2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56 ... 58  След.
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение16.11.2020, 09:12 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
vpb в сообщении #1492587 писал(а):
Наверное, постоянные участники к используемым обозначениям уже привыкли, поэтому и поняли. А я вот нет.
Ну, я уже покаялся.
А сейчас задумался о причине неоднозначности в формулировках.
Наверное, одна из основных - погруженность в задачу. Например, ММ260 составлялась и решалась не один час и даже не один день. Вначале я рассматривал разные варианты расположения точек на сторонах (или продолжениях). Но со временем пришел к выводу, что самым интересным случаем будет именно циклическая пропорциональность направленных отрезков. И затем углублялся именно в него. А когда формулировал задачу, уже настолько вжился в этот случай, что иных трактовок уже не видел.

Кстати, сам результат, на мой вкус, весьма красив. Особенно моменты, связанные с автомедианными треугольниками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение16.11.2020, 09:37 
Заслуженный участник


18/01/15
2767
VAL в сообщении #1492592 писал(а):
А когда формулировал задачу, уже настолько вжился в этот случай, что иных трактовок уже не видел.
Ну да, как-то так оно и бывает...
А задача любопытная. Я ее пытался решать "по-научному", через аппарат линейной алгебры, но так сильно и не продвинулся. А потом вообще отказался от этой мысли, тем более дело уже в пятницу было, и голова малость опухла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение16.11.2020, 13:30 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
Сводная таблица после прошедшего конкурса претерпела не слишком значительные изменения.
Но, все же, претерпела. Некоторые из действующих участников обошли некоторых из сошедших с дистанции или взявших паузу.
Некоторые из недавних участников (включая дебютантов) вплотную подобрались к группе сильнейших.

Положение лидирующей группы после 26-го конкурса Марафона
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|c|}
\hline
Участники \ \    Туры$\to$    &1-12&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&\Sigma\\
\hline
1. А.Казмерчук &318&45&54&53&51&73&79&69&82&85&79&85&81&80&1234\\
\hline
2. В.Филимоненков &316&-&48&55&46&71&53&62&23&36&53&71&67&64&964\\
\hline
3. О.Полубасов &268&-&-&64&56&83&97&73&79&87&80&-&-&52&939\\
\hline
4. В.Франк &385&26&-&-&-&-&-&-&-&69&37&52&62&72&703\\
\hline
5. С.Половинкин &137&64&56&58&41&74&60&63&36&2&-&-&-&-&591\\
\hline
6. А.Волошин &198&47&52&54&50&76&3&-&-&-&-&-&-&-&480\\
\hline
7. Н.Дерюгин &121&20&19&43&18&54&21&4&-&-&-&-&-&-&300\\
\hline
8. Д.Пашуткин &57&48&43&24&3&-&45&54&-&25&-&-&-&-&293\\
\hline
9. E.Гужавин &4&34&9&9&21&34&17&-&18&-&39&38&-&-&223\\
\hline
10. В. Колыбасова &-&-&-&-&-&-&10&57&17&-&54&40&27&-&205\\
\hline
13. К.Шамсутдинов &-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&49&77&71&197\\
\hline
11. В.Дорофеев &-&-&-&-&-&-&9&21&10&18&36&18&28&7&147\\
\hline
12. А.Халявин &72&-&43&-&-&-&14&-&-&-&-&-&-&-&129\\
\hline
14. А.Богданов &112&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&112\\
\hline
15. К.Веденский &48&17&20&-&-&23&-&-&-&-&-&-&-&-&108\\
\hline
16. А.Никонов &0&-&-&-&-&-&38&40&2&9&-&-&15&-&104\\
\hline
17. А.Извалов &46&-&-&-&-&34&-&-&15&-&-&-&-&-&95\\
\hline
18. В.Чубанов &0&-&-&-&-&-&-&-&-&35&-&58&-&-&93\\
\hline
19. И.Козначеев &88&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&88\\
\hline
23. В.Дзюбенко &-&-&-&-&-&-&-&-&34&25&2&17&-&9&87\\
\hline
20. К.Кноп &75&-&-&-&-&-&-&10&-&-&-&-&-&-&85\\
\hline
21. Б.Бух &81&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&81\\
\hline
22. М.Алексеев &80&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&80\\
\hline
24. М.Левиашвили &0&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&77&-&77\\
\hline
25. Э.Туркевич &63&11&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&74\\
\hline
\end{tabular}

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение23.12.2020, 22:52 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
Поздравляю всех марафонцев и их болельщиков, а также тех, кто случайно забрел в эту ветку, с наступающей чередой новогодне-рождественских праздников!
Отдельное поздравление со скорым завершением 2020-го. Очень хочется (хотя и не очень верится), чтобы все беды, которые он принес ушли вместе с ним.

В качестве новогоднего подарка (особенно тем, кто случайно забрел в эту ветку) предлагаю задачи очередного XXVII марафонского конкурса!
Они уже ждут вас в соседней теме.

