площадь треугольника $A_1B_1C_1$ при условии, что последний - прямоугольный?

===========ММ232===============

ММ232 (6 баллов)

Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение $x^3+y^3=z^3-i$ для каждого $i \in \{1, 2, 4\}$ ?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля…
Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

===========ММ233===============

ММ233 (5 баллов)
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне

При каких значениях параметра $a$ множество точек плоскости, задаваемых системой

$$\begin{cases} (x - a + 1)^2 + (y - 3)^2 \le 80, \\ (x - 3)^2 + (y - 4a + 1)^2 \le 20a^2, \\ |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| = 230 - 2a\end{case}$$

является кругом?

===========ММ234===============

ММ234 (5 баллов)

Функция $g(n)$ натурального аргумента $n$ задается так:
Пусть $n$ натуральное число. Определим $f(n)$ как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи $n$, увеличенное на квадрат этой цифры.
Например, $f(576) = 57 + 36 = 93$.
Тогда $g(n) = |\{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), \dots \}|$.
Пусть $a$ и $b$ – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что $g(a) = g(b) + 26$?

===========ММ235===============

ММ235 (7 баллов)

Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?

===========ММ236===============

ММ236 (7 баллов)

Натуральные числа от 1 до $4n$ разбили на четыре группы по $n$ чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.

===========ММ237===============

ММ237 (7 баллов)

Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку $A$ из $S_{10}$ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.

Аня: $A^6$ – тождественная перестановка.
Ваня: Длины всех циклов $A$ – числа Фибоначчи.
Даня: В $S_{10}$ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен $A$.
Маня: Хм, уравнение $X^2=B$ не может иметь в $S_{10}$ ровно 3 решения ни при каком $B$.
Саня: Более того, количество решений уравнения $X^2=B$ в $S_{10}$ не может быть нечетным ни при каком $B$.
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка $A$.
Зина: $A^5$ имеет столько же циклов, сколько и $A$
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.

Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в $A$.
Найдите $A$.

===========ММ238===============

ММ238 (7 баллов)

Вася написал на доске $k$ последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - $V$.
Петя написал $k$ последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - $P$.
Оказалось, что $2018 < \frac VP < 2019$. При каком наименьшем $k$ такое возможно?

===========ММ239===============

ММ239 (10 баллов)

Существует ли выпуклый многогранник, у которого:
a) не менее половины граней семиугольники;
b) более половины граней семиугольники;
с) не менее половины граней восьмиугольники;
d) более половины граней восьмиугольники;
e) не менее половины граней девятиугольники?

Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.

===========ММ240===============

ММ240 (13 баллов)

Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
==========================

Посмотреть решения задач XXIV конкурса можно здесь

[VAL]

25-й юбилейный конкурс в рамках Математического марафона

Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ241===============
ММ241 (4 балла)

При каких натуральных n множество $\{1, 2, …, n\}$ можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?

===========ММ242===============

ММ242 (5 баллов) (по мотивам №19 ЕГЭ)

На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.
При каком наименьшем m такое возможно?
При каком наименьшем n такое возможно?
При каком наименьшем m+n такое воз можно?

===========ММ243===============

ММ243 (5 баллов)

В треугольнике ABC $a<b<c$ и $a\cdot l_a=c\cdot l_c$ Найти угол $\beta$.

===========ММ244===============

ММ244 (6 баллов)

Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:
- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры.
Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились:
А: Я не могу определить, что это за цифры.
Б: И я не могу.
В: И я тоже.
A: Тогда я их знаю!
Б: После этой реплики и я их знаю.
Что это за тройка цифр?
Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.

===========ММ245===============

ММ245 (5 баллов)

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.

===========ММ246===============

ММ246 (7 баллов)

Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?

===========ММ247===============

ММ247 (7 баллов)

Пусть $k$ – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию $f_k(n)=\frac{lcm(n, n+1,\dots, n+k-1)}{lcm(n+1, n+2\dots, n+k))}$
Найти наименьшие значения $f_5(n)$ и $f_9(n)$.

===========ММ248===============

ММ248 (8 баллов)

Найти наименьшее натуральное $k$ такое, что во множестве $\left\{\frac{\tau(kn)}{\tau(n)}|n\in \mathbb N\right\}$ ровно 13 целых чисел.

