23-й конкурс в рамках Математического марафонаКакой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим
арифметике и
комбинаторной геометрии. Третью можно условно озаглавить
"Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ". Окажется ли этот сон кошмарным, узнаем осенью.
Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача).
Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится.
Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.
Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать)
ПРАВИЛА МАРАФОНА.
===========ММ221===============ММ221 (4 балла)
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
![$3x^4 + 2y^3 = 37^z$ $3x^4 + 2y^3 = 37^z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/8/6482626ac330120ab20cffd1ebd7caef82.png)
?
===========ММ222===============ММ222 (5 баллов)
На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.
Пусть
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
– наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.
Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом
![$n+1$ $n+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f18d8f60c110e865571bba5ba67dcc682.png)
?
===========ММ223===============ММ223 (6 баллов)
Рассмотрим две задачки.
1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?
2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?
Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?
Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5
===========ММ224===============ММ224 (6 баллов)
В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи — 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.
===========ММ225=============== ММ225 (6 баллов)
Найти все значения параметра
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, при которых уравнение
![$(2a+3)x^2 + xa + 3a - 1 = 0$ $(2a+3)x^2 + xa + 3a - 1 = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/e/bde0eed4a00655326c23aff129041cf182.png)
имеет два целых корня.
===========ММ226===============ММ226 (5 баллов)
Назовем натуральное число
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
равен количеству натуральных делителей
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
.
А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?
===========ММ227=============== ММ227 (7 баллов)
Пусть
![$n = \prod_{i=1}^s p_i^{a_i}$ $n = \prod_{i=1}^s p_i^{a_i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/4/924b5ca27b7e5ddf8af96a8d4699ac0d82.png)
- каноническое разложение
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. Обозначим через
![$sopf(n)$ $sopf(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/2/1d2045c8c9c71b0d6ffdc9233d4e9d5c82.png)
число
![$p_1+p_2+...p_s$ $p_1+p_2+...p_s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/0/890975da6acb60aa9d6488872fa2f50b82.png)
.
Назовем натуральное число
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
слабым, если уравнение
![$x = k\cdot sopf(x)$ $x = k\cdot sopf(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/7/cc737bc71523a700bf673eacbbe8cc5c82.png)
неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.
Найти наименьшее слабое число.
Доказать, что слабых чисел бесконечно много.
===========Терминология ММ228-230===============Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются
прямыми общего положения, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.
Внешним контуром конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.
Внешним циклом конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1:
![$(1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2)$ $(1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/0/230163a6d1351534815f487fb6d8761982.png)
.
Выпуклыми вершинами внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.
Обратными вершинами назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.
Элементарными отрезками назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.
Элементарными многоугольниками назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.
Впадиной назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.
Вектором граней конфигурации назовем упорядоченный набор из
![$n-2$ $n-2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/4/5c474be3bf0378310e3debfe41a3b10182.png)
чисел (где
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
– количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 –
![$[6, 8, 1, 0, 0]$ $[6, 8, 1, 0, 0]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/f/8af285b2a1834fa4203130869b1c56a382.png)
.
===========ММ228===============ММ228 (4 балла)
От двух до пяти.
Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?
===========ММ229===============ММ229 (7 баллов)
Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж. Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:
1) количество прямых;
2) количество элементарных многоугольников:
3) количество выпуклых вершин;
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;
7) количество обратных вершин;
8) количество впадин;
9) количество сторон внешнего контура?
Примечание: Вася – умный.
===========ММ230===============ММ230 (15 баллов)
Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?
==========================Посмотреть решения задач XXIII конкурса можно
здесь