Напоминаю, что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году или конкурс просто сместится на пораньше, покажет время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение29.12.2020, 02:50 
Аватара пользователя


08/12/11
110
СПб
Все ли условия приведены в задаче ММ266? У меня получается слишком много возможных ответов.
С другой стороны, условие «все они младше Васи» не несёт никакой информации, ведь мы даже не знаем, в каком месяце родился Вася.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение29.12.2020, 04:44 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
Masik в сообщении #1498205 писал(а):
Все ли условия приведены в задаче ММ266? У меня получается слишком много возможных ответов.
А можно посмотреть (в ЛС или в почте, разумеется) хотя бы парочку. Для упрощения выяснения, кто из нас наврал.
Цитата:
С другой стороны, условие «все они младше Васи» не несёт никакой информации, ведь мы даже не знаем, в каком месяце родился Вася.
Разве?!
Может быть в примечании "часы" были восприняты как "месяцы"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение29.12.2020, 05:00 
Аватара пользователя


08/12/11
110
СПб
Приношу извинения. Почему-то "младше" воспринял как "родились раньше".

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение03.01.2021, 20:01 
Аватара пользователя


08/12/11
110
СПб
Я правильно понимаю, что {-1/4} = 3/4?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение08.01.2021, 09:41 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
Masik в сообщении #1498843 писал(а):
Я правильно понимаю, что {-1/4} = 3/4?

Правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение02.03.2021, 09:40 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
13-е марта приближается.
Не так стремительно как 8-е, но столь же неотвратимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение14.03.2021, 13:50 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
===========ММ261===============

ММ261 (4 балла)

Натуральные числа $1, 2, 3, \dots, 100$ разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.

Решение

Привожу решения старожила Марафона Олега Полубасова, относительного новичка Мераба Левиашвили и абсолютного новичка Александра Романова.

Обсуждение

Весенний (вместо привычного осеннего) старт Марафона не привлек большого количества участников. В то же время, большинство наиболее активных конкурсантов последних турниров успешно перестроились с осени на весну.
Задача ММ261 понравилась одним и активно не понравилась другим участникам, но при этом не вызвала затруднений ни у тех, ни у других .

Дополнительные баллы начислялись за подробный анализ данной задачи и за рассмотрение аналогичных задач (разбить ряд $1, 2, 3, \dots, n^2$ на $n$ групп по $n$ чисел так, сумма НОД была наибольшей).
Наиболее далеко в рассмотрении таких аналогов продвинулся Олег полубасов. Отдельно отмечу, что ведущий не решал задачу для других $n$. Но у тех участников, кто не поленился это сделать (кроме Олега и Дениса, это еще и Мераб, приславший такие результаты отдельно) ответы совпали.
Некоторые участники, конечно же, увидели в этой задаче отголосок той, которую ведущий предложил для головоломного матча между Украиной и Россией. Но рассматривать максимум сумм НОД и по строкам, и по столбцам двумерной таблицы (как предлагалось в той задаче) никто из участников Марафона не стал.

Награды

За решение задачи ММ261 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Олег Полубасов - 6;
Анатолий Казмерчук - 5;
Денис Овчинников - 5;
Виктор Филимоненков - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Владислав Франк - 4;
Константин Шамсутдинов - 4;
Александр Романов - 4;
Василий Дзюбенко - 4
Виктор Дорофеев - 3.

**Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла **


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM261_Polubasoff.pdf [197.59 Кб]
Скачиваний: 80
Комментарий к файлу: Решение Мераба Левиашвили
261.-решение-М.Л. .docx [25.56 Кб]
Скачиваний: 64
Комментарий к файлу: Решение Александра Романова
Romanov_MM261.pdf [176.83 Кб]
Скачиваний: 62
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение21.03.2021, 11:33 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
===========ММ262===============

ММ262 (3 балла)

Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.

Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Дениса Овчинникова и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

Мое примечание к условию ММ262 неожиданно стало катализатором разнообразия присланных решений. Конкурсанты поделились на категории:
верно истолковавших мой намек и использовавших его;
частично использовавших мой намек;
использовавших мой намек, при этом истолковав его превратно;
не использовавших мой намек (как представители этой категории его истолковали, я не знаю).

Я имел в виду такое решение: выясняем (в надежных источниках), что указанные точки лежат на прямой Нагеля (она же - прямая Эйлера-Нагеля, она же - вторая прямая Эйлера), на которой лежат также инцентр и центроид. Очевидно, что инцентр удален от средней (и не только) стороны на $r$, а центроид на треть высоты, опущенной на эту сторону. Подсчитав площадь двумя способами ($pr=\frac12bh_b$), убеждаемся, что равенство этих расстояний равносильно "прогрессивности" треугольника.

К моему удивлению, я получил лишь одно решение, аналогичное изложенному. Анатолий Казмерчук перешел к более известным точкам, явно доказав, что прямая, описанная в условии, проходит через центроид и инцентр.
В нескольких решениях конкурсанты, использовали только центроид (или наоборот только инцентр) и одну из точек, данных в условии.
Наконец, еще несколько конкурсантов решили задачу, используя барицентрические координаты, посчитав, что примечание в условии указывает именно на такой подход.