ММ249 (10 баллов)

Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение $x^k=a$ иметь ровно 2020 решений?

===========ММ250===============

ММ250 (14 баллов)

Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
==========================

Познакомиться с решениями задач XXV-го тура и обсудить их можно здесь.

[VAL]

26-й конкурс в рамках Математического марафона

Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ251===============

ММ251 (3 балла)

Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть $n$ –наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было $n$ страниц.

===========ММ252===============

ММ252 (4 балла)

Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:

$$90=1\cdot9\cdot 10=2\cdot 3\cdot 15, 1+9+10=2+3+15;$$

$$90=2\cdot 5\cdot 9=3\cdot 3\cdot 10, 2+5+9=3+3+10.$$

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида $p^kq$ ($p, q$ – простые, $k$ – натуральное), обладающих таким свойством.

===========ММ253===============

ММ253 (5 баллов)

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка $AB_1$ перпендикулярно ему имеет площадь $\frac{28\sqrt{39}}{81}$. Найти объем призмы?

===========ММ254===============

ММ254 (6 баллов)

Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?

===========ММ255===============

ММ255 (7 баллов)

Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.

===========ММ256===============

ММ256 (8 баллов)

При каком наименьшем натуральном $n$ уравнение $n\{x\}^2+\{x\}=\lfloor x\rfloor$ имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?

Примечание: $\{x\}$ – дробная часть числа $x, \lfloor x\rfloor$ – целая часть (пол) числа $x$.

===========ММ257===============

Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237.

ММ257 (9 баллов)

Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:

Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.
Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.
Даня: А еще среди связных компонент не было изоморфных.
Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.
Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.
Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.
Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.
Лина: И при этом не было висячих вершин.
Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.

Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека. Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?

===========ММ258===============

ММ258 (7 баллов)

Решения принимаются до 24.10.2020

Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).

===========ММ259===============

ММ259 (8 баллов)

Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть
a) равновелик;
б) подобен;
в) равен
исходному?

===========ММ260===============

Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231

ММ260 (12 баллов)

Пусть $ABC$ – некоторый треугольник, точки $K, L, M$ лежат соответственно на прямых $AB, BC$ и $AC$, а $s$ – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник $KLM$ будем называть подобно-вписанным в треугольник $ABC$, если:
$AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA$;
треугольник $KLM$ подобен треугольнику $ABC$.
Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?

=============================

ознакомиться с решениями задач XXV-го тура и обсудить их можно здесь.

[VAL]

27-й конкурс в рамках Математического марафона
В качестве новогоднего подарка предлагаю вашему вниманию задачи XXVII конкурса!

Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ261===============

ММ261 (4 балла)

Натуральные числа 1, 2, 3, …, 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.

===========ММ262===============

ММ262 (3 балла)

Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.

Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ

===========ММ263===============

ММ263 (4 балла)

Сколько решений может иметь уравнение $\lfloor 3x \rfloor \{x\} - \lfloor x \rfloor \{3x \} = c$, в зависимости от значения параметра $c$?
($\lfloor x \rfloor$ и $\{x\}$ означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа $x$.)

===========ММ264===============

ММ264 (4 балла)

Назовем пару натуральных чисел $a$ и $b$ аддитивной, если $\tau(a+b)=\tau(a)+\tau(b)$, $\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$ и $\varphi(a+b)=\varphi (a)+\varphi(b)$.
Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.
($\tau(n), \sigma(n), \varphi(n)$ - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)

===========ММ265===============

ММ265 (5 баллов)

Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.

===========ММ266===============

ММ266 (7 баллов)

Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:
1) $\tau(n^3)=\tau(n)^2$, где $n$ – произведение всех выписанных чисел;
2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных.
Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.

Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.

===========ММ267===============

ММ267 (7 баллов)

Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?

===========ММ268===============

ММ268 (9 баллов)

Назовем натуральное число $m$ допустимым, если существует такое $n$, что из чисел $1, 2, …, n$ можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную $m$.
Сколько существует недопустимых чисел?

Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку $148=1\cdot 3+2\cdot 5\cdot 8+4+6\cdot 9+7$.

==============================

Вектором граней выпуклого многогранника $P$ назовем набор $[f_3, f_4, \dots, f_s]$, где $f_i$ – количество i-угольных граней $P$, а $s$ - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что $P$ относится к классу $m$, если $max(f_i)=m$.