Критику, Александра Романова
Цитата:
И если под конец немного удариться в формализм, то можно заметить, что формулировка задачи не вполне корректна. Если тройку равных чисел мы также считаем арифметической прогрессией (т.е. равносторонний треугольник прогрессивным), то слова "прямая, проходящая через точки, параллельна средней стороне" корректнее заменить на "точки лежат на прямой, параллельной средней стороне": поскольку не любая такая прямая будет параллельна сторонам, но точки будут лежать в том числе и на такой прямой (точнее, на трех таких, поскольку все три стороны являются средними)
считаю необоснованной. В условии явно сказано, что рассматриваются разносторонние треугольники.

Награды

За решение задачи ММ262 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 4;
Мераб Левиашвили - 3;
Олег Полубасов - 3;
Денис Овчинников - 3;
Виктор Филимоненков - 3;
Владислав Франк - 3;
Константин Шамсутдинов - 3;
Александр Романов - 3;
Василий Дзюбенко - 3.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
fiviol-ММ262.docx [14.34 Кб]
Скачиваний: 56
Комментарий к файлу: Решение Дениса Овчинникова
MM262_Ovchinnikov.pdf [134.68 Кб]
Скачиваний: 53
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
Kazmerchuk_mm_262.pdf [689.77 Кб]
Скачиваний: 55
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение21.03.2021, 12:37 
Аватара пользователя


08/12/11
110
СПб
IMHO, в задачах на доказательство необходимо указывать, какими уже доказанными фактами можно пользоваться, а какими - нельзя. Например: можно пользоваться знанием того, что указанные точки лежат на прямой Эйлера-Нагеля, но нельзя пользоваться знанием их барицентрических координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение21.03.2021, 12:54 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
Masik в сообщении #1510308 писал(а):
IMHO, в задачах на доказательство необходимо указывать, какими уже доказанными фактами можно пользоваться, а какими - нельзя. Например: можно пользоваться знанием того, что указанные точки лежат на прямой Эйлера-Нагеля, но нельзя пользоваться знанием их барицентрических координат.
А кто сказал сказал, что нельзя?
Мой комментарий в обсуждении означает лишь то, что я ожидал иной реакции на примечание.
Но само это примечание, наоборот, разрешает пользоваться всякими дополнительными фактами.

Кстати (хотел упомянуть в обсуждении, но забыл), я знаю еще много свойств "прогрессивных" треугольников. Но там известные мне доказательства очень громоздки (не в плане идей, а в плане преобразований).
Например, "прогрессивность" треугольника равносильна тому, что любая из прямых $X_8 X_{11}, X_6 X_{101}, X_{56} X_{59}, X_{86} X_{99}$ проходит через вершину среднего по величине угла. (Нумерация замечательных точек взята из ETC.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение28.03.2021, 17:49 
Заслуженный участник


27/06/08
4050
Волгоград
===========ММ263===============

ММ263 (4 балла)

Сколько решений может иметь уравнение $\lfloor 3x \rfloor \{x\} - \lfloor x \rfloor \{3x \} = c$, в зависимости от значения параметра $c$?
($\lfloor x \rfloor$ и $\{x\}$ означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа $x$.)

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Мераба Левиашвили и Влада Франка.

Обсуждение

Задача ММ263, с одной стороны, не вызвала затруднений конкурсантов, а с другой - не слишком им понравилась. Возможно, именно по этой причине, большинство марафонцев не попытались обобщить задачу (а если бы бы попытались, возможно, задача понравилась им больше).
Лишь двое участников взялись за исследование более общего уравнения $\lfloor ax \rfloor \{x\} - \lfloor x \rfloor \{ax \} = c$. Анатолий Казмерчук ограничился рассмотрением натуральных $a$. Уже для этого случая максимальное количество решений (при ненулевом $c$) ведет себя довольно интересно. С ростом $a$ оно ожидаемо растет, но не монотонно.
Мераб Левиашвили пошел дальше. Он рассмотрел (не то чтобы изучил, но затронул) случаи рационального и даже произвольного вещественного $a$. Уже в первом из них в области определения можно выделить участки, на которых функция функция $f(x)= \lfloor ax \rfloor \{x\} - \lfloor x \rfloor \{ax \}$ монотонно убывает при положительном $a$ (при натуральных $a$ такое невозможно).
И уж совсем сложно функция $f(x)$ ведет себя при иррациональных $a$.

Награды

За решение задачи ММ263 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Анатолий Казмерчук - 5;
Олег Полубасов - 4;
Денис Овчинников - 4;
Виктор Филимоненков - 4;
Владислав Франк - 4;
Константин Шамсутдинов - 4;
Александр Романов - 4;
Владимир Дорофеев - 4;
Василий Дзюбенко - 4.

Эстетическая оценка задачи - 3.5 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Мераба Левиашвили
263.-Решение-М.Л..docx [28.36 Кб]
Скачиваний: 58
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
Kazmerchuk_mm_263.pdf [344.85 Кб]
Скачиваний: 60
Комментарий к файлу: Решение Владислава Франка
Frank_MM263.pdf [120.83 Кб]
Скачиваний: 60
 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 859 ]  На страницу Пред.  1 ... 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56 ... 58  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group