===========ММ269===============

ММ269 (11 баллов)

Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника
a) класса 3;
b) класса 4?

===========ММ270===============

ММ270 (12 баллов)

Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса $m$.

==========================

ознакомиться с решениями задач XXV-го тура и обсудить их можно здесь.

[VAL]

28-й конкурс в рамках Математического марафона

Предлагаю вашему вниманию задачи XXVIII конкурса!

Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.
Здесь же напомню, что с нынешнего турнира в них внесено изменение:
теперь поощрение обобщений и аналогов исходной задачи дополнительными баллами, как правило, осуществляться не будет. Впрочем…

===========ММ271===============
ММ271 (3 балла)

Помогите Васе

Решения принимаются до 12.03.2022
Вася хочет найти натуральное число $n$, обладающее следующими свойствами:
1) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n$ равен 1;
2) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+1$ равен 2;
3) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+2$ равен 3;
4) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+3$ равен 4.
Существуют ли такие числа?

===========ММ272===============
ММ272 (4 балла)

Задача про задачу

Решения принимаются до 19.03.2022

Сколько решений в зависимости от значений натурального параметра $k$ может иметь задача «Найти все натуральные $n$ такие, что $\tau(n)=k$ и $n$ кратно $k$»?

===========ММ273===============
ММ273 (7 баллов)

Центр на стороне

Решения принимаются до 26.03.2022

В каком диапазоне может изменяться каждый из углов треугольника ($\alpha \le \beta \le \gamma$), у которого центр окружности 9 точек принадлежит, по крайней мере, одной из сторон?

===========ММ274===============
ММ274 (6 баллов)

Эти поля слишком малы…

Решения принимаются до 02.04.2022

Сколько существует конечных полей, в мультипликативной группе которых число подгрупп равно числу порождающих элементов?

===========ММ275===============
ММ275 (9 баллов)

Точки вокруг треугольника

Решения принимаются до 09.04.2022

Будем говорить, что треугольник относится к классу $k$, если на плоскости существует ровно $k$ точек таких, что выпуклый четырехугольник с вершинами в вершинах исходного треугольника и в данной точке разбивается своей диагональю, являющейся стороной исходного треугольника, на 2 подобных треугольника. Какие значения может принимать $k$?

===========ММ276===============
ММ276 (7 баллов)

Треугольные параболы

Решения принимаются до 16.04.2022

Рассмотрим 3 параболы, связанных с треугольником. Фокус каждой - одна из вершин, а директриса - прямая, содержащая противоположную сторону. Сколько точек пересечения могут иметь эти параболы?

===========ММ277===============
ММ277 (7 баллов)

Ну очень искусственная функция

Решения принимаются до 23.04.2022

Для каждого натурального n, большего 2, обозначим:
через $g(n)$ максимум сумм попарных НОД слагаемых при представлении $n$ в виде суммы трех натуральных слагаемых;
через $f(n)$ –– $\frac{g(n)}n $;
через $F(n)$ –– $f(n) + f(n+1) + … + f(n+9)$.
Чему равно наибольшее значение $F(n)$?
Может ли $F(n)$ быть меньше 7.1?

===========ММ278===============
ММ278 (6 баллов)

Правильные в правильных

Решения принимаются до 07.05.2022

Назовем сечение выпуклого многогранника диагональным, если каждая сторона многоугольника сечения является диагональю грани. Какие многоугольники могут быть диагональными сечениями правильных многогранников?

===========ММ279===============
ММ279 (8 баллов)

Новые пятиугольные числа

Решения принимаются до 14.05.2022

Существует ли выпуклый многогранник, все $f$ граней которого являются пятиугольниками, если
а) $f=2022$;
б) $f=2023$;
в) $f=2024$?

================================
Вектором граней выпуклого многогранника $P$ назовем набор $[f_3, f_4, \dots, f_s]$, где $f_i$ – количество i-угольных граней $P$, а $s$ - наибольшее число сторон грани.

===========ММ280===============
ММ270 (13 баллов)

Каждой твари по … тройке

Решения принимаются до 21.05.2022

Какие векторы граней может иметь выпуклый многогранник, если в этих векторах нет чисел, отличных от 3 и 0?

================================
Свои решения и вопросы присылайте в на [e-mail] или в ЛС